高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課件 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

PAGE兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)前兩章介紹了單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)，它是振動(dòng)理論的基礎(chǔ)，并有重要的應(yīng)用價(jià)值。但工程中許多實(shí)際問(wèn)題是不能簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題，它們往往需要簡(jiǎn)化成為多自由度系統(tǒng)。兩自由度系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的多自由度系統(tǒng)，無(wú)論是模型的簡(jiǎn)化、振動(dòng)微分方程的建立和求解的一般方法，以及系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)出來(lái)的振動(dòng)特性等等。兩自由度系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒(méi)有本質(zhì)上的差別，而主要是量上的差別，因此研究?jī)勺杂啥认到y(tǒng)是分析多自由度系統(tǒng)振動(dòng)特性的基礎(chǔ)。所謂兩自由度系統(tǒng)是指要用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中任何瞬時(shí)的幾何位置的振動(dòng)系統(tǒng)。4-1無(wú)阻尼自由振動(dòng)1.系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程作為兩自由度振系的第一個(gè)例子，現(xiàn)在來(lái)分析圖4-1（a）所示的雙彈簧系統(tǒng)，設(shè)彈簧的剛度分別為k1、、k2，質(zhì)量為m1、m2。質(zhì)量的位移分別用x1、x2表示，并以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向下為正?，F(xiàn)建立系統(tǒng)在靜平衡位置的力學(xué)條件及振動(dòng)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)微分方程。在靜平衡位置，設(shè)兩彈簧的伸長(zhǎng)分別為δ1、、δ2，則由系統(tǒng)的受力圖4-1（b），得系統(tǒng)的靜平衡條件為（a）在振動(dòng)過(guò)程中，設(shè)任一瞬時(shí)t，m1和m2的位置分別為x1和x2，此時(shí)質(zhì)量上的受力圖如圖4-1（c）所示。應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，得整理后得（b）將方程（b）的右端和方程(a)比較，就可以消去平衡項(xiàng)，于是得(4-1)令則（4-1）式可改寫(xiě)成(4-2)這是聯(lián)立的二階常系數(shù)線性微分方程組。在第一個(gè)方程中包括－bx2項(xiàng)，第二個(gè)方程中則包含－cx1項(xiàng)，這類(lèi)項(xiàng)稱(chēng)為“耦合項(xiàng)”。它表明質(zhì)量m1除受到彈簧k1的恢復(fù)力外，還受到彈簧k2的恢復(fù)力的作用。而且彈簧k2的變形是質(zhì)量m1和m2之間的相對(duì)位移。質(zhì)量m2雖然只受到彈簧k2的恢復(fù)力作用，但這一恢復(fù)力也受到質(zhì)量m1位移的影響。象這種位移之間有耦合的情況稱(chēng)為彈簧耦合。有時(shí)，在振動(dòng)微分方程組中還會(huì)出現(xiàn)加速度之間的耦合情況，稱(chēng)加速度之間的耦合為慣性耦合。關(guān)于耦合的問(wèn)題后面還要討論到。固有頻率與主振型現(xiàn)求解方程（4-2），從單自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論知，系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，據(jù)此假設(shè)方程組（4-2）的解為x1＝A1sin（pt+），x2＝A2sin（pt＋）（4-3）這代表兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其中A1、A2分別為質(zhì)量m1和質(zhì)量m2的振幅，p為頻率，為初相角。它們均為待求量。將（4-3）式代入（4-2），得消去公因子sin（）后，得（4-4）式（4-4）是A1、、A2的齊次線性代數(shù)方程組。當(dāng)A1=A2=0時(shí)，條件（4-4）顯然成立，但這只代表振系處于靜平衡位置的情況，不代表任何振動(dòng)情況。要使A1與A2有非零解，則方程（4-4）的系數(shù)行列式必須等于零，即即p4－（a＋c）p2＋c（a－b）=0(4-5)這是p2的二次式，稱(chēng)為振系的頻率方程，p2的兩個(gè)根為（4-6）因?yàn)椋?-6）中的根式永為正值，且a－b亦為正值，故（4-6）式中的根式永遠(yuǎn)小于，所以及是兩正實(shí)根。