正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率7-6-1二端網(wǎng)絡(luò)的功率端口電壓和電流采用參考方向，它吸收的功率為正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)，端口電壓和電流是相同頻率的正弦量，即1、瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率為Z=u-i是電壓與電流的相位差。瞬時(shí)功率由一個(gè)恒定分量和一個(gè)頻率為2ω的正弦分量組成，周期性變化，當(dāng)p(t)>0時(shí)，該網(wǎng)絡(luò)吸收功率；當(dāng)p(t)<0時(shí)，該網(wǎng)絡(luò)發(fā)出功率。瞬時(shí)功率的波形如圖所示。ZUIcosZ平均功率不僅取決于電壓電流有效值乘積VI，還與阻抗角Z=u-I有關(guān)。2、平均功率(有功功率)簡稱功率:在一個(gè)周期內(nèi)的平均值：

幾種特殊情況。1、網(wǎng)絡(luò)等效阻抗為一個(gè)電阻。此時(shí)網(wǎng)絡(luò)電壓與電流相位相同，即Z=u-i=0,cosZ=1，波形如圖。p(t)在任何時(shí)刻均大于或等于零，電阻始終吸收功率和消耗能量。用電壓、電流有效值后，計(jì)算電阻消耗的平均功率公式，與直流電路中相同。若用電流、電壓的振幅值，上述公式為此時(shí)平均功率：2、網(wǎng)絡(luò)等效阻抗為一個(gè)電抗。此時(shí)單口網(wǎng)絡(luò)電壓與電流相位為正交關(guān)系，即Z=u-i

=90,(+電感－電容)若假設(shè)電壓初相為零，得是頻率為2的正弦量，在一段時(shí)間內(nèi)p(t)>0，電感或電容吸收功率獲得能量；另外一段時(shí)間內(nèi)p(t)<0，電感或電容發(fā)出功率釋放出它所獲得的全部能量。顯然，平均功率為可見，電感和電容不消耗能量，它們是無源元件。但要注意，它們的瞬時(shí)功率并不為零?；蛘哒f，電感和電容需要電源(外電路)供給一定的瞬時(shí)功率以滿足能量不斷的往返交換。定義：無功功率把瞬時(shí)功率的振幅(最大值)定義為電感和電容的無功功率，以表明電感和電容與外電路電流和電壓不斷往返的程度。即3、任意二端網(wǎng)絡(luò)的情況電阻分量消耗的平均功率，就是單口網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率。設(shè)二端網(wǎng)絡(luò)3、視在功率表示一個(gè)電氣設(shè)備的容量，是單口網(wǎng)絡(luò)所吸收平均功率的最大值，單位：伏安(VA)。例如我們說某個(gè)發(fā)電機(jī)的容量為100kVA，而不說其容量為100kW4、功率因數(shù)Z=u-i為功率因數(shù)角。當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)為無源元件R、L、C組成時(shí)：|Z|<90,0<pf<1。Z<0,電路呈容性，電流導(dǎo)前電壓；Z>0,電路感呈性，電流滯后電壓。網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率P與cosZ的大小密切相關(guān)，cosZ表示功率的利用程度，稱為功率因數(shù)為了提高電能的利用效率，電力部門采用各種措施力求提高功率因數(shù)。例如使用鎮(zhèn)流器的日光燈電路，它等效于一個(gè)電阻和電感的串聯(lián)，其功率因數(shù)小于1，它要求線路提供更大的電流。為了提高日光燈電路的功率因數(shù)，一個(gè)常用的辦法是在它的輸入端并聯(lián)一個(gè)適當(dāng)數(shù)值的電容來抵銷電感分量，使其端口特性接近一個(gè)純電阻以便使功率因數(shù)接近于1。5、無功功率上式第二項(xiàng)的最大值為二端網(wǎng)絡(luò)的無功功率Q

。即可驗(yàn)證L和C時(shí)的特殊情況。無功功率反映電源(或外電路)和單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)儲(chǔ)能元件之間的能量交換情況，單位為乏(var)(無功伏安：voltamperreactive)與功率計(jì)算類似:6、復(fù)功率

