第1章 §5 5.1 正弦函數(shù)的圖像

#§5正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)5.1正弦函數(shù)的圖像學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解利用單位圓中的正弦線畫正弦曲1.通過學(xué)習(xí)利用單位圓中的正弦線畫正線的方法.（重點(diǎn)）2.掌握“五點(diǎn)法”畫正弦曲線的方法弦曲線的方法，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)單的正弦和步驟，能用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)單的正曲線，提升直觀想象素養(yǎng).弦曲線.（難點(diǎn)）自主預(yù)習(xí)Q探新如預(yù)習(xí)素養(yǎng)感打匚讀f知初探口1.正弦線如圖所示，設(shè)任意角?的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓O相交于點(diǎn)P（x，y）,過P點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M.我們稱MP為角a的正弦線，P叫正弦線的終點(diǎn).思考1:在正弦線的定義中MP也可以寫成PM的形式嗎？正弦線是一條線段，這種判斷對(duì)嗎？［提示］MP不能寫成PM的形式，因?yàn)檎揖€是有向線段，既有大小又有方向.在函數(shù)y=sinx,x$［0,2n］的圖像上，起著關(guān)鍵作用的有五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(0,0),(0,0),~11,（2n,0）.描出這五個(gè)點(diǎn)后，函數(shù)y=sinx,xe［0,2n］的圖像就基本上確定了.因此，在精確度要求不太高時(shí)，我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑曲線順次將它們連接起來，就得到這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖.我們稱這種畫正弦函數(shù)曲線的方法為“五點(diǎn)法”.如圖.思考2：描點(diǎn)法作函數(shù)的圖像有哪幾個(gè)步驟？［提示］列表、描點(diǎn)、連線.-i越同身手1.對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx的圖像，下列說法錯(cuò)誤的是（）向左、右無限延展與y=-sinx的圖像形狀相同，只是位置不同與x軸有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱D［y=sinx為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤?］2.y=sinx的圖像的大致形狀為（）了」1-4廠?0-12-]D［答案］B用五點(diǎn)法畫y=sinx,x^［0,2n］的簡(jiǎn)圖時(shí)，所描的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和是.

5n［0+￡+兀+寸+2兀=5n.］函數(shù)y=sinx在［0,2n］上的單調(diào)減區(qū)間為，最大值為33一33一21［由正弦函數(shù)的圖像(圖略)可知?］合作探究Q釋疑難^^.1/“五點(diǎn)法”作圖【例1】用五點(diǎn)法作函數(shù)y=l—sinx,xe［0,2n］的圖像.［解］⑴列表：X0n2n3nT2nsinx010-101-sinx10121(2)描點(diǎn)、連線，圖像如圖."?規(guī)僅t方法n3n1.解答本題的關(guān)鍵是要抓住五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)?使函數(shù)中X取0,n，n,等,2n,然后相應(yīng)求出y值，再作出圖像.2?五點(diǎn)法作圖是畫三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖的常用方法,這五點(diǎn)主要指函數(shù)的零點(diǎn)及最大值、最小值點(diǎn)，連線要保持光滑，注意凸凹方向.跟進(jìn)訓(xùn)密跟進(jìn)訓(xùn)密1.(1)作出函數(shù)y=2sinx(0WxW2n)的圖像；(2)用五點(diǎn)法畫出函數(shù)y=sin2x(0WxWn)的圖像.

［解］(1)列表:Xo兀一2兀33一222XnS1oo-oo2o2-o描點(diǎn)作圖:JV3-K肚7-2\2⑵列表:x0n4n23n才n2x0兀一2n3n~22nsin2x010-10描點(diǎn)得y=sin2x(0WxWn)的簡(jiǎn)圖，如圖：涉醱2利用正弦函數(shù)圖像解不等式【例2】利用y=sinx的圖像，在［0,2n］內(nèi)求滿足sinx±—￡的x的取值范圍.［解］列表：X兀一233一222Xnsio-o描點(diǎn)，連線如圖，同時(shí)作出直線y二-2的圖像?由圖像可得sinx±-*的取值范圍為廠規(guī)法—…■…、用三角函數(shù)圖像解三角不等式的方法⑴作出相應(yīng)正弦函數(shù)在［0,2n］上的圖像；寫出適合不等式在區(qū)間［0,2n］上的解集；根據(jù)圖像寫出不等式的解集.\/⑥跟進(jìn)訓(xùn)編2.利用正弦函數(shù)的圖像，求滿足sinx±1的x的集合.［解］作出正弦函數(shù)y=sinx,x曰0,2n］的圖像，如圖所示，由圖像可以得到滿足條件的x的集合為p+2kn,各+2頁(yè)，kEZ.6611y尸！iiiti工』E[0,21T]-11：it5wX:Vtry2iraITT3陽-■正弦函數(shù)圖像的應(yīng)用［探究問題］1.若已知函數(shù)y=f(x)的圖像，如何作出函數(shù)y二f(x)的圖像？［提示］將函數(shù)y二fx)的x軸上方的圖像保持不變，將x軸下方的圖像關(guān)于