因此，可從中得到兩個(gè)符號(hào)相異的頻率p1及p2，因?yàn)樨?fù)頻率無(wú)實(shí)際意義，故只考慮兩個(gè)正根。由此得兩自由度振系有兩個(gè)頻率p1及p2，。又因?yàn)檫@兩個(gè)頻率唯一地決定于振系的參數(shù)a、b、c，亦即只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（質(zhì)量與剛度），故稱(chēng)p1及p2為振系的第一、第二固有頻率（或稱(chēng)主頻率），且p1＜p2。將所求得的及代回（4-4）式得對(duì)應(yīng)于p1的質(zhì)量m1、m2的振幅，β1為其振幅比；（4-7）式中：、對(duì)應(yīng)于p1的質(zhì)量m1、m2的振幅，β1為其振幅比；、對(duì)應(yīng)于p2的質(zhì)量m1、m2的振幅，β2為其振幅比。由此可見(jiàn)，由（4-7）式不能完全確定振幅A1與A2，但可以確定振幅比β1與β2。且當(dāng)系統(tǒng)按任一固有頻率振動(dòng)時(shí)，振幅比只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。對(duì)照（4-7）式與（4-3）式，可見(jiàn)，兩個(gè)質(zhì)量m1及m2在任一瞬間的位移比x2/x1是確定的，并且等于振幅比A2/A1，也就是說(shuō)振幅比決定了整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)。因此，將振幅比稱(chēng)為系統(tǒng)的主振型，或稱(chēng)為系統(tǒng)的固有振型。其中β1為第一主振型，β2為第二主振型。當(dāng)系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型作振動(dòng)時(shí)，即稱(chēng)為系統(tǒng)的主振動(dòng)。所以第一主振動(dòng)為（4-8-1）第二主振動(dòng)為（4-8-2）為了進(jìn)一步研究主振動(dòng)的性質(zhì)，由（4-7）可得因此，振幅比β1>0，β2<0，即，當(dāng)振系以頻率p1振動(dòng)時(shí)，質(zhì)量m1與m2的運(yùn)動(dòng)總是同向的，二者同時(shí)往左或同時(shí)往右，如圖4-2（a）所示，此為第一主振動(dòng)，而當(dāng)振系以p2振動(dòng)時(shí)，則m1與m2的運(yùn)動(dòng)總是反向的，在m1往左時(shí)，m2往右，而當(dāng)m1往右時(shí)，m2往左，如圖4-2（b）所示，此為第二主振動(dòng)?？梢园l(fā)現(xiàn)，在圖4-2（b）中，在聯(lián)系m1與m2之間的彈簧上出現(xiàn)這樣一個(gè)點(diǎn)，它在整個(gè)第二主振動(dòng)過(guò)程中始終保持不動(dòng)，這樣的點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。3.通解與初始條件前面分析了兩自由振動(dòng)系統(tǒng)的主振動(dòng)，而這些主振動(dòng)又都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)各點(diǎn)同時(shí)經(jīng)過(guò)平衡位置和最大偏離位置，它們的位移之比永遠(yuǎn)是一個(gè)定值，但是必須指出，并非任何情況下系統(tǒng)都可能作主振動(dòng)。微分方程組（4-1）的通解是（4-8-1）和（4-8-2）式兩種主振動(dòng)的迭加，即（4－9）(4-9)式表示了不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的迭加，一般情況下，不僅不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而且除了p1與p2可以通約的情況外，也不是周期振動(dòng)。（4-9）式的頻率p1、p2及振幅比β1、β2都決定于振系的參數(shù)，由（4-6）、（4-7）式確定。振幅、及相角、四個(gè)未知數(shù)則由振動(dòng)的四個(gè)初始條件來(lái)決定。設(shè)初始條件t＝0時(shí)，x1＝x10，x2＝x20，，，代入（4-9）式，得這是一組未知量為、、和的四元一次代數(shù)方程組，解之可得,(4-10)將（4-10）式代入（4-9）式就得到系統(tǒng)在上述初始條件下的響應(yīng)。在特殊的初始條件下，若，系統(tǒng)便作第一主振動(dòng);若，系統(tǒng)便作第二主振動(dòng)。由（4-10）式不難看出，如果初始位移和初始速度的比值都等于振幅比（或），就可得到（或）。還可以找到其他能使（或）的初始條件。[例4-1]試求如圖4-3所示振系的固有頻率與主振型。已知m1＝m，m2＝2m，k1＝k2＝k，k3＝2k。又若知初始條件為x10＝1.2，，求系統(tǒng)的響應(yīng)。若初始條件變?yōu)閤10＝x20＝1，，則系統(tǒng)的響應(yīng)有何變化。