概率統(tǒng)計在實際生活中的應(yīng)用

××=252××=0.058……≈5.8%因此，做10道4選1的選擇題時，猜對其中5道的概率僅有5.8%。這也就是說，猜對的題目越多，實現(xiàn)的概率越小。因此，要想在考試中取得好成績，光靠運氣瞎猜亂選是行不通的，必須具有真才實學(xué)。2.3彩票中獎生活中我們提到對彩票，人們都非常感興趣，馬上想到中大獎，一夜暴富，所以很多彩民愿意賭一把，但是在現(xiàn)實中能夠中獎的卻是寥寥無幾。下面我們通過幾種常見的彩票，簡單地探究一下中獎概率究竟有多大呢？我們依靠彩票來發(fā)家致富的夢想，是否容易實現(xiàn)呢？例2.1一種福利彩票稱為幸福35選7，即從中,01,02,…,35不重復(fù)的開出7個基本號碼，一個特殊號碼，中各等獎的規(guī)則如下，試求各等獎的中獎概率？表1幸福35選7的中獎規(guī)則中獎級別中獎規(guī)則一等獎7個基本號碼全中二等獎中6個基本號碼及特殊號碼三等獎中6個基本號碼四等獎中5個基本號碼及特殊號碼五等獎中5個基本號碼六等獎中4個基本號碼及特殊號碼七等獎中4個基本號碼或者中3個基本號碼及特殊號碼解因為不重復(fù)的選號碼是一種不放回抽樣，所以樣本空間含有個樣本點，要中獎應(yīng)把抽取看成是在三種類型號碼中抽取：7個基本號碼；1個特殊號碼；27個無用號碼。若記為中第i等獎的概率，可得到各等獎的中獎概率如下：若記為事件“中獎”，則為事件“不中獎”，且由可得：；這就說明：一百人中約有人中獎；而中一等獎的概率只有即二千萬個人中約有人中獎。從計算結(jié)果中我們看到中獎的概率很低，而且中頭獎的概率更是微乎其微。所以投資在彩票上很難賺錢。所以彩民要科學(xué)理智的對待買彩票這件事情，盡管將近看起來很高，但是中獎概率非常低，投資彩票回報率是很低的，彩民很難獲得預(yù)期的效益。例2.2幸運七星及足彩中獎概率。體彩“幸運七星”屬于數(shù)字型玩法，即從共個號碼中任選一個七位數(shù)號碼組成，每個號碼均從共個數(shù)字中開出，“幸運七星”頭獎的理論中獎概率為。足彩實際上也是一種數(shù)字組合型玩法，不過計算方法相對比較簡單，場比賽均選“”可組合出：注單式號碼，一等獎的中獎概率為。換句話說，每銷售320萬元的足彩，平均才可能誕生一個一等獎。因此購買彩票要有平常心，期望值不宜過高。2.4體育比賽中的概率問題體育比賽中利用概率求解的案例有許多，利用概率求解實際問題時，并不都是這么容易的，而許多概率的計算是富有技巧的。例2.3在斯諾克臺球比賽中，我國運動員丁俊暉與國外運動員奧沙利文相遇，根據(jù)實際排名和以往的戰(zhàn)績統(tǒng)計，每賽一局丁俊暉勝的概率為0.45，奧沙利文勝的概率為0.55，若比賽可采用三局兩勝制，也可以采用五局三勝制，問采用哪種賽制對丁俊暉更有利？解（1）采用三局兩勝制：設(shè)表示丁俊暉勝前兩局，表示前兩局中二人各勝一局，第三局丁俊暉勝，表示丁俊暉勝，則。而，由于與互斥，由加法公式得:（2）采用五局三勝制：設(shè)表示丁俊暉勝，表示前三局丁俊暉勝，表示前三局，丁俊暉勝兩局，奧沙利文勝一局，第四局丁俊暉勝，表示前四局兩人各勝兩局，第五局丁俊暉勝，則而,所以由故采用三局兩勝制對丁俊暉有利，但從公平性而言，因丁俊暉的概率為，奧沙利文的概率為，所以“五局三勝制”更公平、更合理。在實際比賽中，采用的是十九局十局勝制，更為公平、合理，結(jié)果是丁俊暉輸了（斯諾克大賽中的比賽結(jié)果），如果采用三局兩勝制，丁俊暉就戰(zhàn)勝了奧沙利文。