初等變換與初等矩陣

第五節(jié)初等變換和初等矩陣第一章矩陣初等變換的引入初等變換初等矩陣＿＿方程組的同解變形則方程組（*）可表為：—方程組的矩陣表達(dá)式稱A為系數(shù)矩陣，b為右端項(xiàng)，為增廣矩陣.~線性代數(shù)方程組其中均為常數(shù)．Ax=b的解的問題是線性代數(shù)方程組的主要問題之一.有唯一解；有無數(shù)解；無解.稱無解方程組為不相容，稱有解方程組為相容.有唯一解無解有無數(shù)解(幾何解釋)相交直線平行直線重合直線若A是方陣且可逆，則Ax=b有唯一解若A不可逆或，則Ax=b的解不外乎三種情形：【引例】

求解線性方程組我們來分析用消元法解下列方程組的過程．利用三類同解變形：（1）互換兩個(gè)方程的位置；（2）將一個(gè)非零常數(shù)乘在某一個(gè)方程上；（3）把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上。一、方程組的同解變換(唯一解)②－①

③－①

③

②③－②回代

上述解方程組的方法稱為Gauss消元法，它包括消元和回代兩個(gè)過程.消元②－①×2,③－①

③

②回代Gauss消元法，包括消元和回代兩個(gè)過程③－②×4若只記錄系數(shù)，則可化為矩陣問題~~~若每一步只記錄系數(shù)，則可化為矩陣問題。可見，(1)消元過程直到將原方程的系數(shù)矩陣化為三角陣為止。~~~(2)對方程組的同解變換完全可以化為對增廣矩陣A的行進(jìn)行變換。~定義1

下面三種變換稱為矩陣的行初等變換:二、矩陣的初等變換(1)對調(diào)兩行(對調(diào)i,j兩行，記作)；(2)以數(shù)乘以某一行的所有元素(第i行乘，記作)；(3)把某一行所有元素的k

倍加到另一行對應(yīng)的元素上去(第i行的k

倍加到第j行上，記作)．

同理可定義矩陣的列初等變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．定義2

矩陣的列初等變換與行初等變換統(tǒng)稱為初等變換．逆變換逆變換逆變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：定義3

如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價(jià)，記作A~B.(1)自反性：A

~

A(2)對稱性：若A~B，則B

~

A.(3)傳遞性：若A

~

B，B

~C，則A

~

C.若兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)方程組等價(jià).定義

由單位矩陣I

經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣.

矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.三、初等矩陣的概念(1)對調(diào)兩行或兩列；(2)以數(shù)乘某行或某列；(3)以數(shù)k乘某行(列)加到另一行(列)上去．1.對調(diào)兩行或兩列對調(diào)I中第

i,j

兩行(列),即,得行(列)初等矩陣第i行第j行第i列第j列2.以數(shù)乘某行或某列行(列)初等矩陣

以數(shù)乘I的第i行(第j列),即,得第i行第i列3.以數(shù)k乘某行(列)加到另一行(列)上去以數(shù)k乘I的第i行加到第j行上,即．得行初等矩陣第i行第j行第i列第j列例以m階行初等矩陣左乘矩陣A

第i行第j行相當(dāng)于對矩陣A施行第一種行初等變換：把A的第i行與第j行對調(diào)．則類似地，以n階列初等矩陣右乘矩陣A

第i列第j列相當(dāng)于對矩陣A施行第一種列初等變換：把A的第i列與第j列對調(diào)．則以左乘矩陣A，得第i行相當(dāng)于以數(shù)乘A的第i行．類似地，以右乘矩陣A，其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)乘A的第i列．以左乘矩陣A，得等價(jià)于把A的第i行乘k

加到第j行上．類似地，以右乘矩陣A，其結(jié)果相當(dāng)于把A的第j列乘k

加到第i

列上．第j行綜合得定理1

對A左(右)乘一個(gè)初等矩陣，相當(dāng)于對A進(jìn)行一次行(列)初等變換.~~~【例1】

則定理2

初等矩陣都是可逆的，且其逆矩陣也是初等矩陣.定理3

可逆矩陣經(jīng)初等變換后仍可逆，奇異矩陣經(jīng)初等變換后仍奇異.故得（行列式為零的矩陣稱為奇異矩陣）【例2】

求解矩陣方程【解】

方程即為【例3

】~稱N為A的標(biāo)準(zhǔn)形.~記1、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形分解定理4