解：該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式為令a＝（k1＋k2）/m1，b＝k2/m1，c＝k2/m2,d=(k2+k3)/m2，則(c)設(shè)x1＝A1sin（pt＋）x2＝A2sin（pt＋）代入方程（c），得(d)頻率方程為（a－p2）（d－p2）－bc＝0即p4－（a＋d）p2＋ad－bc＝0可解出故，將值代入（d）式，得以橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)各點(diǎn)的靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示各點(diǎn)振幅比，可作出如圖4-4所示的系統(tǒng)主振型圖。圖中（a）為第一主振型，（b）為第二主振型?？梢钥闯?，在第二主振型中，彈簧k2上有一個(gè)節(jié)點(diǎn)。根據(jù)給定的初始條件，代入（4-10）式，得故系統(tǒng)的響應(yīng)為若給定初始條件變?yōu)?，則，，則系統(tǒng)的響應(yīng)為，，系統(tǒng)作第一階主振動(dòng)。[例4-2]如圖4-5所示的系統(tǒng)，圓軸上在C、D處固定有兩圓盤(pán)，而其軸兩端可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，軸的質(zhì)量不計(jì)，軸的每一部分具有相同的扭轉(zhuǎn)剛度kt，圓盤(pán)1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I1，圓盤(pán)2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I2＝2I1，略去阻尼。如果整個(gè)系統(tǒng)以等角速度旋轉(zhuǎn)，試確定當(dāng)轉(zhuǎn)軸突然在A與B處卡死時(shí)，圓盤(pán)1和2所產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。解：兩圓盤(pán)在某瞬時(shí)其轉(zhuǎn)角以θ1和θ2表示，以逆時(shí)針向?yàn)檎?，相?yīng)的角加速度為和，圓盤(pán)1和圓盤(pán)的自由振動(dòng)微分方程為即因?yàn)镮2＝2I1,所以上式可寫(xiě)為（e）令θ1＝A1sin(pt+)θ2＝A2sin(pt+)代入微分方程組（e），得（2kt－I1p2）A1－ktA2＝0－ktA1＋（2kt－2Itp2）A2＝0頻率方程為（2kt－I1p2）（2kt－2I1p2）－＝0或解得圓頻率為振幅比第一階主振型和第二階主振型分別表示如圖4-6（a）、（b）所示。由圖可見(jiàn)，一階主振型的兩圓盤(pán)振幅為同相，二階主振型的兩圓盤(pán)振幅為反相，軸上有一節(jié)點(diǎn)。根據(jù)題意，軸兩端A、B點(diǎn)突然卡死，取此瞬時(shí)t＝0，初始位移θ01＝θ02＝0，而初始速度(即為卡死前軸的旋轉(zhuǎn)角速度)。應(yīng)用方程（4-10），得故系統(tǒng)的響應(yīng)為由上式可見(jiàn)，在給定條件下，角位移的數(shù)值主要是由第一階固有頻率的振動(dòng)引起的，而第二階固有頻率的振動(dòng)對(duì)位移的影響很小。[例4-3]兩個(gè)相同的單擺用彈簧k相連，如圖4-7所示。當(dāng)擺在鉛垂位置時(shí)彈簧不受力。試求振系在同一鉛垂平面內(nèi)進(jìn)行微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率。解：取偏角θ1與θ2為坐標(biāo)，以反時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，假定偏角很小，可令cosθ，sinθθ，當(dāng)左擺有偏角θ1，右擺有偏角θ2時(shí)，彈簧k有伸長(zhǎng)a（θ2－θ1），彈簧力F=F‘＝ka（θ2－θ1）。分別對(duì)懸點(diǎn)o1與o2取矩，可得微分方程組令θ1＝A1sin（pt+），θ2＝A2sin（pt+）,代入上邊方程組，得(mgL+ka2－mL2p2）A1－ka2A2ka2A1－(mgL+ka2－mL2p2)A2頻率方程為解得所以，振幅比為第一階主振型為第二階主振型為第一、第二主振型分別如圖4-8（a）（b）所示。在第一主振型中，兩擺振幅是相同的且同相，這時(shí)彈簧內(nèi)不受力，所以振動(dòng)的頻率和單擺相同；在第二主振型中，兩擺反相，彈簧中間一點(diǎn)不動(dòng)（節(jié)點(diǎn)），這時(shí)可以把雙擺看作兩個(gè)彼此獨(dú)立的單擺，在距懸掛點(diǎn)a處連接一剛度為2k的彈簧，如圖4-8（c）所示。[例4-4]圖4-9為一車(chē)輛振動(dòng)的力學(xué)模型。車(chē)輛是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的多自由度問(wèn)題，這里只考慮車(chē)體作上下振動(dòng)與俯仰運(yùn)動(dòng)，因而只需用車(chē)體質(zhì)心c的鉛垂向坐標(biāo)x與圍繞橫向水平質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)角θ就可以完全確定車(chē)體的位置。這樣就把車(chē)輛簡(jiǎn)化為兩自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，即簡(jiǎn)化為一剛體（車(chē)體）支承在彈簧（是掛彈簧和輪胎）上在平面內(nèi)的振動(dòng)問(wèn)題。在圖4-9（b）中所示的x與θ為正方向。