概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件4.3中心極限定理

§4.3中心極限定理正態(tài)分布在隨機變量的一切分布中占有十分重要的地位.在自然界與人們的生產(chǎn)實踐中,經(jīng)常遇到大量隨機變量都是服從正態(tài)分布的.一、中心極限定理的概念設為一獨立隨機變量序列，

且均存在，

均存在，記.所謂中心極限定理是要研究獨立隨機變量之和近似服從什么分布的問題.

,當n充分大時,例如測量誤差、工件的長度、人的身長與體重等都有服從正態(tài)分布.自然就提出這樣的問題:為什么正態(tài)分布如此廣泛存在,并在概率論中占有如此重要的地位.這一隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性應如何描述呢?這就是本節(jié)我們所要討論獨立隨機變量和的極限分布問題，

為了便于在數(shù)學

上深入研究,考慮理統(tǒng)稱為中心極限定理，的標準化隨機變量稱其為的規(guī)范和.

概率論中，一切關于隨機變量序列規(guī)范和的極限分布是標準正態(tài)分布的定顯然,有的規(guī)范和,

有則稱服從中心極限定理.

二、獨立同分布的中心極限定理定理4.3.1（林德貝爾格-勒維中心極限定理）

設，,…是一列獨立同

分布的隨機變量，且，則對任意實

數(shù),有

即設證明略.當n充分大時,獨立同分布的隨機變量之和

的分布近似于正態(tài)分布這一結果是相當深刻的.我們知道,n個獨立的正態(tài)隨機變量之和仍服從正態(tài)分布.中心極限定理告訴我們,不管獨立的隨機變量，,…

服從什么分布,其和的分布,當n充分大時近似于服從正態(tài)分布.由這一定理知道下列結論:

(2)考慮

,…,平均值,有

它的標準化隨機變量為:顯然,它即為上述.

因此,的分布函數(shù)即是上述的因此有由此可見,獨立同分布的隨機變量的平均值的分布近似于正態(tài)分布從上面的闡述和分析，我們可以領會到獨立同分布序列的中心極限定理的另一表達形式.這一結論在數(shù)理統(tǒng)計中有重要應用.由中心極限定理,立即得到下列結論:其中是標準正態(tài)分布函數(shù).林德貝爾格-勒維中心極限定理有廣泛的應用,它,…,獨立同分布、方差存在，不管原來的分布是什么，只要n充分大，就可以用正態(tài)分布只假設去逼近.下面給出一些林德貝爾格-勒維中心極限定理應用的例子。例4.3.1計算機進行加法計算時，把每個加數(shù)取為最接近于它的整數(shù)來計算.設所有整數(shù)誤差時相互獨立的隨機變量，且服從均勻分布（1）求300個數(shù)相加時誤差總和的絕對值小于10的.概率（2）問最多幾個數(shù)加在一起，使得誤差總和的絕對值小于10的概率小于90%.解:（1）設為第i個加數(shù)的取整誤差，則

有且（2）若將K個數(shù)相加，則誤差總和為

，于是有即，于是，解得所以，最多443個數(shù)加在一起，使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于90%.從上述例題可以看出，利用中心極限定理不但可以求概率，還可以求隨機變量和的待定常數(shù).中經(jīng)常需要產(chǎn)生(正態(tài)隨機數(shù)的產(chǎn)生)在隨機模擬（蒙特卡洛方法）正態(tài)分布的隨機數(shù)，但一般計算軟件只具備產(chǎn)生區(qū)間（0，1）上的均勻分布隨機數(shù)的功能，現(xiàn)在用中心極限定理通過（0，1）上均勻分布的隨機數(shù)來產(chǎn)生的隨機數(shù)

設服從上的均勻分布，則其數(shù)學期望與方差

分別為與，由此的12個相互獨立的（0，1）上的均勻分布隨機變量和數(shù)學期望和方差分別為6和1，因此，我們可以如下產(chǎn)生正態(tài)分布的隨機數(shù)（1）從計算機中產(chǎn)生12個（0，1）上均勻分布的隨機數(shù)，記為（2）計算，則有林德貝