為了便于用相量來計(jì)算平均功率，引入復(fù)功率。工作于正弦穩(wěn)態(tài)的網(wǎng)絡(luò)，其電壓電流采用關(guān)聯(lián)的參考方向，設(shè)單位：VAN復(fù)功率還有兩個(gè)常用的公式：注意：電流、電壓若用振幅值時(shí)，不要忘了要乘1/2。7、復(fù)功率守恒復(fù)功率守恒定理：對(duì)于工作于正弦穩(wěn)態(tài)的電路，由每個(gè)獨(dú)立電源發(fā)出的復(fù)功率的總和等于電路中其它電路元件所吸收復(fù)功率的總和：由此可以導(dǎo)出一個(gè)正弦穩(wěn)態(tài)電路的有功功率和無功功率也是守恒的結(jié)論。正弦穩(wěn)態(tài)電路中，由每個(gè)獨(dú)立電源發(fā)出的有功功率的總和等于電路中其它元件所吸收的有功功率的總和；由每個(gè)獨(dú)立電源發(fā)出的無功功率的總和等于電路中其它元件所吸收的無功功率的總和：由此可得網(wǎng)絡(luò)吸收的有功功率等于該網(wǎng)絡(luò)內(nèi)每個(gè)電阻吸收的平均功率總和。注意正弦穩(wěn)態(tài)電路中視在功率并不守恒。8、功率三角形ZPQS阻抗三角形，導(dǎo)納三角形，電壓三角形，電流三角形和功率三角形都是相似三角形。例17電路相量模型如圖，端口電壓的有效值U=100V.試求該網(wǎng)絡(luò)的P、Q、、S、pf。解:設(shè)端口電壓相量為：16j16-j14+-網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗：因此故：所以（導(dǎo)前）例18感性負(fù)載接在U=220V,f=50Hz的交流電源上,其平均功率P=1.1KW,功率因數(shù)pf=0.5，欲并聯(lián)電容使負(fù)載的功率因數(shù)提高到0.8(滯后),求電容。解：負(fù)載電流有效值:感性負(fù)載的阻抗角:感性負(fù)載C設(shè)電壓相量為：則負(fù)載電流相量:并聯(lián)電容后，電源電流有效值:由于pf’=0.8(滯后),因此功率因數(shù)角:并聯(lián)電容后，不會(huì)影響電阻吸收的平均功率。但電容電流抵消了部分感性負(fù)載的電流，功率因數(shù)變大，電源電流的有效值由原來的10A減小到6.25A，提高了電源效率。由于:得:例19電路工作于正弦穩(wěn)態(tài)，已知電壓源電壓為.試求該電壓源發(fā)出的平均功率。解：電路的相量模型如圖(b)所示。先求出連接電壓源單口網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗分流公式求電流可用以下幾種方法求電源發(fā)出的平均功率用歐姆定律求電流7-6-2最大功率傳輸圖(a)所示含獨(dú)立電源網(wǎng)絡(luò)用戴維南等效電路代替，得到圖(b)。其中，是含源網(wǎng)絡(luò)的開路電壓，Zo=Ro+jXo是含源網(wǎng)絡(luò)的輸出阻抗，ZL=RL+jXL是負(fù)載阻抗。負(fù)載電流：負(fù)載吸收的平均功率：當(dāng)XL=-Xo時(shí)，分母最小，此時(shí)得RL=Ro。負(fù)載獲得最大功率的條件是所獲最大功率：求導(dǎo)數(shù)，并令其等于零。最大功率傳輸定理：工作于正弦穩(wěn)態(tài)的網(wǎng)絡(luò)向一個(gè)負(fù)載ZL=RL+jXL供電，由戴維南定理(其中Zo=Ro+jXo)，則在負(fù)載阻抗等于含源網(wǎng)絡(luò)輸出阻抗的共軛復(fù)數(shù)(即）時(shí)，負(fù)載可以獲得最大平均功率：滿足的匹配，稱為共軛匹配。例20圖示電路，已知ZL為可調(diào)負(fù)載,試求ZL為何值時(shí)可獲最大功率?最大功率為多少?解：ab以左運(yùn)用戴維南電路,得右圖。j2

ZL2

+10∠0oV-abZLZ0

+-ab所以,當(dāng)時(shí),可獲最大功率.在通信和電子設(shè)備的設(shè)計(jì)中，常常要求滿足共軛匹配，以便使負(fù)載得到最大功率。在負(fù)載不能任意變化的情況下，可以在含源單口網(wǎng)絡(luò)與負(fù)載之間插入一個(gè)匹配網(wǎng)絡(luò)來滿足負(fù)載獲得最大功率的條件。例21單口網(wǎng)絡(luò)如圖，電源角頻率ω=1000rad/s,為使RL從單口網(wǎng)絡(luò)中獲得最大功率，試設(shè)計(jì)一個(gè)由電抗元件組成的網(wǎng)絡(luò)來滿足共軛匹配條件。RL=1000