設(shè)剛體質(zhì)量為m，兩端彈簧剛度為k1和k2，剛體質(zhì)心c與彈簧k1、k2的距離為L(zhǎng)1及L2，剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ic，求解系統(tǒng)的固有頻率與主振型。解：坐標(biāo)原點(diǎn)仍取靜平衡位置，從而使剛體重w＝mg和與之相平衡的彈簧壓力都不出現(xiàn)在振動(dòng)微分方程式中。在任一瞬時(shí)剛體發(fā)生微小位移x與θ，兩端便受到彈簧恢復(fù)力k1（x1+L1θ）和k2（x－L2θ）的作用。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)方程式可寫(xiě)出振動(dòng)微分方程式或（f）令a＝（k1+k2）/m，b=(k2L2-k1L1)/m，c=(k2L2-k1L1)/Ic，d=(k1+k2則得到與例4-1中同樣形式的微分方程：（g）設(shè)x＝A1sin（pt+）＝A2sin（pt+）代入以上微分方程，用同樣的方法得到頻率方程，最后求出系統(tǒng)的固有頻率及振幅比為現(xiàn)分析k.2L2>k1L1的情況。因b>0，c>0，由上式可知，β1>0，β2<0，即第一主振動(dòng)時(shí)x與θ現(xiàn)給出某汽車(chē)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下：前后輪軸之間的距離L＝2.83米，前輪懸掛重量（單輪）：3650牛頓（空車(chē)），4100牛頓（滿載），后輪懸掛重量（單輪）：3050牛頓（空車(chē)），4450牛頓（滿載），前輪懸掛剛度（單輪）：205牛頓/厘米，后輪懸掛剛度（單輪）：225牛頓/厘米。繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑0.95L1L2.現(xiàn)考慮滿載時(shí)的情況?？汕蟮们拜啈覓熘亓?×4100＝8200牛頓，后輪懸掛重量2×4450＝8900牛頓，因此，汽車(chē)總重量＝8200+8900＝17100牛頓。質(zhì)心c至前輪輪軸的水平距離L1=8900L/17100＝0.52L=147厘米。質(zhì)心c至后輪輪軸的水平距離L2＝288-147＝136厘米。前輪懸掛剛度k1＝2×205＝410牛頓/厘米后輪懸掛剛度k2＝2×225＝450牛頓/厘米質(zhì)量m＝1700/980＝17.45牛頓·秒2/厘米回轉(zhuǎn)半徑＝0.95×147×13618992＝18992厘米2代入以上關(guān)系式，得a＝（k1+k2）/m=(410+450)/17.45=49.8b=(k2L2-k1L1)/m=(450×136－410c=(k2L2-k1L1)/m=(450×136-410×147)/(17.45×18992)＝2.806×10d=()/m=[410×1472+450×1362]/(17.45×18992)＝51.85，p1＝7.021/s即1.12HZ，p2＝7.21/s即1.15HZ所以，,作出第一及第二主振型如圖4-10（a）、（b）所示。圖4-10（a）、（b）表明，第一主振動(dòng)的質(zhì)心位移遠(yuǎn)大于第二主振動(dòng)的質(zhì)心位移，也就是第一主振動(dòng)以剛體上下垂直振動(dòng)為主，第二主振動(dòng)以剛體繞質(zhì)心軸的俯仰振動(dòng)為主。前者可以看作剛體繞剛體外一點(diǎn)擺動(dòng)，而后者是以剛體繞其質(zhì)心附加一節(jié)點(diǎn)作擺動(dòng)。4.拍的現(xiàn)象下面以雙擺為例來(lái)繼續(xù)說(shuō)明以初始條件表示自由振動(dòng)以及當(dāng)兩自由度系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率很接近時(shí)的自由振動(dòng)也同樣會(huì)出現(xiàn)拍的現(xiàn)象（此現(xiàn)象已在第二章中提到過(guò)）。將例4-3求得的兩種主振動(dòng)迭加，得到自由振動(dòng)的通解，即若給定初始條件，，由（4-10）式可以求得，，系統(tǒng)的響應(yīng)為系統(tǒng)按第一階固有頻率作主振動(dòng)。若給定初始條件，，由（4-10）式可以求得，，系統(tǒng)的響應(yīng)為系統(tǒng)按第二階固有頻率作主振動(dòng)。在任意初始條件下，系統(tǒng)的響應(yīng)為兩個(gè)主振動(dòng)的迭加，不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。例如當(dāng)初始條件為，，則可求得，，故，或?qū)懗?，，?dāng)彈簧剛度很小時(shí)，2ka2/mL2比之g/L較小時(shí)，p2便接近于p1，令△p＝p2－p1，pa＝（p1+p2）/2，則上式成為，上式表明兩個(gè)擺的運(yùn)動(dòng)可以看作頻率為pa＝（p1+p2）/2的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅不是常數(shù)，而是緩慢改變的函數(shù)與。如圖4-11所示，此時(shí)兩個(gè)擺發(fā)生了拍的現(xiàn)象。在t＝0時(shí)，左擺的振幅為A，而右擺靜止不動(dòng)；此后左擺振幅逐漸減小，右擺振幅逐漸增大，直到時(shí)，左擺靜止不動(dòng)，而右擺振幅等于A；隨后左擺振幅逐漸加大，到時(shí)兩擺的振幅又回到t＝0的情形。以后每隔2π/△p重復(fù)一次，同時(shí)能量也從一個(gè)擺傳到另一個(gè)擺，交替轉(zhuǎn)換，使兩個(gè)擺持續(xù)交替振動(dòng)。