信號與系統(tǒng)教案第8章

2023/3/14第八章系統(tǒng)狀態(tài)變量分析8.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程一、狀態(tài)變量與狀態(tài)方程二、動態(tài)方程的一般形式8.2狀態(tài)方程的建立一、電路狀態(tài)方程的列寫二、由輸入-輸出方程建立狀態(tài)方程

8.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立8.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解8.5離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解點擊目錄，進入相關(guān)章節(jié)2023/3/14第八章系統(tǒng)狀態(tài)變量分析

前面的分析方法稱為外部法，它強調(diào)用系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的特性。其特點：（1）只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，對于多輸入多輸出系統(tǒng)，將增加復(fù)雜性；（2）只研究系統(tǒng)輸出與輸入的外部特性，而對系統(tǒng)的內(nèi)部情況一無所知，也無法控制。

本章將介紹的內(nèi)部法——狀態(tài)變量法是用n個狀態(tài)變量的一階微分或差分方程組（狀態(tài)方程）來描述系統(tǒng)。優(yōu)點有：（1）提供系統(tǒng)的內(nèi)部特性以便研究。（2）便于分析多輸入多輸出系統(tǒng)；（3）一階方程組便于計算機數(shù)值求解。并容易推廣用于時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。

2023/3/148.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程8.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程一、狀態(tài)與狀態(tài)變量的概念從一個電路系統(tǒng)實例引入以u(t)和iC(t)為輸出若還想了解內(nèi)部三個變量uC(t),iL1(t),iL2(t)的變化情況。這時可列出方程a2023/3/148.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程

這是由三個內(nèi)部變量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)構(gòu)成的一階微分方程組。

若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，則根據(jù)t≥t0時的給定激勵uS1(t)和uS2(t)就可惟一地確定在t≥t0時的解uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。

系統(tǒng)的輸出容易地由三個內(nèi)部變量和激勵求出：一組代數(shù)方程2023/3/148.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義

系統(tǒng)在某一時刻t0的狀態(tài)是指表示該系統(tǒng)所必需最少的一組數(shù)值，已知這組數(shù)值和t≥t0時系統(tǒng)的激勵，就能完全確定t≥t0時系統(tǒng)的全部工作情況。

狀態(tài)變量是描述狀態(tài)隨時間t變化的一組變量，它們在某時刻的值就組成了系統(tǒng)在該時刻的狀態(tài)。

對n階動態(tài)系統(tǒng)需有n個獨立的狀態(tài)變量，通常用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。說明（1）系統(tǒng)中任何響應(yīng)均可表示成狀態(tài)變量及輸入的線性組合；（2）狀態(tài)變量應(yīng)線性獨立；（3）狀態(tài)變量的選擇并不是唯一的。在初始時刻的值稱為初始狀態(tài)。2023/3/148.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程二、狀態(tài)方程和輸出方程在選定狀態(tài)變量的情況下，用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)時，一般分兩步進行：（1）第一步是根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求出狀態(tài)變量；（2）第二步是用這些狀態(tài)變量來確定初始時刻以后的系統(tǒng)輸出。

狀態(tài)變量是通過求解由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來得到，該一階微分方程組稱為狀態(tài)方程。狀態(tài)方程描述了狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和激勵之間的關(guān)系。

而描述輸出與狀態(tài)變量和激勵之間關(guān)系的一組代數(shù)方程稱為輸出方程。通常將狀態(tài)方程和輸出方程總稱為動態(tài)方程或系統(tǒng)方程。2023/3/148.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程對于一般的n階多輸入-多輸出LTI連續(xù)系統(tǒng)，如圖。其狀態(tài)方程和輸出方程為2023/3/148.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程寫成矩陣形式：狀態(tài)方程輸出方程其中A為n×n方陣，稱為系統(tǒng)矩陣，B為n×p矩陣，稱為控制矩陣，C為q×n矩陣，稱為輸出矩陣，D為q×p矩陣對離散系統(tǒng)，類似狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)變量分析的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取以及狀態(tài)方程的建立。2023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立

一、由電路圖直接建立狀態(tài)方程首先選擇狀態(tài)變量。通常選電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量。必須保證所選狀態(tài)變量為獨立的電容電壓和獨立的電感電流。四種非獨立的電路結(jié)構(gòu)2023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立狀態(tài)方程的建立：根據(jù)電路列出各狀態(tài)變量的一階微分方程。由于為使方程中含有狀態(tài)變量uC的一階導(dǎo)數(shù)，可對接有該電容的獨立結(jié)點列寫KCL電流方程；為使方程中含有狀態(tài)變量iL的一階導(dǎo)數(shù)，可對含有該電感的獨立回路列寫KVL電壓方程。對列出的方程，只保留狀態(tài)變量和輸入激勵，設(shè)法消去其它中間的變量，經(jīng)整理即可給出標準的狀態(tài)方程。對于輸出方程，通?？捎糜^察法由電路直接列出。2023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立由電路圖直接列寫狀態(tài)方程和輸出方程的步驟：（1）選電路中所有獨立的電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量；（2）對接有所選電容的獨立結(jié)點列出KCL電流方程，對含有所選電感的獨立回路列寫KVL電壓方程；（3）若上一步所列的方程中含有除激勵以外的非狀態(tài)變量，則利用適當?shù)腒CL、KVL方程將它們消去，然后整理給出標準的狀態(tài)方程形式；（4）用觀察法由電路或前面已推導(dǎo)出的一些關(guān)系直接列寫輸出方程，并整理成標準形式。2023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立例：電路如圖，以電阻R1上的電壓uR1和電阻R2上的電流iR2為輸出，列寫電路的狀態(tài)方程和輸出方程。解