格-勒維中心極限定理知，可將看成來自

標準正態(tài)分布的一個隨機數(shù).（3）計算，則可將看成來自正態(tài)分布

的一個隨機數(shù)（4）重復（1）---（3）次，就可得到

的n個隨機數(shù).從這個例子可以看出，由12個均勻分布的隨機數(shù)得到1個正態(tài)分布的隨機數(shù)是利用林德貝格-勒維中心極限定理某種電子元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機抽取只元件的壽命總和大于1920小時的概率.16只，設它的壽命是相互獨立的，求這16解:設第只電子元件的壽命為，則對，則由中心極限定理，所求概率為三、德莫佛—拉普拉斯中心極限定理定理4.3.2（德莫佛—拉普拉斯）極限定理在n重貝努里試驗中，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),為n次試驗中A事件發(fā)生的次數(shù)

則..特殊情形證明這一定理是獨立同分布序列的中心極限定理的特則,其中服從兩點分布:,從而由獨立同分布序列的中心極限定理得=由這一定理,立即得到:.由德莫佛—拉普拉斯中心極限定理得到下列結論:(1)在貝努里試驗中,若事件A發(fā)生的概率為P,

為n次試驗中A事件發(fā)生的次數(shù)，則當n充分大時,

近似服從正態(tài)分布

(1)在貝努里試驗中,若事件A發(fā)生的概率為P，為n次試驗中A事件發(fā)生的頻率，則當n充分大時,近似服從正態(tài)分布

德莫佛—拉普拉斯中心極限定理是概率論歷史上的第一個中心極限定理，它有許多重要的應用.下面介紹它在數(shù)值計算方面的一些具體應用.(1)二項概率的近似計算設是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則～,有當n很大時，直接計算很困難.這時如果np不大（即p較小時接近于0）不大（即p接近于1）,則用泊松近似公式來計算.或當p不太接近于0或1時，可用正態(tài)分布來近似計算.例4.3.4已知紅黃兩種番茄雜交的第二代結紅果的植株與結黃果的植株的比率為3:1，現(xiàn)種植雜交種400株，求結黃果植株介于83到117之間的概率.解:由題意任意一株雜交種或結紅果或結黃果，只有兩種可能性，且結黃果的概率；種植雜交種400株,

相當于做了400次貝努里試驗.若記為400株雜交種結黃果的株數(shù)，則～

由于較大，故由中心極限定理所求的概率為

故結黃果植株介于83到117之間的概率為0.95.例4.3.5（近似數(shù)定點運算的誤差分析）數(shù)值計算時，任何數(shù)都只能用一定數(shù)位的有限小數(shù)來近似，這就產(chǎn)生了一個誤差,在下面討論中，我們假定參加運算的數(shù)都用十進制定點表示，每個數(shù)都用四舍五入的方法取到小數(shù)點后五位，這時相應的四舍五入誤差可以看作是[]

上的均勻分布.如果要求個數(shù)的和S，在數(shù)值計算中

就只能求出相應的有限位小數(shù)，的和T,并用T的近似值，現(xiàn)在問，這樣做造成的誤差是多作少？因為,故傳統(tǒng)的估計方法是，根據(jù),得以為例，所得誤差估計為下面用德莫佛—拉普拉斯中心極限定理估計.如果假定舍入誤差是相互獨立的，這里,,有若取，則上面的概率約為0.997，即能以99.7%的概率斷言這只及傳統(tǒng)估計上限的60分之一

(2)用頻率估計概率的誤差估計由貝努里大數(shù)定律，那么對給定的和較大的，究竟有多大？貝努里大數(shù)定律沒有給出回答，但利用德莫佛—拉普拉斯中心極限定理可以給出近似的回答.對充分大的，故.由此可知,德莫佛—拉普拉斯中心極限定理比貝努里大數(shù)定律更強,也更有用.利用上面的關系式可以解決許多計算問題.下面我們分三種情況給出一些具體例子.1)已知求概率;

這時只要利用關系式,并查正態(tài)分布就可以解決.這類問題在二項分布計算中經(jīng)常會遇到.例4.3.6一復雜系統(tǒng)由100個相互獨立工作的部件組成，每個部件正常工作的概率為0.9，已知整個系統(tǒng)中至少由85個部件正常工作，系統(tǒng)才正常，試求系統(tǒng)正常工作的概率.解:記為100個部件中正常工作的部件數(shù)，則所求的概率為2)要使不小于預先給定的正數(shù),

問最少做多少次試驗?這時只需要求滿足下式的最小,.這也可通過查表求得.