拍的周期T=2π/△p=2π/(P2-P1).拍是一種比較普遍的現(xiàn)象，凡是由兩個(gè)頻率相近的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的振動(dòng)都可能產(chǎn)生拍的現(xiàn)象。5.耦合與主坐標(biāo)的概念一般情況下，兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程組中每個(gè)方程往往都有耦合項(xiàng)，如方程（4-2）以及本節(jié)中幾個(gè)例子所建立的運(yùn)動(dòng)微分方程都是如此，方程中出現(xiàn)坐標(biāo)之間的耦合，稱(chēng)為靜力耦合或彈性耦合?，F(xiàn)仍通過(guò)例4-4來(lái)說(shuō)明，在此例中是以剛體質(zhì)心垂直位移x和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)角θ為坐標(biāo)，得到的方程組中具有靜力耦合項(xiàng)，但坐標(biāo)是可以任意選擇的，即也可以以彈簧支承處的位移x1與x2為獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)建立振動(dòng)微分方程，由圖4-9可見(jiàn)，x1與x2和x與θ之間有如下關(guān)系：x1＝x+L1θ，x2＝x-L2θ轉(zhuǎn)換后得x＝（L2x1＋L1x2）/（L1+L2）θ＝（x1-x2）/（L1+L2）將上式代入例4-4中的關(guān)系式中，整理后得上列方程中不僅坐標(biāo)x1和x2有靜力耦合，而且包含加速度和的耦合，這種加速度之間有耦合的情況稱(chēng)為動(dòng)力耦合或慣性耦合。顯然振動(dòng)微分方程中的耦合情況，取決于位移坐標(biāo)的選擇，如當(dāng)選擇另一組特殊的獨(dú)立坐標(biāo)時(shí)，微分方程組中可能只有動(dòng)力耦合，如果選取的坐標(biāo)恰好可使微分方程中的耦合項(xiàng)全等于零，既無(wú)靜力耦合又無(wú)動(dòng)力耦合，這相當(dāng)兩個(gè)單自由度系統(tǒng)，這時(shí)的坐標(biāo)就稱(chēng)為主坐標(biāo)。顯然如果一開(kāi)始就用主坐標(biāo)建立微分方程，對(duì)于計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率是比較方便的，因?yàn)樽鴺?biāo)的變換并不影響固有頻率的計(jì)算值。但實(shí)際問(wèn)題往往并不容易找到主坐標(biāo)，只有在特殊情況下由于結(jié)構(gòu)的安排才可能找到主坐標(biāo)，如例4-4在設(shè)計(jì)中滿足了L2k2＝L1k1這個(gè)條件，此時(shí)振動(dòng)微分方程中無(wú)耦合項(xiàng)，那么x與θ就是主坐標(biāo)?；蛘呷绻麧M足了＝L1L2這個(gè)條件，則這時(shí)彈簧支承處的x1、x2也就是主坐標(biāo)。只要將上式中第一式乘以分別與第二式乘以L1相加以及與第二式乘以L2相減可得在的條件下，上式中將無(wú)耦合項(xiàng)。所以x1與x2即為主坐標(biāo)。這里只是簡(jiǎn)略地提到了主坐標(biāo)的概念，至于如何進(jìn)一部找到主坐標(biāo)，使方程組解耦，將在以后進(jìn)一步討論。4-2無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)圖4-12（a）為二自由度無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型，在質(zhì)量m1與m2上分別持續(xù)作用著簡(jiǎn)諧激擾力F1(t)＝F1sinωt及F2(t)＝F2sinωt，根據(jù)圖4-12（b），可寫(xiě)出該系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為（4-11）令則方程（4-11）可寫(xiě)成(4-12)這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次微分方程組，它的通解由對(duì)應(yīng)于齊次方程的解（自由振動(dòng)部分）與非齊次方程的特解（強(qiáng)迫振動(dòng)部分）迭加而成。當(dāng)系統(tǒng)存在阻尼時(shí)自由振動(dòng)部分經(jīng)過(guò)一段時(shí)間以后就逐漸衰減掉，由激擾力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)部分即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)?，F(xiàn)只研究穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。設(shè)方程特解有以下的形式（其頻率等于激擾力頻率ω，振幅分別為B1及B2的簡(jiǎn)諧振動(dòng)）：(4-13)將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并把結(jié)果代入（4-12）式，得（4-14）解此代數(shù)方程組得(4-15)將（4-15）式代回(4-13)式，即為系統(tǒng)在激擾力作用下的響應(yīng)。