學習數(shù)學分析體會

學習數(shù)學分析的體會尚在高中時，就不斷聽到有人告訴我說：好好學習吧，等到上大學時就輕松了。然而悲劇的是，當我們進入大學時，才發(fā)現(xiàn)在大學里我們?nèi)孕枰煤脤W習，甚至說即使在課堂上好好聽了，有時也不一定聽得懂。就拿數(shù)學分析來說，不同于高中的思維方式，它著重培養(yǎng)我們的邏輯思維能力，不單單是機械的使用公式，而是讓我們理解并掌握這些公式成立的原因。這對于剛開始接觸這門新課程的我們來講，很難，對我來說，那些公式的證明是難上加難。說起來，接觸數(shù)分已經(jīng)好幾個月了。今天，在數(shù)學分析學習之旅即將結(jié)束之際，在老師的要求下，回顧一下我學習數(shù)學分析的過程并且談?wù)剬W習數(shù)學分析的感受。數(shù)學分析（1）大一上半學期我們學習了數(shù)學分析（1），大體內(nèi)容有實數(shù)、數(shù)集與領(lǐng)域、數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)和微分、微分中值定理及其應(yīng)用以及數(shù)項級數(shù)。在上大學之前，我只知道：全體非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；

除零以外所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N*或N；

全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；

全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；

全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集，記作R。

全體實數(shù)和虛數(shù)組成的復數(shù)的集合稱為復數(shù)集，記作C。我并不知道它們大的由來，在大學的數(shù)學學習中，我了解到，若一個集合中的任意兩個元素進行了某種運算后，所得的結(jié)果人屬于這個積極而，我們稱該集合對這種運算是封閉的。顯然，任意兩個自然數(shù)m，n∈N,其和與積必定還是自然數(shù)：mn∈N，mn∈N，即自然數(shù)集合N對于加法和乘法運算是封閉的。但是N對于減法運算并不封閉，即任意兩個自然數(shù)之差不一定還是自然數(shù)。當數(shù)系由自然數(shù)集合擴充到整數(shù)集合Z后，關(guān)于加法、減法和乘法運算都封閉了，即對于任意兩個整數(shù)p，q∈Z，其和、差、積必定還是整數(shù)：p±q∈Z，pq∈Z。但是，整數(shù)集Z關(guān)于除法運算是不封閉的，因此數(shù)系又由整數(shù)集合Z擴充為有理數(shù)集合Q={x|x=q∕p，p∈Z}。有理數(shù)集合Q關(guān)于加法、減法、乘法與除法四則運算都是封閉的。從這里，我認識到原來各個數(shù)系是這樣擴充而來的。在高中的數(shù)學中，我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列和函數(shù)之間有許多相似與相通之處。在數(shù)學分析的學習過程中，我們同樣可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列極限和函數(shù)極限也有著密不可分的聯(lián)系。下面我們可以把兩者對比一下。數(shù)列極限定義設(shè)為數(shù)列,為實數(shù),若對任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得當時有,則稱數(shù)列收斂于,實數(shù)稱為數(shù)列的極限,并記作或.若數(shù)列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列函數(shù)極限的定義（）設(shè)函數(shù)在點的某個空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)，若對任給的，使得當時有，則稱函數(shù)當趨于時以為極限（或稱Ａ為時的極限），記作或（.數(shù)列極限存在的條件定理（單調(diào)有界定理）在實數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限.定理（Ｃauchy收斂準則）數(shù)列收斂的充分必要條件是：對任給的存在正整數(shù)，使得當時有.函數(shù)極限存在條件定理1（單調(diào)有界定理）設(shè)為定義有上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在定理2（Cauchy收斂準則）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，存在任給，存在正數(shù)，使得對任何有.定理3（Heine定理）（歸結(jié)原則)