例2.4在某次世界女排錦標賽中，中、日、美、古巴4個隊爭奪決賽權(quán)，決賽方式是中國對古巴，日本對美國，并且中國隊已經(jīng)戰(zhàn)勝古巴隊，現(xiàn)根據(jù)以往的戰(zhàn)績，假定中國隊戰(zhàn)勝日本隊和美國隊的概率分別為0.9和0.4，而日本隊戰(zhàn)勝美國隊的概率為0.5，試問中國隊取得冠軍的可能性有多大？解根據(jù)上述形式，未完成的日美半決賽隊中國冠軍的影響很大，若日本隊勝利，則中國隊可有90%的希望奪冠，若美國隊勝利，則中國隊奪冠的希望只有40%。在日本隊和美國隊未比賽前，他們誰能取得決賽權(quán)，兩種情況都必須考慮到。記“中國隊得冠軍”為事件,日本隊勝美國隊為事件,有美國隊勝日本隊為事件,，顯然有，要么日本隊勝，要么美國隊勝，二者必居其一，所以為一個劃分，有全概率公式，這里,其中，，是個條件概率.表示在日本隊勝美國隊的條件下中國隊取得冠軍的概率。由題意可知，；表示在美國隊勝日本隊的條件下，中國隊取得冠軍的概率，由題意可知，。綜上所述，在日、美未決賽前，估計中國隊取得冠軍的概率為2.5抓鬮的公平性從古代流傳下來的抓鬮的方法一直被人們認為是一種比較公平的解決問題的方法，下面我們構(gòu)造一個概率模型來說明它的公平性。例2.5一項耐力比賽，勝出的10人中有1人可以獲得一次旅游的機會，組織者決定以抓鬮的方式分配這一名額。采取一組10人抓鬮，10張鬮中只有一張寫“有”，每個人都想爭取到這次機會，你希望自己是第幾個抓鬮者呢？有人說要先抓，否則寫“有”的鬮被別人抓到自己就沒有機會了；有人說不急于先抓，如果前面的人沒有抓“有”的鬮，這時抓到“有”的機會會大一些。我們用概率的方法構(gòu)造一個摸球模型來說明抓鬮的問題的公平性。摸球模型袋中有1個紅球和9個黃球，除顏色不同外，球的大小、形狀、質(zhì)量都相同?，F(xiàn)在10依次摸球(不放回)，求紅球被第個人摸到的概率？解設(shè)“第個人摸到紅球”，顯然，紅球被第一個人摸到的概率為因為,于是紅球被第二個人摸到的概率為同樣，由,知道紅球被第三個人摸到的概率為如此繼續(xù)，類似可得:由此可見，其結(jié)果與無關(guān)，表明10個人無論摸球順序如何，每個人摸到紅球的機會相等。這說明10個人抓鬮，無論先后，抓到的機會是均等的。類似的抽簽問題也是一樣的，他們都是公平的，先抽后抽都一樣的概率，理解了抽簽問題，在抽簽時泰然處之，就沒必要再抽簽時爭先恐后，或者畏首畏尾了。2.6生日相同的概率問題生日悖論是指，如果一個房間里有23個或23個以上的人，那么至少有兩個人的生日相同的概率要大于50%。這就意味著在一個典型的標準小學(xué)班級(30人)中，存在兩人生日相同的可能性更高，對于60或者更多的人，這種概率要大于99%。大多數(shù)人會認為，23人中有2人生日相同的概率應(yīng)該遠遠小于50%。計算與此相關(guān)的概率被稱為生日問題。例2.6以1年365天計(不考慮閏年因素)，在某人群中至少要有兩人的生日相同（可以不同年），那么需要多少人呢?只要人數(shù)超過365人，就必然會有人的生日相同。但如果一個班有50個人，他們中間有人相同的概率是多少?分析：你可能會猜測，大概20%到30%吧.錯，有97%的可能！我們來算一下，50個人可能的生日組合是50個人生日都不重復(fù)的組合是50個人生日全不相同的概率是50個人生日有重復(fù)的概率是通過計算我們可以很明顯的看出當一個班的人數(shù)超過50人時，則出現(xiàn)相同生日的學(xué)生的可能性為0.97，幾乎接近于1。