此結(jié)果表明，系統(tǒng)作與激擾力同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅與激擾力的振幅、頻率以及系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)。由（4-15）式可見(jiàn)，當(dāng)（a－ω2）（c－ω2）－bc=0時(shí)，系統(tǒng)的振幅B1、B2趨于無(wú)窮大，即出現(xiàn)共振現(xiàn)象，而此時(shí)的激擾頻率ω正好等于系統(tǒng)的固有頻率p1或p2；這是因?yàn)楫?dāng)ω＝p時(shí)，（4-15）式的分母等于0，變?yōu)椋╝－p2）（c－p2）－bc=0，這正是自由振動(dòng)中的頻率方程即（4-5）式。這就是說(shuō)在兩自由度系統(tǒng)中，如果激擾力的頻率和系統(tǒng)的任何一階固有頻率相近時(shí)，系統(tǒng)的振幅急劇增大。兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)有兩個(gè)共振頻率。必須指出，即使引起共振的力只作用在一個(gè)質(zhì)量上，兩個(gè)質(zhì)量也都會(huì)發(fā)生共振。這從方程（4-15）式可知，產(chǎn)生這種現(xiàn)象是由于運(yùn)動(dòng)是耦合的。同時(shí)由（4-15）式可知，兩個(gè)質(zhì)量的振幅比為(4-16)這說(shuō)明在一定的激擾力幅值和頻率下，振幅比同樣是確定值，也就是說(shuō)有一定振型。當(dāng)激擾頻率ω等于第一固有頻率p1時(shí)，振幅比為若將（4-7）式中（a－p2）/b的分子分母均乘以f2，c/（c－）的分子分母均乘以f1，然后按比例相加法則可得（4-17-1）同理（4-17-2）這表明系統(tǒng)在任何一個(gè)共振頻率下的振型就是相應(yīng)的主振型。在實(shí)踐中經(jīng)常使用共振法測(cè)定系統(tǒng)的固有頻率，并可以根據(jù)測(cè)定的振型來(lái)判定固有頻率的階次，就是利用了上述這個(gè)規(guī)律。[例4-5]在圖4-12所示系統(tǒng)中，若m1＝m2＝m，k1＝3k，k2＝2k，F(xiàn)2＝0，求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并作出振幅頻率響應(yīng)曲線。解：其振動(dòng)微分方程為設(shè)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)解為,代入上面方程是得即頻率方程為可求得，即，穩(wěn)態(tài)振幅為代回到及即可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。將B1、、、B2式右端分子分母同除以、，則上兩式可改寫(xiě)成根據(jù)上式，以振幅B1、B2為縱坐標(biāo)，以頻率比ω/p1為橫坐標(biāo)，可作出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，如圖4-13所示。由圖4-13可見(jiàn)，和單自由度系統(tǒng)一樣，兩自由度系統(tǒng)的兩個(gè)質(zhì)量塊的振幅比有類(lèi)似的復(fù)雜關(guān)系。一般，兩自由度系統(tǒng)有兩次共振，每次共振時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量塊的振幅同時(shí)達(dá)到最大值。可以看到，在激擾頻率時(shí)，m1的振幅為零，這種現(xiàn)象稱(chēng)為反共振，而m2的振幅為B2＝－F1/2k＝－F1/k2。當(dāng)，兩個(gè)質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方向是相同的，而在時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方向是相反的；當(dāng)>>p時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量塊的振幅非常小而趨于零。4-3無(wú)阻尼動(dòng)力減震器在討論單自由度系統(tǒng)的共振時(shí)已經(jīng)提到，系統(tǒng)的固有頻率可通過(guò)變更質(zhì)量或彈簧剛度得以實(shí)現(xiàn)。當(dāng)不能使用這一方法時(shí)，便可采用附加彈簧和質(zhì)量使原系統(tǒng)變?yōu)閮勺杂啥认到y(tǒng)得以實(shí)現(xiàn)。如例4-5中圖4-13所示，當(dāng)激擾頻率（即）時(shí)，質(zhì)量m1的振幅B1＝0，這就意味著可適當(dāng)選擇參數(shù)（k2和m2）使兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)只反應(yīng)在一部分物體上，另一部分物體可維持不動(dòng)。無(wú)阻尼動(dòng)力減震器就是根據(jù)這個(gè)原理設(shè)計(jì)的。設(shè)圖4-14（a）所示的單自由度系統(tǒng)，受到激擾力F1sinωt而引起強(qiáng)迫振動(dòng)，當(dāng)ω接近時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生共振。