設(shè)在內(nèi)有定義，存在對任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等.定理4

設(shè)函數(shù)在的某空心鄰域內(nèi)有定義，對任何以為極限的遞減數(shù)列，有.在學習函數(shù)極限和數(shù)列極限這兩章知識上，我把兩者對比聯(lián)系并且加以總結(jié)，例如，求數(shù)列的極限的問題，我們可以把數(shù)列用函數(shù)的形式表示，然后求函數(shù)的極限。把兩者的定義、相關(guān)性質(zhì)、定理放在一起記憶理解。這樣能使我比較容易把握和理解這兩章節(jié)的知識點。學習完數(shù)列極限和函數(shù)極限，我們繼續(xù)學習了函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：函數(shù)的連續(xù)性（設(shè)函數(shù)在點某鄰域有定義.若，則稱f在點連續(xù)。或方式：若對任意的ε﹥0，使得當︳x-︳﹤δ時有︳f(x)-f()︳﹤ε,則稱函數(shù)f在點連續(xù)）。學習連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，局部有界性（若函數(shù)f在點連續(xù)，則f在某∪（）上有界），局部保號性（若函數(shù)在點連續(xù)，且，則對任意存在某鄰域時，),四則運算性質(zhì)﹙若函數(shù)則在區(qū)間I上有定義，且都在連續(xù)，則（）在點連續(xù)。）復合函數(shù)連續(xù)性（若函數(shù)在點連續(xù)，在點連續(xù)，，則復合函數(shù)在點連續(xù)。）學到連續(xù)函數(shù)的這些性質(zhì)，我有種似曾相識的感覺，翻了筆記本之后發(fā)現(xiàn)原來收斂數(shù)列也有類似性質(zhì)，極限唯一性（若數(shù)列收斂，則它的極限唯一），有界性（如果數(shù)列收斂，則必為有界數(shù)列.即，使對有），保號性（若則，當時.特別地，若，則，當時與同號.）四則運算則法（若、都收斂，則、、也都收斂，且，特別地，，為常數(shù)如再有則也收斂，且），迫斂性（設(shè)有三個數(shù)列、、，如，當時有，，且，則）。在學習以上這些內(nèi)容后，我發(fā)現(xiàn)這些知識點總是巧妙地有所聯(lián)系，雖然我只是在表面上看出它們相似相通，并不能理解它們是如何被聯(lián)系在一起以及它們之間的奧妙，但我們可以從這些聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的神秘，而且使我更加欽佩那些偉大的數(shù)學家們。學習了這么多看似熟悉卻又十分陌生的知識，終于可以學習一點相對簡單熟悉不是那么抽象的的知識了，導數(shù)和微分，在高中的數(shù)學學習中，我們就已經(jīng)學習過了導函數(shù)的概念、求導法則以及參數(shù)函數(shù)的導數(shù)，只不過高中學的是一些簡單的初等函數(shù)和簡單的復合函數(shù)求導。大學的求導函數(shù)就變得不是那么簡單的了，而且相對高中，還學習了高階導數(shù)。不過有了高中的那些基礎(chǔ)，學習和理解這部分內(nèi)容相對于前面的變得簡單和輕松許多，因為我覺得這一部分內(nèi)容是將我們以前的導數(shù)知識進一步的加深理解，當然在表示方法上也用了新的知識。不過在學習微分時，對微分的概念不大能理解并且在二階微分和高階微分的學習過程中也受到了一定的阻礙。而且在接下來微分中值定理及其應(yīng)用的學習中，我被羅爾定理（如果函數(shù)f(x)滿足在[a,b]上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)可導；f(a)=f(b)；那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ(a<ξ<b)，使得：f'(ξ)=0）、拉格朗日定理（如果函數(shù)f(x)滿足在[a,b]上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)可導；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ(a<ξ<b)，使得：f'(ξ)=）、柯西中值定理（設(shè)函數(shù)f(x),g(x)滿足在[a,b]上都連續(xù)；在(a,b)內(nèi)都可導；f(x)和g(x)不同時為零；(4)g(a)≠g(b)；則存在ξ∈(a,b)，使得：）還有泰勒公式以及函數(shù)的極值與最大最小值弄得是云里霧里，有種不知所云的感覺。