淺談極限思想及其運(yùn)用

淺談極限思想及其運(yùn)用淺談函數(shù)極限求解方法學(xué)生:陳智年指導(dǎo)老師：趙守江三峽大學(xué)理學(xué)院摘要:極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析的基本概念的表述,都可以用極限來描述。如函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義,偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分的定義，三重積分的定義，無窮級(jí)數(shù)的定義都是用極限來定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本工具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限要從以下兩個(gè)方面著手：1)是考察所給函數(shù)是否存在極限;2）若函數(shù)存在極限,則考慮如何計(jì)算此極限。本文主要是對(duì)第二個(gè)問題即在極限存在的條件下,如何去求極限進(jìn)行綜述。對(duì)于簡(jiǎn)單的極限的計(jì)算，利用定義求值或利用極限的四則運(yùn)算法則求值都是可行的，但是對(duì)于一個(gè)比較復(fù)雜的極限的計(jì)算，例如的值時(shí)則不能直接采用一般的定義或者定理，即使采用洛必達(dá)法則也是比較繁瑣的，然而用泰勒展示則計(jì)算簡(jiǎn)單多了,這就說明為一般地解決極限求值問題時(shí),就必須利用有效有針對(duì)性的計(jì)算方法，對(duì)各個(gè)具體問題還要善于發(fā)現(xiàn)和利用其特點(diǎn)以簡(jiǎn)化手續(xù)．傳統(tǒng)的極限的計(jì)算方法不下十幾種，但具體到計(jì)算不同特征的極限時(shí),究竟采用哪種方法，很多人總感到無從下手．只有將這些方法進(jìn)行歸納總結(jié),從而才可以針對(duì)不同特征的式子選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法,進(jìn)而簡(jiǎn)化計(jì)算。關(guān)鍵詞：極限；極限的定義；極限的性質(zhì)；羅必達(dá)法則；泰勒公式;單調(diào)有限法則；積分中值定理；拉格朗日中值定理Keywords:Limit；ultimatelimitsofnature；Luo'sRule;Taylorformula；monotonouslimitedlaw；integralmeanvaluetheorem;Lagrangemeanvaluetheorem。與一切科學(xué)方法一樣，極限法也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物。極限法的思想可以追溯到古代．劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始極限觀念的應(yīng)用．古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對(duì)無限的恐懼”,他們避免明顯地“取極限”，而是借助于簡(jiǎn)接證法──歸謬法完成有關(guān)證明．。到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸繆法證明步驟．如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用的概念的方向"．。到了18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對(duì)極限作出過各自的定義．其中達(dá)朗貝爾的定義是：“一個(gè)量是另一個(gè)量的極限，假如第二個(gè)量比任意給定的值更為接近第一個(gè)量．”它接近于極限的正確定義,然而，這些人的定義都無法擺脫對(duì)幾何直觀的依賴．事情也只能如此，因?yàn)?9世紀(jì)以前的算術(shù)和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的．。1預(yù)備知識(shí)2極限的十幾種求解方法數(shù)學(xué)極限是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要解題方法,也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題（例如求瞬時(shí)速度、曲線弧長(zhǎng)、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它采用了極限的思想方法。。有時(shí)我們要確定某一個(gè)量，首先確定的不是這個(gè)量的本身而是它的近似值，而且所確定的近似值也不僅僅是一個(gè)而是一連串越來越準(zhǔn)確的近似值；然后通過考察這一連串近似值的趨向，把那個(gè)量的準(zhǔn)確值確定下來.這就是運(yùn)用了極限的思想方法。2.1幾種關(guān)于分式的求極限問題的方法說明：關(guān)于分式的極限的求解方法我一共總結(jié)出以下幾點(diǎn)2。1.1．約去零因子求極限說明先要明白什么是零因子：在求極限時(shí)遇到的、極限值為0、而本身不為零的因子