為了消除共振，再在該系統(tǒng)上附加一質(zhì)量m2、剛度為k2的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，這樣就成為兩自由振動(dòng)系統(tǒng)。通常把受有簡(jiǎn)諧激擾力作用的m1－k1系統(tǒng)稱(chēng)為主系統(tǒng)，把附加的m2－k2系統(tǒng)稱(chēng)為副系統(tǒng)，下面具體分析減震原理。根據(jù)上節(jié)的討論，可直接寫(xiě)出圖4-14（b）所示系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程(4-18)其強(qiáng)迫振動(dòng)振幅為，式中：△（ω2）＝（a-ω2）(c-ω2)-bc，而當(dāng)ω2＝k2/m2時(shí)，得B1=0,B2=－f1/b=-F1/k2，可見(jiàn)，選擇副系統(tǒng)的固有頻率時(shí)主系統(tǒng)即保持不動(dòng)，而減震器則以頻率ω作的強(qiáng)迫振動(dòng)，因而彈簧k2作用于物體m1的力為k2x2＝－F1sinωt剛好與擾力F1sinωt相抵消，因此使主系統(tǒng)的振動(dòng)轉(zhuǎn)移到減震器上來(lái)。這樣只需附加一個(gè)彈簧k2與質(zhì)量m2，使，就可使原來(lái)的k1－m1系統(tǒng)（主系統(tǒng)）在擾力作用下進(jìn)行的強(qiáng)迫振動(dòng)完全消失，附加的k2－m2系統(tǒng)就是動(dòng)力減震器。但是必須注意到，加上減震器，固然使物體m1在＝時(shí)完全沒(méi)有振動(dòng)，但卻使原來(lái)的單自由度振系改變?yōu)閮勺杂啥日裣?，因而有兩個(gè)固有頻率，每當(dāng)擾頻與其中任一固有頻率相等時(shí)系統(tǒng)都要發(fā)生共振。固有頻率（即等于共振頻率ωr）值由△（p2）＝（a－p2）（c－p2）－bc＝0來(lái)求出?，F(xiàn)假定k2－m2系統(tǒng)已調(diào)整至k2/m2=k1/m1,或者k2/k1=m2/m1。引用符號(hào)μ＝m2/m1，并代入已引進(jìn)的符號(hào)a、b、c的表示式，則頻率方程△（p2）可改寫(xiě)成因此兩個(gè)固有頻率為（4-19）由（4-19）式作出與的關(guān)系曲線如圖4-15所示。由圖可以看出，對(duì)于一定的μ值有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的λ1和λ2，它們表示了兩個(gè)固有頻率p1和p2的相隔范圍。如μ＝0.2，固有頻率為0.8與1.25。當(dāng)μ很小時(shí)，兩個(gè)固有頻率將很接近，動(dòng)力減震器的使用頻率將很窄，因此必須要求有一定的質(zhì)量比μ，即減震器質(zhì)量不能過(guò)小這樣才不致發(fā)生新的共振，除了滿足以上條件外，還應(yīng)根據(jù)中振幅B2=F1/k2進(jìn)行強(qiáng)度校核。圖4-16中作出了主系統(tǒng)的振幅頻率曲線（μ＝0.2，k1/m1=k2/m2的條件下，縱坐標(biāo)為B1k1/F1,橫坐標(biāo)為）。由圖可見(jiàn)時(shí)，主系統(tǒng)質(zhì)量m1完全沒(méi)有振動(dòng)，只要ω稍微偏離，振幅B1就很快增大，這當(dāng)然只是在無(wú)阻尼的情況下才會(huì)發(fā)生。由以上分析可見(jiàn)，使用無(wú)阻尼動(dòng)力減震器要特別慎重，應(yīng)用不當(dāng)會(huì)帶來(lái)新的共振，所以這種減震器主要用于激擾頻率基本固定（變化不大）的情況。4-4具有粘性阻尼的自由振動(dòng)現(xiàn)在來(lái)分析圖4-17所示的具有粘性阻尼的系統(tǒng)的自由振動(dòng)。選定靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)x1、x2為正，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立振動(dòng)微分方程或（4-20）引用下列符號(hào)m11=m1,m22=m2,c11=c1+c2,c12=c21=-c2,c22=c2,k11=k1+k2,k22=k2,k12=k21=-k2則方程（4-20）可改寫(xiě)成（4-21）現(xiàn)求解方程(4-21)，因?yàn)榉匠讨谐霈F(xiàn)速度項(xiàng)，所以設(shè)該齊次方程解為如下復(fù)數(shù)形式，將x1、、、x2以及它們的導(dǎo)數(shù)代入方程（4-21），得如下代數(shù)方程組(4-22)為使A1、A2不為零，上式中的系數(shù)行列式必等于零，由此可得以下特征方程或（4-23）當(dāng)阻尼很小時(shí)，上述方程有以下形式的共扼復(fù)根，，，，（4-24）上式中n1和n2為衰減系數(shù)，而pd1和pd2為有阻尼自由振動(dòng)的固有頻率，可由式（4-23）求出。將這些值代入方程（4-22）中可得相應(yīng)的振幅比（j＝1，2，3，4）（4-25）上式的振幅比β1、β2、β3、β4都是復(fù)共扼的。對(duì)于有阻尼的自由振動(dòng)系統(tǒng)，方程解是各個(gè)特解的迭加（4-26）（4-27）將（4-24）式代入（4-26）式，并利用歐拉公式，則方程的解可改寫(xiě)成（4-28）可以證明上式中正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，所以該式所表示的位移是按指數(shù)衰減的自由振動(dòng)。