概率論與數(shù)理統(tǒng)計（陳希孺）課件 隨機變量的數(shù)字特征3

隨機向量的數(shù)字特征隨機向量函數(shù)的期望

(1)設(shè)二維離散型隨機向量(X,Y)有概率分布

(2)設(shè)二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y),而g為定義在二維平面上的實值函數(shù)，如果

絕對收斂，則g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望存在，且有

特別的，考慮特殊的函數(shù)g(x,y)=x,則有類似有：例解：-11（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：-11注意利用奇偶性簡化計算隨機向量的每個分量的期望都可由其聯(lián)合分布直接計算得到.每個分量的方差也可以看成是特殊的函數(shù)，類似計算得到利用聯(lián)合分布函數(shù)，我們可以得到期望和方差的進一步性質(zhì)期望和方差的進一步性質(zhì)及應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)常數(shù)c的數(shù)學(xué)期望等于這個常數(shù)，即E[c]＝c。證:

隨機變量X服從單點分布，即P{X＝c}=1，所以，E[X]＝c×1＝c(2)設(shè)c是常數(shù)，若E[X]存在，則E[cX]也存在，且有E[cX]=cE[X]。(3)(4)證明不需要掌握比變量本身的運算要簡單（有很重要的應(yīng)用）證明：先考慮離散型的情況再考慮連續(xù)型的情況若X，Y獨立，則證明：先考慮離散型再看連續(xù)型的情況

注：這些性質(zhì)可以推廣到多個隨機變量上。數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用

例

在n次重復(fù)獨立試驗中，每次成功的概率為p。設(shè)Xi表示第i次試驗成功的次數(shù)，則Xi有分布律Xi01概率1－pp并且有：設(shè)注意到Y(jié)這個隨機變量代表n次試驗中事件成功的次數(shù)，故有：

Y~B(n,p)可以利用概率函數(shù)代入定義式直接計算Y的期望從而提供了我們另一種計算分布期望值的方法：將復(fù)雜隨機變量表示為簡單隨機變量的線性函數(shù)是否還有其他的方法？利用期望的線性，有例：假定某地所有的夫婦在生育子女的時候，均遵循如下原則：若第一胎為男孩則不再生育，若為女孩，則繼續(xù)生育，直到有一胎為男孩后停止。問該地新生人口中男女比例如何？解：記Xi為某對夫婦某次生育所生男孩數(shù)，Xi可取0,1方差的性質(zhì)證明：（1）Var[c]=0(c是常數(shù))（2）證明:（3）證明:（4）當(dāng)X,Y獨立時證明:性質(zhì)4可以推廣到如下情形:方差性質(zhì)的應(yīng)用在n次重復(fù)獨立試驗中，每次成功的概率為p。設(shè)Xi表示第i次試驗成功的次數(shù)，則Xi服從參數(shù)為p的兩點分布。求Y=X1+X2+…+Xn

的方差。例解：注意到隨機變量Y~B(n,p)，可根據(jù)概率函數(shù)計算這樣的算法顯然比直接利用概率函數(shù)求方差要簡便和期望不同，一定要有兩兩獨立的前提例：利用方差和期望的性質(zhì)來求E[X],Var[X]解：且已知：而注意到單點分布和任何分布都獨立例：求其密度函數(shù)。解法一：先求Z的分布函數(shù)，再求導(dǎo)得Z的密度函數(shù)。解法二：已知Z服從正態(tài)分布，而我們知道正態(tài)分布的兩個參數(shù)完全由其期望和方差決定。利用期望和方差的性質(zhì)分布名稱數(shù)學(xué)期望方差二項分布B(n,p)npnpq幾何分布g(k;p)泊松分布P(λ)λλ正態(tài)分布N(μ,σ2)μ

σ2均勻分布U[a,b]指數(shù)分布(參數(shù)為λ)期望和方差主要