全國重點名校高考數學復習優(yōu)質100專題匯編第16煉 含參數函數的單調區(qū)間 Word版含解析

全國重點校高考數學習優(yōu)質100專題匯編第含在高考導數的綜合題中，所給函數往往是一個含參數的函數，且導函數含有參數，在分析函數單調性時面臨的分類討論。本節(jié)通過一些例題總結參數討論的方法與技巧，便于更加快速準確的分析含參數函數的單調區(qū)間。一、基礎知識：1、導數解單調區(qū)間的步驟：利導數求函數單調區(qū)間的方法，大致步驟可應用到解含參函數的單調區(qū)間確定義域→求導函數→令

f

'

解不等式→得到遞增區(qū)間后取定義域的補集（減區(qū)間）→單調性列出表格求含參函數單調區(qū)間的實質——解含參不等式，而定義域對x限制有時會簡化含參不等式的求解求單調區(qū)間首先確定定義域，并根據定義域將導數不等式中恒正恒負的項處理掉，以簡化討論的不等式關于分類討論的時機與分界點的確定（）類時機：并不是所有含參問題均需要分類討論，例如解不等式x

，其解集為

，中間并沒有進行分類討論。思考：為什么？因為無論參為值，均是將a移不等號右側出結果以不需要類討論如解不等式

x2一步移項得（同樣無論為值，均這樣變形是二步不等式兩邊開方時發(fā)現的同值會導致不同結果，顯然a是數時，不等式恒成立，a是正時，需要開方進一步求解集，分類討論由此開始。體會：什么時候開始分類討論？簡而言之，當參數的不同取值對下一步的影響不相同時，就是分類討論開始的時機。所以一道題是否進行分類討論不是一開始就決定的，而是在做的過程中遇到不同值導致不同步驟和結果，就自然的進行分類討論分界點的確定：分類討論一定是按參數的符號分類么？不一定。要想找好分界點，首要確數問中扮的色例如上面的不等式

x

2

，

a

所扮演的角色是被開方數，故能否開方是進行下一步的關鍵，那自然想到按

a

的符號進行分類討論。當參數取值為一個特定值時，可將其代入條件進行求解當參數扮多個角色時，則以其中一個為目標進行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進行進一步的分類。-1-,aa,aa全國重點校高考數學習優(yōu)質100專題匯編例如：解不等式：

，可得：

x1

1a

2

此時

a

扮演兩個角色，一個是的系數，將決定解集是小大根之外還是小大根之間，另一個角色是決定x的大1小，進而要和

x2

來角逐大小根。那么在處理時可先以其中一個為主要目標，例如以

系數的正負，進行分類。①當時此時不等式的解集為小大根之間，而由于a以此為前提,1故小大根不存在問題，解集為

xx1

2

，②當

a

時，不等式變?yōu)?/p>

③當a0，不等式解集為小大根之外，而

x1

1a

0,x，x,x2

的大小由的值決定，所以自然考慮再結合小大根進行進一步討論了①③的對比）xa1

時，不等式解集為

xa1

時，不等式化為

xa1

時，不等式解集為

1

希望通過此例能夠體會分類討論的時機與分界，若能領悟，其分類討論不再是一個難點，而是有線索可循了。二、典型例題：例1：已知函數

f

1ax

x，f

的單調區(qū)間解：定義域1fxlna

f

1axx2令

f

'

，所解不等式為

axa

當

時，即解不等式

ax

1a-2-0,a,a0,a,a全國重點校高考數學習優(yōu)質100專題匯編f

'

+f當0時a

f

'

恒成立例2：已知函數

f

3a（1若

f

的圖像在

x

處的切線與直線

y

13

x

垂直，求實數的（）函

f

的調間解）切與

y

13

x

垂直可得：

f'f

'

2

f

'

（2思路：導函數

f

'

2

，令

f

'

解單調增區(qū)間，得到含參不等式。分類討論時注意扮兩個角色：一個是影響最次項的符號，一個是影響方程的根解：

f

'

ax

2

令f

'

即3

x①

a

x0,12

2a

xx2

（將的范圍分類后要于把每一類的范圍作為已知條使用件，在本題中使用

的條件使得

x,x1

大小能夠確定下來，避免了進一步的分類）

的單調區(qū)間為：f

'

+

f②

a0

xf2

的單調區(qū)間為：-3-全國重點校高考數學習優(yōu)質100專題匯編f

'

+

f例3：已知函數

fax

2

，求

f

的單調區(qū)間解：定義域：

f

xaxx

2

，令

f

'