選狀態(tài)變量x1(t)=iL(t),x2(t)=uC(t)

L

1(t)+R1x1(t)+x2(t)=uS1(t)aC2(t)+iR2(t)=x1(t)消去iR2(t),列右網(wǎng)孔KVL方程：R2iR2(t)+uS2(t)-x2(t)=0代入整理得輸出方程：uR1(t)=R1x1(t)2023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立二、由輸入-輸出方程建立狀態(tài)方程

這里需要解決的問題是：已知系統(tǒng)的外部描述（輸入-輸出方程、系統(tǒng)函數(shù)、模擬框圖、信號流圖等）；如何寫出其狀態(tài)方程及輸出方程。具體方法：（1）由系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出其信號流圖或框圖；（2）選一階子系統(tǒng)(積分器）的輸出作為狀態(tài)變量；（3）根據(jù)每個一階子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程；（4）在系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。2023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立例1

某系統(tǒng)的微分方程為

y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+8f(t)試求該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。解由微分方程不難寫出其系統(tǒng)函數(shù)方法一：畫出直接形式的信號流圖設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、x2(t)x1x2由后一個積分器，有由前一個積分器，有系統(tǒng)輸出端，有y(t)=8x1+2x22023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立方法二：畫出串聯(lián)形式的信號流圖設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、x2(t)x2x1設(shè)中間變量

y1(t)y1系統(tǒng)輸出端，有

y(t)=2x22023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立方法三：畫出并聯(lián)形式的信號流圖f(t)y(t)設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、x2(t)x1x2系統(tǒng)輸出端，有y(t)=6x1-4x2可見H(s)相同的系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇并不唯一。2023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立例2

某系統(tǒng)框圖如圖，狀態(tài)變量如圖標示，試列出其狀態(tài)方程和輸出方程。解對三個一階系統(tǒng)其中，y2=f-x3輸出方程y1(t)=x2y2(t)=-x3+f2023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立三、由狀態(tài)方程列輸入-輸出方程例3

已知某系統(tǒng)的動態(tài)方程如下，列出描述y(t)與f(t)之間的微分方程。解法一由輸出方程得y(t)=x1(t)y(t)=x1(t)=–4x1(t)+x2(t)+f(t)y(t)=–4x1(t)+x2(t)+f(t)=–4[–4x1(t)+x2(t)+f(t)]+[–3x1(t)+f(t)]+f(t)=13x1(t)–4x2(t)–3f(t)+f(t)y+ay+by=(13–4a+b)x1+(–4+a)x2+f(t)+(a–3)f(t)a=4，b=3y+4y+3y=f(t)+f(t)

2023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立解法二對方程取拉氏變換，零狀態(tài)。2023/3/148.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立y+4y+3y=f(t)+f(t)

2023/3/148.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立8.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立

與連續(xù)系統(tǒng)類似，具體方法為：（1）由系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出其信號流圖或框圖；（2）選一階子系統(tǒng)(遲延器）的輸出作為狀態(tài)變量；（3）根據(jù)每個一階子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程；（4）在系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。2023/3/148.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立例1：某離散系統(tǒng)的差分方程為

y(k)+2y(k–1)–y(k–2)=f(k–1)–f(k–2)列出其動態(tài)方程。解：不難寫出系統(tǒng)函數(shù)

畫信號流圖：設(shè)狀態(tài)變量x1(k)

，x2(k)

：x1x2x1(k+1)=x2(k)

：x2(k+1)x2(k+1)=x1(k)

–2x2(k)

+f(k)

：輸出方程y

(k)=–x1(k)

+x2(k)2023/3/148.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立例2

某離散系統(tǒng)有兩個輸入f1(k)、f2(k)和兩個輸出y1(k)、y2(k)，其信號流圖如圖示。列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。解

p1(k)=2x1(k)+2x3(k)p2(k)=3p1(k)-x3(k)+f2(k)=6x1(k)+5x3(k)+f2(k)2023/3/148.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立2023/3/148.4連續(xù)狀態(tài)方程的求解8.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式為用拉普拉斯變換法求解狀態(tài)方程

sX(s)-x(0-)=AX(s)+BF(s)(sI-A)X(s)=x(0-)+BF(s)X(s)=(sI-A)-1x(0-)+(sI-A)-1BF(s)=Φ(s)x(0-)+Φ(s)BF(s)式中Φ(s)=(sI-A)-1常稱為預(yù)解矩陣。Y(s)=CX(s)+DF(s)Yx(s)=CΦ(s)x(0-)Yf(s)=[CΦ(s)B+D]F(s)H(s)=[CΦ(s)B+D]Φ(s)的極點就是H(s)的極點.即|sI-A|=0的根。=CΦ(s)x(0-)+[CΦ(s)B+D]F(s)2023/3/148.4連續(xù)狀態(tài)方程的求解例1

描述LTI因果系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為解X(s)=Φ(s)[x(0-)+BF(s)]起始狀態(tài)x1(0-)=3，x2(0-)=2，輸入f(t)=δ(t)。求狀態(tài)變量和輸出。并判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。2023/3/148.4連續(xù)狀態(tài)方程的求解y(t)=[11]x(t)+f(t)==δ(t)+6e-2tε(t)由于H(s)的極點均在左半平面，故該因果系統(tǒng)穩(wěn)定。H(s)的極點就是|sI-A|=0的根。|sI-A|=(s+2)(s+3)2023/3/148.5離散狀態(tài)方程的求解8.5離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解用Z