x軸翻折到x軸上方即可.2.如何利用函數(shù)的圖像判斷該函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的解的個(gè)數(shù)？［提示］可以利用函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷?也可以將該函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程拆分成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，禾U用這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷.【例3】函數(shù)fx)=sinx+2lsinxl,x$［0,2n］的圖像與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍.［思路探究］在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)圖像.3sinx，［3sinx，［解］-sinx，OWxWn，n<xW2n.作出圖像分析(如圖).?fx)圖像與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)..?.lvkv3.I［母題探究］(變條件，變結(jié)論)將例3變?yōu)椤扒蠓匠蘬gx=sinx的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)”應(yīng)如何求解.［解］作出y=lgx，y=sinx在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像，則方程根的個(gè)數(shù)即為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖像知方程有三個(gè)實(shí)根.2.(變結(jié)論)將例3中的函數(shù)f(x)不變，求方程“fx)=llog2xl”的解的個(gè)數(shù),應(yīng)如何求解.［解］在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f(x)=sinx+2lsinxl和g(x)=llog2xl的圖像如圖所示，易知f(x)與g(x)的圖像有四個(gè)交點(diǎn)，故所給方程有四個(gè)根.廠?規(guī)律(方法?………r、數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，它能把抽象的數(shù)學(xué)式子轉(zhuǎn)化成形象直觀的圖形?利用正弦函數(shù)圖像可解決許多問題，例如特殊方程根的問題，通?？赊D(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.II課堂小結(jié)協(xié)提素養(yǎng)雙基盲點(diǎn)膽燈匚證備秦養(yǎng)Q“五點(diǎn)法"是我們畫y—sinx圖像的基本方法，在區(qū)間［0，2n］上，其橫坐n3n標(biāo)分別為0，2，兀，二，2n的五個(gè)點(diǎn)是最高點(diǎn)、最低點(diǎn)以及與x軸的交點(diǎn)，這五個(gè)點(diǎn)在確定函數(shù)的圖像形狀時(shí)起到關(guān)鍵作用，在精確度要求不太高時(shí)，我們常常先描出這五個(gè)點(diǎn)，然后用光滑的曲線將它們連接起來，再將曲線向左、向右平行移動(dòng)(每次移動(dòng)2n個(gè)單位長(zhǎng)度)，就得到正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖.作圖像時(shí)，函數(shù)自變量要用弧度制，這樣自變量與函數(shù)值均為實(shí)數(shù).匚i學(xué)以致用.11.判斷(正確的打“丿”，錯(cuò)誤的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z函數(shù)y—sin2x在［0,n］和［n,2n］上的圖像形狀相同，只是位置不同.()函數(shù)y—sinx的圖像介于直線y——1和y—1之間.()函數(shù)y—sinx的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱.()用五點(diǎn)法畫函數(shù)y—sinx在區(qū)間［一兀，n］上的簡(jiǎn)圖時(shí)，［一2，一"是其中的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).()［答案］⑴?、芕⑶X⑷丁

2.函數(shù)y=—sinx,2.函數(shù)y=—sinx,x^可的簡(jiǎn)圖是（17.5*n3n2,211JT*［函數(shù)y=-sinx與y=sinx的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，故選D.］3.在［0,2n］上，滿足sinx三乎的x3.3n3n［結(jié)合圖像（圖略）可知為時(shí),乎］］4.在［0,2n］內(nèi)，用五點(diǎn)法作出函數(shù)y=2sinx—1的圖像.［解］⑴列表:x0