100

+100∠0oV-ab解：1若不用匹配網(wǎng)絡(luò)，將1000Ω負(fù)載與電抗網(wǎng)絡(luò)直接相連時(shí)，負(fù)載電阻獲得的平均功率為2若采用匹配網(wǎng)絡(luò)滿足共軛匹配條件，1000Ω負(fù)載電阻可能獲得的最大平均功率為可見，采用共軛匹配網(wǎng)絡(luò)，負(fù)載獲得的平均功率將大大增加。由LC匹配網(wǎng)絡(luò)和負(fù)載形成網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗:3設(shè)計(jì)一個(gè)由電感和電容構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)來滿足共軛匹配條件，以使負(fù)載獲最大功率。上圖網(wǎng)絡(luò)是可滿足上述條件的一種方案。令上式兩邊實(shí)部與虛部分別相等可得:代入?yún)?shù),得:即:以上計(jì)算表明，如果選擇L=0.3H,C=3F，圖中ab兩端以右單口網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗等于100Ω，它可以獲得25W的最大功率，由于其中的電感和電容平均功率為零，根據(jù)平均功率守恒定理，這些功率將為RL=1000的負(fù)載全部吸收。實(shí)際上還有一種情況：負(fù)載阻抗的模任意改變，而其阻抗角不能變。用相同的方法，可得時(shí)負(fù)載可獲得最大功率。數(shù)學(xué)意義上講，這時(shí)負(fù)載可獲得的功率為極大值。并不是最大值。滿足的匹配，稱為模匹配。正弦穩(wěn)態(tài)晌應(yīng)的疊加

幾個(gè)頻率不同的正弦激勵(lì)在線性時(shí)不變電路中產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)電壓和電流，可以利用疊加定理----先用相量法分別計(jì)算每個(gè)正弦激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電壓電流相量，然后得到電壓uk(t)電流和ik(t)，最后相加求得總的穩(wěn)態(tài)電壓u(t)和電流i(t)。例22圖(a)中，uS(t)=20cos(100t+10)V,試用疊加定理求穩(wěn)態(tài)電壓u(t)。解：1電壓源單獨(dú)作用時(shí),將電流源以開路代替，得圖(b)相量模型，則:由相量寫出相應(yīng)的時(shí)間表達(dá)式2電流源單獨(dú)作用時(shí),將電壓源用短路代替，得圖(c)所示相量模型，則:由相量寫出相應(yīng)的時(shí)間表達(dá)式3疊加求穩(wěn)態(tài)電壓u(t)將每個(gè)正弦電源單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電壓在時(shí)間域相加，得到非正弦穩(wěn)態(tài)電壓:它們的波形如下圖所示。

的波形如圖(a)所示。圖(b)繪出的波形，可見，兩個(gè)不同頻率正弦波相加得到一個(gè)非正弦周期波形。

兩個(gè)不同頻率的正弦波形的疊加7－7三相電路

由三相電源、三相線路和三相負(fù)載組成的電路稱為三相電路。三相供電系統(tǒng)具有很多優(yōu)點(diǎn)，為各國廣泛采用。三相電路的分析計(jì)算其實(shí)可以看成一個(gè)正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析計(jì)算問題。對(duì)于對(duì)稱三相電路由其特殊性，可以用更簡單的方法去分析計(jì)算。

三相發(fā)電機(jī)

三相供電系統(tǒng)的三相電源是三相發(fā)電機(jī)。三相發(fā)電機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖，它有定子和轉(zhuǎn)子兩大部分。7-7-1三相電源定子鐵心的內(nèi)圓周的槽中對(duì)稱地安放著三個(gè)繞組AX、BY和CZ。A、B、C為首端；X、Y、Z為末端。三繞組在空間上彼此間隔120。轉(zhuǎn)子是旋轉(zhuǎn)的電磁鐵。它的鐵心上繞有勵(lì)磁繞組。

當(dāng)轉(zhuǎn)子恒速旋轉(zhuǎn)時(shí)，AX、BY、CZ

三繞組的兩端將分別感應(yīng)振幅相等、頻率相同的三個(gè)正弦電壓uA(t)、uB(t)、uc(t);

三個(gè)電源的的初相互相差120。若以作為參考相量，這三個(gè)電壓相量為

對(duì)稱三相電壓源的相量圖和波形圖

相量圖和波形圖分別如圖(a)、(b)所示。這樣三個(gè)振幅相等、頻率相同、相位差120°的一組正弦電源稱為對(duì)稱三相正弦電源。它們分別稱為A相、B相和C相，每相的電壓稱為相電壓。