帶著種種的不懂和迷惑，我又學習了一個全新的知識數(shù)項級數(shù)，級數(shù)的收斂性，正項級數(shù)，一般項級數(shù)。級數(shù)收斂的柯西準則、比式判別法、根式判別法、拉貝爾判別法、萊布尼茲判別法等這些是我看后記得住，隨后就忘。做題只能靠套用類似的題目的方法或者直接背題目。我想學數(shù)學最大的悲哀也莫過于此了吧。數(shù)學分析（1）就這樣學完了，我完全沒法想到的是我經(jīng)歷的階段竟然是從懵懂到完全不懂。從高中到大學，從形象到抽象，大學的數(shù)學大多是抽象的。而且大學不同于高中的思維方式，它著重培養(yǎng)我們的邏輯思維能力，不單單是機械的使用公式，而是讓我們理解并掌握這些公式成立的原因。這與高中的簡單、形象、具體的計算證明題比起來，我不是很能夠理解和應(yīng)付這些抽象的知識。在做數(shù)學分析（1）的這些題目中，普通的計算還好，一旦遇上證明題，思路很狹窄，不能很靈活的運用自己所學的知識點，思考過程比較混亂，還有就是在課堂上沒有聽懂的地方，在課下沒有主動地去解決，在證明的過程中每一步驟為什么要這樣寫沒有弄得的很明白。總之，我認為極限很難（尤其是關(guān)于極限的證明），數(shù)項級數(shù)就更難了。而且這部分書中的內(nèi)容大都以證明為主，計算部分較少。數(shù)學分析（2）大一下半學期我們繼續(xù)學習了數(shù)學分析（2），這部分涉及了很多內(nèi)容，有實數(shù)的完備性、不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用、反常積分、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、傅里葉級數(shù)、多元函數(shù)的極限與連續(xù)、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用、含參量積分、曲線積分和重積分。學習實數(shù)的完備性這一章節(jié)，我的理解是要理解和掌握這一章里的一些定理（如實數(shù)的完備性的基本定理、區(qū)間套定理、聚點定理和有限覆蓋定理）。此部分的知識趨向于理論的學習，我想大部分的學生都不太喜歡學習這種純理論的知識。一般的學生都會更喜歡學習不定積分，定積分這種有公式能計算的知識的。因為畢竟我們都已經(jīng)練習了十幾年的計算題，計算解數(shù)學的傳統(tǒng)方法在我們腦海中已經(jīng)根生蒂固。就我而言，學習這兩塊的知識，讓我比較有興趣，因為它可以帶給我久違的“成就感”。當我用積分基本知識，換元積分法（(1)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)且不變號的導數(shù)；(3)當在變化時，的值在上變化，且，則有．）和分部積分法（設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導數(shù)，由微分法則，可得．等式兩邊同時在區(qū)間上積分，有．）解決出不定積分的相關(guān)問題時，會讓我覺得我并不是完全不會不懂，雖然這只是一點點的成就，但我想對于數(shù)學專業(yè)的又學不好數(shù)學的我來說，應(yīng)該算是難得的經(jīng)驗了。定積分中有一個重要而且特別有用的公式，牛頓-萊布尼茲公式（若函數(shù)f(x）在[a,b]上連續(xù)，且存在原函數(shù)F(x），則f(x）在[a,b]上可積，且b（上限）∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)）。我們之前有學過數(shù)列極限和函數(shù)極限，在學習了定積分之后，發(fā)現(xiàn)可以用定積分求極限，例如：我們可以利用定積分的值而求出對應(yīng)的數(shù)列的極限值1.求解因為==所以===而=ln4-1,故==2.求極限.解==.,.因此,