另外，經(jīng)過簡單計算，我們也可以歸納出現(xiàn)相同生日（可以不同年）的概率情況，見表2表220-60人相同生日概率統(tǒng)計表（為人數(shù)，為概率）20304050600.4110.7110.8910.9700.994所以如果一個房間里有23個或23個以上的人，那么至少有兩個人的生日相同的概率要大于50%。這就意味著在一個典型的標準小學(xué)班級(30人)中，存在兩人生日相同的可能性更高。對于60或者更多的人，這種概率要大于99%。這說明，面對一個貌似簡單的概率問題時，如果我們主觀臆斷，有時可能與實際情況完全不同了。2.7降水概率問題降水概率為0，為什么還會下雨？一提到概率，很多朋友首先會想起天氣預(yù)報中出現(xiàn)的“降水概率”，畢竟每天都有天氣預(yù)報，每天都能接觸到“降水概率”這個專用術(shù)語。那么，到底什么事降水概率呢？所謂降水概率就是下雨或下雪的概率。

聽到天氣預(yù)報中說的降水概率后，一般人都會根據(jù)經(jīng)驗決定出門時是否帶傘。比如，一聽到預(yù)報說降水概率在50%以上，很多朋友就會帶雨傘出門。不過，對我而言，降水概率不上60%，我決不會帶雨傘出門。我們說過，概率為0的事情絕對不會發(fā)生。不過，說到降水概率，即使為0%，也不能保證絕對不會下雨或下雪。這是為什么呢？降水概率是將未來可能出現(xiàn)的氣象條件與以往的氣象數(shù)據(jù)進行對比和分析后得到的。首先，要使用超級計算機預(yù)測未來一半時間內(nèi)的大氣狀況和氣壓配置等各種氣象條件。然后，再將預(yù)測的氣象數(shù)據(jù)與過去保存的氣象數(shù)據(jù)進行對比，并找出過去在相同的氣象條件下降水在1毫米以上的概率有多大。這一概率就是未來一段時間內(nèi)的降水概率。比如，為了預(yù)測明天早晨6點到中午12點之間的降水概率，氣象專家首先要用超級計算機預(yù)測明天這個時間段內(nèi)的各種氣象條件。然后，再找出過去與預(yù)測的現(xiàn)象條件類似或接近的氣象數(shù)據(jù)，并據(jù)此計算出降水在1毫米以上的概率值。假如在以往10次類似的氣象條件中，有7次降水在1毫米以上，那么降水的概率就為70%。因此，預(yù)測說降水概率為70%這，相當于預(yù)報10次降水概率為70%中只有7次的降水會在1毫米以上。此外，現(xiàn)在的降水概率的預(yù)報以10%為單位，因而降水概率都是10%的整數(shù)倍，之間的數(shù)值都要進行四舍五入。當然，預(yù)報得過于具體也沒有多大意義。因此，0%—40%的降水概率都會預(yù)報為0%，而5%—14%的降水概率都會預(yù)報為10%……因此，預(yù)報降水概率為0%，是說降水概率在0%-4%之間，因此不能完全保證不會下雨或下雪。2.8概率在求解最大經(jīng)濟利潤問題中的應(yīng)用如何獲得最大利潤是商界永遠追求的目標，隨機變量函數(shù)期望的應(yīng)用為此問題的解決提供了新的思路。例2.7某公司經(jīng)銷某種原料，根據(jù)歷史資料：這種原料的市場需求量(單位:噸)服從上的均勻分布，每售出噸該原料，公司可獲利千元;若積壓1噸，則公司損失千元，問公司應(yīng)該組織多少貨源，可使期望的利潤最大？分析:此問題的解決先是建立利潤與需求量的函數(shù)，然后求利潤的期望，從而得到利潤關(guān)于貨源的函數(shù)，最后利用求極值的方法得到答案。