概率論ppt課件 7.4-7.7區(qū)間估計

為了估計總體X的未知參數(shù)，通過樣本尋求一個區(qū)間，并且給出此區(qū)間包含參數(shù)真值的可信程度．這就是總體未知參數(shù)的區(qū)間估計問題．§7.4區(qū)間估計可信度：越大越好估計你的年齡

八成可能性在18－24歲之間被估參數(shù)可信度范圍、區(qū)間區(qū)間：越小越好

在區(qū)間估計理論中，被廣泛接受的一種觀點(diǎn)是置信區(qū)間，它是由奈曼（Neymann)于1934年提出的。區(qū)間估計的目的：找出未知參數(shù)的一個變化范圍使得該范圍包含的真值的概率為1-α1.定義

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x;),為未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是取自總體的樣本.設(shè)滿足0<<1,則稱隨機(jī)區(qū)間為的置信水平至少為1-

的置信區(qū)間,一、置信區(qū)間(ConfidenceInterval)這種估計的方法叫做區(qū)間估計.稱為置信水平(置信度)．

和分別稱為置信度為的雙側(cè)置信下限與雙側(cè)置信上限.是兩個統(tǒng)計量.若2、置信區(qū)間的特性：1)是隨機(jī)的：若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)按伯努利大數(shù)定理,在這樣多的區(qū)間中,2)置信區(qū)間可能包含的真值,也可能不包含；對于一個特定樣本1-反映了不等式的可靠性3)兩難性(Dilemma)：大，1-大，但參數(shù)的不確定性大；小，1-小，但對參數(shù)的確定具有較高的精度；3.評價置信區(qū)間好壞標(biāo)準(zhǔn)：(1)精度：越小越好；(2)置信度：越大越好.置信度與估計精度是一對矛盾.一般準(zhǔn)則：在保證置信度的條件下盡可能提高精度.(1)從未知參數(shù)的某個點(diǎn)估計出發(fā),構(gòu)造與的一個函數(shù)W(,),使得W的分布已知，且不依賴于未知參數(shù)

.二、尋求置信區(qū)間的步驟(3)利用不等式運(yùn)算,將不等式(2)適當(dāng)選取兩個常數(shù)a,b,使對給定的1-，有等價變形為=1-得=1-此時參數(shù)的置信水平為1-

的置信區(qū)間為定義例

設(shè)X～N(0,

1),若數(shù)z

滿足條件=1.645=2.57=3.100x則稱點(diǎn)z

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)

(如圖).標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)=-1.645例如210(0.05)?n=10n=10??F分布的上側(cè)分位數(shù)例如事實上,故求?性質(zhì)例1

證明證例1對于給定的,有解：得的置信度為的置信區(qū)間為:常寫成例

設(shè)總體為已知,是X的樣本，求的置信度為的置信區(qū)間.查表得于是得到一個置信度為0.95的置信區(qū)間即2)若樣本值為,則得到一個置信區(qū)間即(4.71,5.69)說明的真值含在(4.71,5.69)的可信程度為95%1)例如當(dāng)時,即又若說明：3)構(gòu)造方式不同置信區(qū)間也不同,如上例也有這樣得到的置信度為0.95的另一個置信區(qū)間§7.5正態(tài)總體均值與

方差的區(qū)間估計一、單個正態(tài)總體的情況二、兩個正態(tài)總體的情況對于給定的(0<<1),由

設(shè)總體X~N(,2),X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，求,2

的置信水平為(1)的置信區(qū)間.

一、單個正態(tài)總體的情況1.均值的置信區(qū)間(a)2為已知時,因為故的置信度水平為(1)的置信區(qū)間:(2為已知)/2/2知或X是的無偏估計,且⑴(b)2為未知時,因為S2是2的無偏估計量,所以用S替換,求得的置信水平為(1)的置信區(qū)間:(2未知)/2/2(2)例1

有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋，稱得重量（以克計）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496，設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布，試求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：2未知,1-=0.95,/2=0.025,n-1=15,

由公式(2)得均值的置信度為0.95的置信區(qū)間為即（500.4,507.1）

這就是說估計袋裝糖果重量的均值在500.4與507.1之間，這個估計的可信程度為95%。若以此區(qū)間內(nèi)任一值作為的估計值，其誤差不大于（克），這個誤差估計的可信程度為95%。由已知的數(shù)據(jù)算得