此解中的四個(gè)常數(shù)、、、仍取決于初始條件。如果阻尼非常大，那么特征方程的所有根都是負(fù)實(shí)根，則方程的解不是周期性的，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間就衰減為零。4-5具有粘性阻尼、簡(jiǎn)諧激擾的強(qiáng)迫振動(dòng)圖4-18所示為有阻尼兩自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的力學(xué)模型。在質(zhì)量m1上受到力F1sinωt作用。其振動(dòng)微分方程有以下形式（4-29）仍采用符號(hào)m11=m1,m22=m2,c11=c1+c2,c12=c21=-c2,c22=c2,k11=k1+k2,k22=k2,k12=k21=-k2則方程可改寫(xiě)為（4-30）上述非齊次振動(dòng)微分方程的解應(yīng)包含兩部分，即齊次解（自由振動(dòng)部分）與特解（強(qiáng)迫振動(dòng)部分），當(dāng)阻尼很小時(shí)齊次方程的解即（4-28）式，現(xiàn)在只考慮方程組的特解。為了簡(jiǎn)便，現(xiàn)采用復(fù)數(shù)法求解。以F1eiωε（即等于F1cosωt＋iF1sinωt）來(lái)代替F1sinωt，用復(fù)位移和來(lái)代替x1和x2，用復(fù)速度和來(lái)代替實(shí)速度和，用復(fù)加速度和來(lái)代替實(shí)加速度和。則（4-30）式可改寫(xiě)成（4-31）設(shè)方程的穩(wěn)態(tài)復(fù)數(shù)解為,(4-32)式中B1、B2為振幅的復(fù)數(shù)值。而，，，。代入方程（4-31），消去eiωε，得（4-33）和可由方程（4-33）求出，即上式中a、b、c、d、e、f各值為因而振幅B1、B2的實(shí)際值為，（4-34）而激擾力超前于位移的相位角為，(4-35)將上面的和代入方程（4-32），得（4-36-1）（4-36-2）這時(shí)，上式的虛部即為方程的實(shí)數(shù)解（4-37）4-6粘性阻尼減振器在4-3節(jié)中已討論過(guò)無(wú)阻尼減振器，這種減振器的設(shè)計(jì)是用來(lái)消除某一頻率的振動(dòng)，因此這種減振器的應(yīng)用僅限于在某一不變速率下運(yùn)轉(zhuǎn)的設(shè)備。但有些機(jī)械的運(yùn)轉(zhuǎn)速率是可變的，因而產(chǎn)生不同頻率的振動(dòng)，對(duì)于這類(lèi)機(jī)械就可以采用圖4-19所示的粘性阻尼減振器來(lái)降低其振動(dòng)程度。這種粘性阻尼減振器是在4-3中的無(wú)阻尼動(dòng)力減振器之間加上一個(gè)阻尼器而成，稱(chēng)為有阻尼動(dòng)力減振器。設(shè)粘性阻尼系數(shù)為c，阻尼力與兩個(gè)質(zhì)量的相對(duì)速度成正比。系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為（4-38）按4-5節(jié)類(lèi)似的解法，主系統(tǒng)的振幅可按（4-34）式求出為其中所以(4-39)引入符號(hào)(4-39)式可改寫(xiě)成無(wú)量綱形式（4-40）由上式可看出B1是四個(gè)參數(shù)α、λ、μ和的函數(shù)。μ和α是已知的，因此，B1/δs即為和λ的函數(shù)，這和單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)情況類(lèi)似。圖4-20為對(duì)應(yīng)與μ＝0.2，α＝1的振幅頻率曲線，圖中＝0的曲線即相當(dāng)于無(wú)阻尼兩自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)情況，＝∞的曲線即相當(dāng)于m1和m2剛性連接而成為質(zhì)量m1＋m2和剛度k1構(gòu)成的單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的情況。由圖可見(jiàn)，不同的所有曲線都經(jīng)過(guò)P點(diǎn)和Q點(diǎn)，因此這兩點(diǎn)的位置與阻尼無(wú)關(guān)。而且B1/δs的最高點(diǎn)都不會(huì)低于P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)。為了使減振器獲得較好的減振效果就應(yīng)該設(shè)法降低P、Q兩點(diǎn)，并使P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等而且成為各自曲線上的最高點(diǎn)，從而使主系統(tǒng)的振幅限制在P、Q兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的振幅以下（見(jiàn)圖4-21）?？梢宰C明，為了使P、Q兩點(diǎn)等高，就要適當(dāng)選擇α值，為了使B1/δs的最大值在P、Q兩點(diǎn)上，就要適當(dāng)選擇值。所選擇的α和值，分別稱(chēng)為最佳頻率比αb和最佳阻尼比b，其值可由下使確定：，（4-41）最佳參數(shù)情況下振幅比B1/δs與頻率比λ的關(guān)系曲線見(jiàn)圖4-21。P、Q兩點(diǎn)