例4.3.7重復擲一枚有偏的硬幣，設在每次試驗中未知.試問要擲多少次才能使出現(xiàn)正面相差不超過的概率達95%以上？出現(xiàn)正面的概率的頻率與解:依題意，欲求，使

因為所以

所以要擲硬幣9604次以上就能保證出現(xiàn)正面的頻率.與概率之差不超過3)已知求,這類問題是在進行誤差估計時提出來的.這時可以先找使,從而即為所求.若不知道,則利用,有下列估計式這類估計在蒙特卡洛方法中應用較多.例4.3.8某單位內(nèi)部有260架電話分機，每個分機有4%的時間要用外線通話.可以認為各個電話分機用不同外線是相互獨立的.問：總機需備多少條外線才能以95%的把握保證各個分機在使用外線時不必等候？解:由題意，任意一個分機或使用外線或不使用外，線只有兩種可能結果，且使用外線的概率260個分機中同時使用外線的分機數(shù)～設總機確定的最少外線條數(shù)為,則有由于較大，故由德莫佛—拉普拉斯定理，有查正態(tài)分布表可知解得所以總機至少備有16條外線，才能以95%的把握保證各個分機使用外線時不必等候.習題4.31．設是相互獨立的隨機變量，且都．令．試用中心極限定理服從泊松分布計算2．已知一本300頁的書中每頁印刷錯誤的個數(shù)服從，求這本書印刷錯誤不多于70的概率．泊松分布3．一部件包含10部分，每部分的長度是一個隨機變mm時產(chǎn)品合格．求量，它們相互獨立且服從同一分布，其期望是2mm，標準差0.05mm．規(guī)定總長度為20產(chǎn)品合格的概率．4．100臺車床彼此獨立地工作著，每臺車床的實際，求任一時刻有70至86工作時間占全部工作時間的臺車床在工作的概率．5．據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布．現(xiàn)隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率．6．檢驗員逐個檢查某種產(chǎn)品，每次花10秒鐘查一個,．求在8小時內(nèi)檢但也有可能有的產(chǎn)品需要重復檢查一次再用去10秒種，假定每個產(chǎn)品需要重新檢查的概率為查員檢查的產(chǎn)品多于1900個的概率．7．某單位設置一部電話總機，共有200架電話分機．的概率要使用外線通話．問總機需要多少的概率保證每個分機要使用外線設每個電話分機使用外線通話是相互獨立的．設每時刻每個分機有外線才能以不低于時間可供使用？8．現(xiàn)有一大批種子，其中良種占，今在其中任選之差的概率是多少？6000粒，試問在這些種子中，良種所占的比例與小于9．一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設每箱的平均重量為50千克，標準差為5千克，用最大載重量為5000千克的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱才能保障不超載的概率大于0.977．10．一個復雜系統(tǒng)，由個相互獨立起作用的部件所組成．每個部件的可靠性為0.90，且必須至少有的部件工作才能使整個系統(tǒng)工作．問至少為多少時才？能使系統(tǒng)的可靠性為11．進行獨立重復試驗，每次試驗中事件發(fā)生的的把握保證1000次試驗中事發(fā)生的頻率與概率相差多少？此時發(fā)生的次數(shù)在什概率為0.25．試問能以件么范圍內(nèi)？12．一家有800間客房的大旅館的每間客房裝有一臺，需要多少千瓦的電力的可能性保證有足夠的電力使用空調(diào)機．2千瓦的空調(diào)機．若開房率為才能以有13