.另外，定積分還可以用來證明不等式，可以用來求平面圖形的面積，求由體積，求平面曲線的弧長與曲率，求旋轉(zhuǎn)曲面的面積等等。從這，我感受到了定積分的實用和數(shù)學分析的強大。至于數(shù)分（2）中的其它知識，我只能說有所了解。對于曲線積分和重積分，我比較喜歡做相關(guān)的計算題。數(shù)學分析學得到這里，其實大部分的內(nèi)容都學得差不多了。數(shù)學分析是數(shù)學中最重要的一門基礎(chǔ)課，是幾乎所有后繼課程的基礎(chǔ)，在培養(yǎng)具有良好素養(yǎng)的數(shù)學及其應(yīng)用方面起著特別重要的作用。數(shù)學分析（3）在經(jīng)過大一一年的學習之后，數(shù)學分析這門課大部分內(nèi)容已經(jīng)學完，還剩下曲面積分這一章沒有學，數(shù)學分析三主要學習了這一章，另外還進一步學習了曲線積分和重積分，即學習和練習了許多題目。在做曲線積分和曲面積分時，我認識到的圖形的重要性，這就要求我們有一定的空間想象力和幾何基礎(chǔ)，那在這一塊我認為較難的是畫圖。如果能把圖形準確地畫出來，那么就簡單了許多。下面是一題曲面積分的習題，這題的圖像在這一章節(jié)里應(yīng)該算是比較簡單的。例計算曲面積分，為錐面被圓柱面（）所截下的部分。