2的無偏估計量為S2

，(只介紹未知的情況)當(dāng)1-給定后,因為即得到方差2

的一個置信度為1-

的置信區(qū)間:(2)方差2

的置信區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)差

的一個置信度為1-

的置信區(qū)間/2/2(3)(4)例2

有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋,稱得重量（以克計）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496,設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布，試求總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：現(xiàn)在查表得又s=6.2022，(4.58,9.60)得所求的標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為由(4)式(a)12,22均為已知:設(shè)總體X~N(1,12),Y~N(2,22),

X1,X2,…,Xn1是X的樣本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的樣本.這兩個樣本相互獨(dú)立，分別為第一、二個總體的樣本均值與方差.因為1-2的無偏估計量,而即得1-2

的(1)置信區(qū)間:(1)兩個總體均值差

1-2

的置信區(qū)間(置信度為(1))二、兩個正態(tài)總體的情況(5)由第六章§2定理四知

(b),但為未知.從而可得的一個置信度為的置信區(qū)間為此處(6)例3為比較I，II兩種型號步槍子彈的槍口速度，隨機(jī)地取I型子彈10發(fā)，得到槍口速度的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差．隨機(jī)地取II型子彈20發(fā)，得到槍口速度的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布，且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差相等。求兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：按實際情況，認(rèn)為分別來自兩個總體的樣本是相互獨(dú)立的。又由假設(shè)兩總體的方差相等，但數(shù)值未知，故可用統(tǒng)計量即（3.07,4.93）.故所求的兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間是=0.95,=0.025得置信區(qū)間：由于例4

為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過程的得率，試圖采用一種新的催化劑。為慎重起見，在實驗工廠先進(jìn)行試驗，設(shè)采用原來的催化劑進(jìn)行了n1=8次試驗，得到得率的平均值，樣本方差

;又采用新的催化劑進(jìn)行了n2=8次試驗，得到得率的均值，樣本方差，假設(shè)兩總體都可認(rèn)為服從正態(tài)分布，且方差相等，試求兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：由題意取統(tǒng)計量得置信區(qū)間：則求的置信區(qū)間為即(-4.15,0.11).計算得由于所得置信區(qū)間包含零，在實際中我們就認(rèn)為采用這兩種催化劑所得的得率的均值沒有顯著差別。作業(yè)第173-175頁第七章習(xí)題

4（1）（2）；5；8；10；11；1216；18；

21

僅討論總體均值1,2

為未知的情況。

(2)兩個總體方差比的置信區(qū)間由于即于是得的一個置信度為的置信區(qū)間為例5

研究由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑，隨機(jī)抽取機(jī)器A生產(chǎn)的管子16只，測得樣本方差；抽取機(jī)器B生產(chǎn)的管子13只，測得樣本方差。設(shè)兩樣本相互獨(dú)立，且設(shè)由機(jī)器A、機(jī)器B生產(chǎn)的管子的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布,這里均未知。試求方差比的置信度為0.90的置信區(qū)間。解的置信度為的置信區(qū)間為（0.45,2.83）由于的置信區(qū)間包含1，在實際中我們就認(rèn)為兩者沒有顯著差別。的置信度為的置信區(qū)間為X1,X2,…,Xn(n>50)是X的大樣本，求p的置信度為(1)

的置信區(qū)間.§7.6（0-1）分布參數(shù)的區(qū)間估計

設(shè)總體X~b(1,p),p為未知參數(shù),X的分布律為由中心極限定理（棣莫弗---拉普拉斯定理），知已知(0-1)分布的均值和方差分別為于是有近似N(0，1)記而不等式等價于于是得p

的置信度為(1)的近似置信區(qū)間為:解一級品率p是（0-1）分布的參數(shù)，此處例設(shè)自一大批產(chǎn)品的100個樣品中，得一級品60個，求這批產(chǎn)品的一級品率p

的置信度為0.95的置信區(qū)間。而故得p

的置信度為0.95的近似置信區(qū)間為(0.50,0.69).按(5.7)、(5.8)式來求p

的置信區(qū)間，其中稱隨機(jī)區(qū)間()是的置信水平為1-

的單側(cè)置信區(qū)間

,稱為的置信水平為1-

的單側(cè)置信下限。

對于給定值

(0<<1),若由樣本X1,X2,…,Xn

確定的統(tǒng)計量§7.7單側(cè)置信區(qū)間稱隨機(jī)區(qū)間是的置信水平為1-的單側(cè)置信區(qū)間,稱為的置信度為1-的單側(cè)置信上限。,對任意滿足又若統(tǒng)計量,對任意滿足即于是得到的一個置信度為的單側(cè)置信區(qū)間例如

對于正態(tài)總體X,若均值,方差均為未知，的