解設(shè)公司組織該貨源噸,則顯然應(yīng)該有，又記為在噸貨源的條件下的利潤，則利潤為需求量的函數(shù)，即，由題設(shè)條件知:當時，則此噸貨源全部售出,共獲利；當時,則售出噸(獲利)且還有噸積壓(獲利)，所以共獲利從而得上述計算表明是的二次函數(shù)，用通常求極值的方法可以求得，噸時，能夠使得期望的利潤達到最大。2.9概率在醫(yī)療保險上的應(yīng)用目前，保險問題在我國是一個熱點問題。保險公司為各企業(yè)、各單位和個人提供了各種各樣的保險保障服務(wù)，人們總會預(yù)算某一業(yè)務(wù)對自己的利益有多大，會懷疑保險公司的大量賠償是否會虧本。下面以中心極限定理說明它在這一方面的應(yīng)用。例2.8已知在某人壽保險公司有個人參加保險，在一年里這些人死亡的概率為，每人每年的頭一天向保險公司交付保險費元，死亡時家屬可以從保險公司領(lǐng)取元保險金，求:保險公司一年中獲利不少于元的概率；保險公司虧本的概率。解設(shè)一年中死亡的人數(shù)為，死亡率為，把考慮人在一年里是否死亡看成重Bernoulli試驗，則,保險公司每年收入為，付出元，則根據(jù)中心極限定理得:(1)所求概率為:(2)所求概率為:經(jīng)上述計算可知一個保險公司虧本的概率幾乎為，這也是保險公司樂于開展業(yè)務(wù)的一個原因。3概率統(tǒng)計在生活中其他方面的應(yīng)用在中國五千年的文化長河中，流傳著許多諺語、典故，他們體現(xiàn)出了很強的哲學(xué)思想，人們往往對這些諺語、典故的正確性深信不疑。其實，這些諺語典故從數(shù)學(xué)角度來講，說的是一些小概率事件。只要我們掌握了小概率事件的理論解說，就可以詮說它的哲學(xué)思想。3.1三個臭皮匠抵個諸葛亮我們知道，諸葛亮足智多謀，運籌帷幄，決勝千里。某一問題能夠被諸葛亮解決似乎是必然的，但這一問題能夠被臭皮匠解決似乎就有偶然性。但我們卻有如下的文學(xué)成語“三個臭皮匠抵個諸葛亮”。它能否從數(shù)學(xué)上得到證明？回答是肯定的。

EQ例3.1有三個臭皮匠參加射擊比賽，他們?nèi)齻€人能射中的概率分別為0.4，0.45，0.5。那么,他們?nèi)齻€人中至少有一個能射中的概率是多少?我們用反面證明的方法，三個人都射不中的概率為:=(1-0.4)(1-0.45)(1-0.5)=0.165所以三個人中至少有一個人能射中的概率為:1-0.165=0.835百分之八十多的成功概率，就算諸葛亮也不過如此了。很簡單的概率題，誰都能明白的道理。你沒把握，我沒把握，但是我們坐在一起，思想交織，那就有把握?？墒乾F(xiàn)實中又是什么阻隔了這樣的一種合作？是面子，是心高氣傲，更是對利益分配的斤斤計較……一個人不可能每一個領(lǐng)域都神通廣大，而一個人卻是對每一個領(lǐng)域都有需要。你不懂得合作，你就只有一個人在那里寂寞無助，卻還以自己的獨當一面沾沾自喜，其實，你就是個可憐蟲，不懂得合作的人，終將被淘汰。3.2一根筷子容易折，一把筷子堅如鐵此諺語說的是“團結(jié)就是力量”，下面用概率論加以分析。我們可以假設(shè)一根筷子能夠被折斷的概率為，則根相同筷子能同時被折斷概率就為。對于，取不同的值，將會得到不同的結(jié)果，現(xiàn)假設(shè)，則根相同筷子能同時被折斷的概率如下表:15101520253040500.90.590.3490.2060.1220.0720.0420.0150.0052表3根相同筷子能同時被折斷的概率（為筷子根數(shù)，為能折斷概率）從上表可以明顯看出，筷子越多時，能折斷的概率就越小，當=50時，能被折斷的概率只有0.0052，幾乎不可能折斷。