按照各相電壓經(jīng)過正峰值的先后次序來說，它們的相序是A、B、C（或B、C、A;C、A、B）稱為正序(順序)，如果各相電壓到達(dá)正峰值的次序?yàn)锳、C、B（或C、B、A；B、A、C）則稱為負(fù)序(逆序)。用戶可以改變?nèi)嚯娫磁c三相電動(dòng)機(jī)的連接方式來改變相序，從而改變?nèi)嚯妱?dòng)機(jī)的旋轉(zhuǎn)方向。通常，非特別說明，三相電源均為正序連接。

1.星形聯(lián)接（又稱Y形聯(lián)接)三相電源的末端X、Y、Z接在一起，形成一個(gè)節(jié)點(diǎn)，記為N，稱為中性點(diǎn)或中點(diǎn)，將各相的首端A、B、C以及中點(diǎn)N與四根輸電線（分別稱為火線和中線）聯(lián)接，如圖7.7-1(a)所示。三相電源有兩種基本聯(lián)接方式：(與傳輸線相聯(lián)接的)負(fù)載，可以從火線與中線之間得到三個(gè)相電壓，用表示，也可以從三根火線之間得到三個(gè)線電壓，用表示。線電壓與相電壓之間的關(guān)系可以從圖7.7-1(b)相量圖中計(jì)算出來。7.7-1三相電壓源的星形聯(lián)接

7.7-1三相電壓源的星形聯(lián)接

線電壓是相電壓的倍，即例如日常生活用電是220V相電壓，相應(yīng)的線電壓則是380V。即

從相量圖上可以看出，三個(gè)對(duì)稱相電壓以及三個(gè)對(duì)稱線電壓之間存在以下關(guān)系：此結(jié)論可以推廣到任意對(duì)稱多相電路的（線、相）電壓和電流之和為零。流過火線的線電流等于流過每相電源的相電流，即

2.三角形聯(lián)接

三相電源的三角形聯(lián)接

(又稱Δ聯(lián)接)它是將三相電源各相的始端和末端依次相連，再由A、B、C引出三根火線線與負(fù)載相連，如圖所示。三相電源的三角形聯(lián)接

作三角形聯(lián)接時(shí)，要求三繞組的電壓對(duì)稱，如不對(duì)稱程度比較大，所產(chǎn)生的環(huán)路電流將燒壞繞組。對(duì)稱三相電源在Δ聯(lián)接時(shí)，不能將各電源的始末端接錯(cuò)，否則將燒壞繞組。

事實(shí)上應(yīng)該指出，由圖7.7-1可以看出：對(duì)稱三相電源可以認(rèn)為它是星形連接的，也可以認(rèn)為是三角形連接的。這要根據(jù)具體情況來選擇。重畫圖7-7-1

三相負(fù)載也有Y和Δ兩種連接方式。下圖表示Y形三相負(fù)載連接到Y(jié)形對(duì)稱三相電源的情況。當(dāng)三相負(fù)載相同時(shí)，即ZA=ZB=ZC=Z，三相的線路也完全一樣，則稱為對(duì)稱三相電路。對(duì)稱Y－Y三相電路7-7-2三相電路1Y－Y聯(lián)接的三相電路列出電路的節(jié)點(diǎn)方程，并代入，得到由于，相當(dāng)于中線短路，每相負(fù)載上的電壓是相電壓，其電流可以各相單獨(dú)計(jì)算如下：注意：在對(duì)稱三相四線制電路中，中線阻抗并不影響相電流。例7-1對(duì)稱Y-Y電路中，已知試求三相電流。解：由于，相當(dāng)于中線短路，可以按單相電路計(jì)算出三相電流：在Y-Y形聯(lián)接的對(duì)稱三相電路中，中線電流為零，中線可以不用，可以只用三根火線傳輸(稱為三相三線制)，以適合于高壓遠(yuǎn)距離傳輸電之用。對(duì)于日常生活的低壓用電，由于三相負(fù)載可能不完全對(duì)稱，還有一定的中線電流存在，中線還必須保留，即采用三相四線制供電系統(tǒng)。假如不用中線，不對(duì)稱三相負(fù)載的三相電壓將不相同，過高的相電壓可能損壞電氣設(shè)備?？梢姡珹相和B相的電壓由220伏升高到303伏，這兩相的電氣設(shè)備可能損壞；C相的電壓降低到94伏，使得C相的電氣設(shè)備不能正常工作。例如將例7-1中的C相負(fù)載阻抗為ZC=(2+j2)，用正弦穩(wěn)態(tài)電路的計(jì)算方法可得到在不用中線時(shí)的三相電壓為可見，在三相四線制供電系統(tǒng)中，保險(xiǎn)絲絕對(duì)不能接在中線上，因?yàn)橹芯€斷開后，各相負(fù)載上的電壓將隨負(fù)載大小變化，過高的電壓可能損壞電氣設(shè)備。在Y-Y聯(lián)接的對(duì)稱三相電路中，其負(fù)載電壓電流關(guān)系為2Y-Δ聯(lián)接的三相電路