解：因為錐面、圓柱面均關(guān)于面對稱，故曲面關(guān)于面對稱，而關(guān)于恰好是奇函數(shù)，關(guān)于是偶函數(shù)，從而：，如圖所示。數(shù)學分析三主要以計算為主，很少有證明題和理論的理解，所以我學習起來感覺沒那么累。數(shù)學分析四和數(shù)學分析三所學的內(nèi)容是對以前的補充、強化、深入、以及復習，而且這學期學習起來也沒那么多的證明題要做，所以這學期學起來很輕松。數(shù)學分析在中學解題中的應(yīng)用函數(shù)思想方法在中學數(shù)學解題中的應(yīng)用：函數(shù)思想方法就是運用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，解決函數(shù)的某些問題；或以運動和變化的觀點，分析和研究具體問題的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)的形式，把這種關(guān)系表示出來加以研究，從而使問題獲得解決；或?qū)τ谝恍男问缴峡词欠呛瘮?shù)的問題，但經(jīng)過適當?shù)臄?shù)學變換或構(gòu)造，使這一類非函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式并運用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來處理這一問題，進而使原數(shù)學問題得到順利地解決。在解數(shù)學題中，以函數(shù)作為主導，結(jié)合具體函數(shù)性質(zhì)，可以使很多數(shù)學問題化難為易，化繁為簡。例如，以函數(shù)為橋梁，實現(xiàn)函數(shù)思想在不等式問題中的應(yīng)用。由于函數(shù)反映變量之間的相互關(guān)系，由它的整體性，自然可反映變量間的不等式情況，因此，不等式問題可看成函數(shù)問題的另一局部，利用函數(shù)思想方法能更深入了解不等式問題的本質(zhì)。例在銳角△abc中，求證：sinasinbsinc>cosacosbcosc。我想我們都有過用三角式的復雜變形來證明此不等式的經(jīng)歷，那是不得要領(lǐng)的途徑，如果我們抓住三角形三個角的三角函數(shù)間的關(guān)系來思考，就容易得其解。由于a,b,c均為銳角，故bc=π－a>π／2,b>π／2－c，由正弦函數(shù)在(－π／2,π／2)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)可知：sinb>sin(π／2－c)=cosc；同理可證：sinc>cosa,sina>cosb。三式相加，即得所證。還有，以函數(shù)為背景，實現(xiàn)函數(shù)思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用。數(shù)列可以看做定義在正整數(shù)集n或n的子集上的一種特殊函數(shù)，通項公式即函數(shù)的解析式。因此，把研究函數(shù)的方法，以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)用于研究數(shù)列，會對數(shù)列的概念、通項、等差數(shù)列與等比數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列的最值等概念理解得更加深刻。如等差數(shù)列{an}中：（1）d=an1－an公差d的幾何意義就是坐標平面內(nèi)表示等差數(shù)列各項的點所在直線的斜率；（2）對于求和公式sn，sn=na1n(n－1)d/2，我們可以把它整理為sn=1/2dn2(a1－d)n/2。當公差d≠0時，這是關(guān)于n的一個一元二次函數(shù)。再如，借助函數(shù)的意識，實現(xiàn)函數(shù)思想在實際問題中的運用。在實際的經(jīng)濟活動中，操作、經(jīng)營和決策者要考慮怎樣才能以最低的成本、最短的時間獲取最大的效益，這類問題在數(shù)學上稱為最優(yōu)化問題，研究這類問題往往需要我們對問題的有關(guān)信息和數(shù)據(jù)進行分析，加工，選擇某種可控制的因數(shù)作為變量，建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型的有效分析成為解題不可少的環(huán)節(jié)。因此在這類問題中我們經(jīng)分析設(shè)法先將具體問題列出其函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使這類問題順利地得到解決。例如：典型函數(shù)模型：y=axb（ab≠0）應(yīng)從研究其定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，最值及至作出圖形，全面認清此函數(shù)模型的特征，才能靈活地應(yīng)用于解決實際問題。以上是我對函數(shù)思想在中學數(shù)學解題中的應(yīng)用的部分總結(jié)，它主要是根據(jù)函數(shù)的思想在中學數(shù)學中的地位，函數(shù)的性質(zhì)及圖象來應(yīng)用到解題中來的。這些解題方法是我們在全面了解函數(shù)的基礎(chǔ)上的產(chǎn)物。當然函數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，例如：函數(shù)思想在解析幾何中的應(yīng)用；函數(shù)思想在函數(shù)值與角的轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用?？偨Y(jié)學習了這么久的數(shù)學分析后，我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學分析的知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性和連續(xù)性很強。就我而言，對數(shù)學毫無興趣，見了數(shù)學題就頭痛的人想要學好數(shù)學，想要培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣，我想首先要認識學習數(shù)學的重要性，數(shù)學被稱為科學的皇后，它是學習科學知識和應(yīng)用科學知識必須的工具。可以說，沒有數(shù)學，也就不可能學好其他學科；其次必須有鉆研的精神，有非學好不可的韌勁，在深入鉆研的過程中，就可以領(lǐng)略到數(shù)學的奧妙，體會到學習數(shù)學獲取成功的喜悅。長久下去，自然會對數(shù)學產(chǎn)生濃厚的興趣，并激發(fā)出學好數(shù)學的高度自覺性和積極性。用興趣推動學習，而不是用任務(wù)觀點強迫自己被動地學習數(shù)學。學習數(shù)學還要不怕挫折，有勇氣面對遇到的困難，有毅力堅持繼續(xù)學習，這一點在剛開始進入大學學習數(shù)學分析時尤為重要。數(shù)學分析強調(diào)的是分析的能力,分析的能力沒有學到,就談不上學好了數(shù)學分析。這一點目前我還沒有做到。我們應(yīng)該要學會自學，在自學中培養(yǎng)學習能力和創(chuàng)造能力，要努力擺脫對于教師和對于課堂的完全依賴心理。當然也不是完全不要老師，不上課。我們在課堂上聽課時，應(yīng)當把主要精力集中在教師的證明思路和對于難點的分析上。在學習的各個環(huán)節(jié)培養(yǎng)自己的主動精神和自學能力，擺脫對教師與課堂的過分依賴。這不僅是今天學習的需要，而且是培養(yǎng)創(chuàng)造能力的需要。學習數(shù)學分析還應(yīng)該把各個定義、定理聯(lián)系起來，在我們的頭腦中形成一個有機的網(wǎng)絡(luò)，我們在解決問題時才能更靈活地運用所掌握的知識。在牢固地掌握了各個定義和定理后。一定要做一些習題，以加深理解。好的教科書每節(jié)后面的習題都是對本節(jié)所學知識的運用。剛開始學習數(shù)學分析，會感覺很暈。對于老師所講的知識，雖然表面上能聽懂，但卻不明白知識背后的真正原因，所以總是感覺學到的東西不實在。至于做題就更差勁