事實上，團結(jié)不僅是力的整合，更是智力的互補、性格的兼容、文化的升華。團隊精神是難能可貴的。類似的諺語還有“眾人拾柴火焰高”、“人心齊,泰山移”、“眾人一條心，黃土變成金”等。3.3吃剩下的東西有福氣很多人都拘泥抽簽順序，總認為:如果第一個人中簽的話，后面的人就沒有中簽的機會了，所以如果自己不第一個抽，那么就感到自己的命運是被別人決定似的，有吃虧的感覺。其實不然，中簽的概率并不依賴于抽簽順序，下面用一個事例進行論證。假設(shè)這里共有10個簽，其中只有一個是要中的簽。兩個人抽簽時，我們把第一個抽簽和第二個抽簽的中簽概率做一比較。首先，第一個抽簽人的中簽概率是。然后考慮第二個抽簽人的中簽概率，分兩種情況:一是第一個人中簽的情況(概率為)。因為別人不會再有中簽的機會了，所以第二個人中簽的概率為O；二是第一個人不中簽的情況(概率為)。因為第一個人已經(jīng)抽走一個簽，剩下的9個簽只有一個簽是要中的簽，所以第二個人中簽的概率就為×=這樣一來，第二個人中簽的概率就是兩種情況相加0+=即，其結(jié)果和第一個抽簽人的中簽概率相同。由此可見,是否中簽與抽簽的先后次序無關(guān)，有了這一理論，我們在抽簽時就完全不必爭先恐后了，說不定您最后—個抽正好中簽，是最有福氣的人。這里要說明一點，為確保每次抽簽都是公平的，即每個人抽中的概率均相等，建議：(1)同時抽；(2)序貫抽簽時，前面抽完簽的人不要急于公布結(jié)果，等全部抽完后再說。4結(jié)束語雖然在現(xiàn)實生活中我們不能準確預(yù)測未來或一些尚未發(fā)生的事件，但概率論的應(yīng)用有利于更好地處理各種不確定因素。概率論應(yīng)用到生活的方方面面，從而為我們的日常生活帶來方便。有人設(shè)想，不久的將來，新聞報道中每一條消息旁都會注明“真實概率”，電視節(jié)目的預(yù)告中，每個節(jié)目旁都會寫上“可視度概率”。另外,還有西瓜成熟概率、火車正點概率、藥方療效概率、廣告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表現(xiàn)，從某種意義上說是民主與平等的體現(xiàn)，因此，社會生活中的很多競爭機制都能用概率來解釋其公平合理性。

總之，我們在生活和工作中，無論做什么事都要腳踏實地，對生活中的某些偶然事件要理性的分析、對待。由于隨機現(xiàn)象在現(xiàn)實世界中大量存在，概率必將越來越顯示出它巨大的威力。參考文獻[1]沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2003:190-215.[2]程依明.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2004:14-26.[3]施雨，李耀武.概率論與數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)用[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1998:125-135.[4]劉長波.生活中的概率問題舉例[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報，2007(4)：131-134.[5]張國權(quán).應(yīng)用概率統(tǒng)計[M].北京:科學(xué)出版社,2003:185