圖(a)表示Y形聯(lián)接的對(duì)稱三相電源和Δ聯(lián)接的對(duì)稱負(fù)載，這也是一種對(duì)稱三相電路。每相負(fù)載上的電壓為線電壓，其相電流為

線電壓相位分別為0°,－120°，120°時(shí)得（b）圖此時(shí)三根火線中的線電流為

由此看出，Y-Δ聯(lián)接的對(duì)稱三相電路中，線電流是相電流的倍，即例7-2對(duì)稱Y-Δ三相電路中，已知試求相電流和線電流。解：三個(gè)相電流為

三個(gè)線電流為

相電流和線電流的相量圖，如前圖(b)。

可以看出，在Y-Δ對(duì)稱聯(lián)接時(shí)，其負(fù)載電壓電流關(guān)系為

當(dāng)然，對(duì)稱三相電路中的三角形負(fù)載也可以等效成星形負(fù)載來計(jì)算線電流。其中cos是功率因數(shù)，是相電壓與相電流的相位差，UA,IA是相電壓和相電流的有效值。由于線電壓和線電流容易測量，注意到關(guān)系式，上式變?yōu)?對(duì)稱三相電路的功率

對(duì)稱Y形聯(lián)接負(fù)載吸收的總平均功率用相似的方法，得到對(duì)稱Δ形聯(lián)接負(fù)載吸收的總平均功率最后得到對(duì)稱三相電路中三相負(fù)載吸收的平均功率的一般公式在例7-2的電路中，三相負(fù)載吸收的平均功率為式中的三項(xiàng)交變分量之和為零，三相瞬時(shí)功率是不隨時(shí)間變化的常數(shù)，并且等于其平均功率。在這種情況下，三相電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩是恒定的，有利于發(fā)電機(jī)和電動(dòng)機(jī)的工作，是三相電路的優(yōu)點(diǎn)之一。

下面討論對(duì)稱三相電路的瞬時(shí)功率:

例7-3三相電爐的三個(gè)電阻，可以接成星形，也可以接成三角形，常以此來改變電爐的功率。假設(shè)某三相電爐的三個(gè)電阻都是43.32Ω，求在380V線電壓上，把它們接成星形和三角形時(shí)的功率各為多少?解：1.三相負(fù)載為星形聯(lián)接時(shí)，如圖(a)所示，則線電流為三相負(fù)載吸收的功率為

2.三相負(fù)載為三角形聯(lián)接時(shí)，如圖(b)所示，則相電流為

線電流為三相電爐接成三角形吸收的功率是聯(lián)接成星形時(shí)的三倍。三相負(fù)載吸收的功率為

本節(jié)討論幾種不同頻率正弦信號(hào)激勵(lì)的非正弦穩(wěn)態(tài)的平均功率。圖7-8-1所示單口網(wǎng)絡(luò)，在端口電壓和電流采用關(guān)聯(lián)參考方向的條件下，假設(shè)其電壓和電流為

圖7-8-1

非正弦穩(wěn)態(tài)的單口網(wǎng)絡(luò)7-8非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析單口網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率為瞬時(shí)功率隨時(shí)間作周期性變化，有正交函數(shù)的特性，它在一個(gè)周期內(nèi)的平均值（平均功率）為

這說明兩種不同頻率正弦信號(hào)激勵(lì)的單口網(wǎng)絡(luò)所吸收的平均功率等于每種正弦信號(hào)單獨(dú)引起平均功率之和。一般來說，n

種不同頻率正弦信號(hào)作用于單口網(wǎng)絡(luò)引起的平均功率等于每種頻率正弦信號(hào)單獨(dú)引起的平均功率之和，即

其中

例8-1已知圖7-8-1所示單口網(wǎng)絡(luò)的電壓和電流為試求單口網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率。

解：分別計(jì)算每種頻率正弦信號(hào)單獨(dú)作用產(chǎn)生的平均功率

將這些平均功率相加得到單