，可得：

ax

2

即

ax2當

a

時，

x

a

,f

'

f當

a

時，

f

為增函數當

a

時，

f

2axx

2

恒成立

f例4：討論函數

f

2

的單調區(qū)間解：

f

axx

令

f

'

即

22ax2

（注意定義域為

，所以導函數分母恒正，去掉后簡化所解不等式）①

0

時

x2

a2

（求解x需要除以后開方，進而兩個地方均需要分類討論，先從

的-4-aa2aa2全國重點校高考數學習優(yōu)質100專題匯編符號入手）aa2

f

'

x

恒立，f

x

②

a

函數

f

為增函數③

時

x2

a（下一步為開方出解集，按的符號進行再分類）22當

a2a

即

，f

'

x

恒立，f

x

單調遞減當

a2a

即

時，解得：

0x

a2

的單調區(qū)間為：f

'

+

,f小煉有話說：本題定義域為

進用又有制約作用：促進作用體現在對所解不等式的簡化，請大家養(yǎng)成一個良好習慣，當已知變量范圍時，一邊關注范圍一邊解不等式制約作用體現在單區(qū)間應該是定義域的子集以變量的區(qū)間是從x0處開始分析的

a0

時表中自例5：已知函數

f

2x

，討論

f

的單調性解：定義域為

f

axx2x2

令

f'

即

x考慮

（左邊無法直接因式分解，考慮二次函數是否與軸有交點）①

a

時

恒成立，故

f

單調遞增②

時x

2

的x1

a2ax22

2

x,x1-5-aaaaaaaaaaaaaaaa全國重點校高考數學習優(yōu)質100專題匯編

2的解集為2

,2f

的單調區(qū)間為：

,22

2f

+

③

fa

時

xx1

f小煉有話說：本題亮點在于②③討論，判斷極值點是否在定義域中。進而確定單調性。除了解出根來判斷符號之外，本題還可以利用韋達定理進行判斷。

x1

，說明兩根同號，而

xa，明a的號決定1

x,x1

2

的正負，從而在的況進行再次分類討論例6：已知函數

f

ax

，其中

a

.（）a時求曲線

在點

處的切線方程；（）求

f區(qū)間．解）

f

x

f'xx

1x2

,f

'

e

切線方程為：

e

，即

yex（）

f

'

2

x

，令

f

'

，即解不等式：

①當

時，解得：

x故

為

-6-0,a0,a0,a0,a全國重點校高考數學習優(yōu)質100專題匯編②當

f'fa0

時

1x，以解得：12a

+故

f

1a

,

f

+

f③

，f

x

，常值函數不具備單調性④a時解得：

x

1a

故

f

為f

,+f例7：已知函數

f

x2ln

.求函數

f解：

f

xxxxx令

f'

，即

，x1

（參a角色：①

x,x1

2

的大小，②

x2

是否在定義域內，以①為目標分類）①

x21

（此時

一定在定義域中，故不再分類）不等式的解集為

x

或

f

的單調區(qū)間為：f'

-7-全國重點校高考數學習優(yōu)質100專題匯編f

↗↘↗②

x21

f

'

2

f

單調遞增③

x要根據x是否在21

進行進一步分類當

0

時，

2

不等式的解集為

x

或

f

的單調區(qū)間為：

f

'

f

↗

↘

↗當

0

時，則

x

，不等式的解集為

x

，f

的單調區(qū)間為：f

f

↘

↗小煉有話說：（）在單調區(qū)間時面臨一個

f

'

的根是否在定義域中的問題，由此也可體會到定義域對單調區(qū)間“雙刃劍”的作用，一方面縮小自變量的范圍從而有利于不等式的化簡，另一方面也圈住了單調區(qū)間，極值點所在的范圍。（）會參數起到多重作用時，是如何進行分類討論的，以及在某個大前提下，參數討論也可進行些簡化。例8：已知函數

f

2

的單調區(qū)間解：定義域

xf

'

2xxxxx-8-20,a,a2,220,2,220,a,a2,220,2,2全國重點校高考數學習優(yōu)質100專題匯編令

f

'

，即解不等式

（1當a0時可得0

，則不等式的解為

x

1

f

'

+

f（2當a時x1

11,x2①

x12

時，即

111a解得x或0x2af

'

1

f②

xa代入到f1

x

恒成立

③

x12

，解得：

x

1或xaf

1af例9：設函數

f

13

32

，求

f解：

f

'

2

ax，f

'

即

ax-9-6666a666666a666a全國重點校高考數學習優(yōu)質100專題匯編

2

a

2

a

（）

0

16

則

f

'

f調增（）

或

a

16

x

a2a22

①當a時，解得

6a26axa

，

ff

,aa

2af

②當

a

16

時，解得：

6或aa

ff

'

2a

2,a

,