任一m×n

矩陣A,必可經(jīng)過有限次初等變換化成形如下式的標(biāo)準(zhǔn)形。三、初等矩陣的應(yīng)用亦即，對任一m×n

矩陣A,必可找到初等矩陣，使得特點(diǎn)：N的左上角是一個(gè)單位矩陣,其余元素全為零．標(biāo)準(zhǔn)形N由數(shù)r唯一確定，其中隨注意：標(biāo)準(zhǔn)形N有四種變形由于可逆陣的乘積仍可逆，所以定理4也可寫成：推論：

m×n

矩陣A～B一般稱此式為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形分解．

存在m

階可逆陣P及n階可逆陣Q，使對任一m×n

矩陣A,必存在m

階可逆陣P及

n階可逆陣Q，使標(biāo)準(zhǔn)形試對矩陣建立標(biāo)準(zhǔn)形分解.于是,根據(jù)初等變換與初等矩陣的對應(yīng)關(guān)系,有根據(jù)初等矩陣的逆矩陣仍是初等陣,即得解畢.2、再論可逆陣對n階方陣

A，由定理知，存在可逆陣P、Q使(其中N為A的標(biāo)準(zhǔn)形)則則標(biāo)準(zhǔn)形為單位陣可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積經(jīng)有限次行初等變換后可化為單位陣(2)設(shè)A,B均為n階方陣，若AB=I(或BA=I)，則A,B均可逆，且BA=I(或AB=I)．據(jù)此可得利用初等變換求逆陣的方法：當(dāng)A可逆時(shí)，由(其中為初等矩陣)，可知即對n×2n矩陣(AI)施行行初等變換，當(dāng)把A變成I時(shí)，原來的I就變成了．【例5】設(shè)，求．【解】注意：本節(jié)開始的引例~~~~

對組當(dāng)時(shí)組~這一方法稱為高斯－若當(dāng)(Gauss－Jordan)消元法，它只有消元過程，而無須回代?？芍苯油ㄟ^行初等變換求出唯一解即行初等變換一般地，對Ax=b，若A是方陣且可逆，則由~行變換對陣陣則樣法1(基本方法)法2(初等變換方法)【例6】求矩陣X，使AX=B，其中【解】~思考：如果XA=C，如何求X．列變換★如果要求XA=C，則可對矩陣作列初等變換．即可得也可兩邊取轉(zhuǎn)置得，改為對作行初等變換．行變換即可得故有★對分塊矩陣

可類似求逆.分別為階可逆陣(2)設(shè)A,B均為n階方陣，若AB=I(或BA=I)，則A,B分析：

證明:

設(shè)A的標(biāo)準(zhǔn)形為N，則存在可逆陣P、Q，使下面用反證法證均可逆，且BA=I(或AB=I)．

所以只需證A可逆,而這又等價(jià)于證明A的標(biāo)準(zhǔn)形為I．則為從標(biāo)為練習(xí)解設(shè)復(fù)習(xí)3.初等變換：

2.高斯消元法:包括消元和回代兩個(gè)過程系數(shù)矩陣A

，右端項(xiàng)b，增廣矩陣.~方程組若有唯一解可用高斯消元法：消元過程直到將原方程的系數(shù)矩陣化為三角陣為止.矩陣等價(jià)：A~B

A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B

線性方程組：1.結(jié)論：對1.對調(diào)兩行或兩列2.以數(shù)乘某行或某列3.以數(shù)k乘某行(列)加到另一行(列)上去將A列分塊、行分塊復(fù)習(xí)一.初等變換：二.初等矩陣：由單位矩陣I經(jīng)過一次初等變換得到的方陣

對A左(右)乘一個(gè)初等矩陣，相當(dāng)于對A進(jìn)行一次行(列)初等變換。1.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形分解:矩陣等價(jià)對任一m×n

矩陣A,