概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（陳希孺）課件 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1

隨機(jī)變量數(shù)字特征本身最為重要，不論從理論還是今后的應(yīng)用的角度理論上學(xué)好這一章一方面會(huì)幫助我們理解之前所學(xué)內(nèi)容，另外在之后的數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分也有關(guān)鍵的應(yīng)用這一部分也是考試中的重點(diǎn)

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實(shí)際問(wèn)題中，分布一般是較難確定的.同時(shí)在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的全部概率性質(zhì)，只要知道它的某些關(guān)鍵數(shù)字特征就夠了.一些事例某中學(xué)購(gòu)買(mǎi)1000套課桌椅的型號(hào)：學(xué)生身高服從正態(tài)分布工商銀行服務(wù)窗口的數(shù)目：半小時(shí)到銀行辦業(yè)務(wù)的人數(shù)服從泊松分布某只股票第二天價(jià)格的預(yù)測(cè)：正態(tài)分布

因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定隨機(jī)變量的“平均值”是重要的，也就是數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的一種數(shù)字特征中，除此之外，常用的還有方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量數(shù)字特征一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征二維隨機(jī)向量的數(shù)字特征總結(jié)與應(yīng)用一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

引例一位射手的水平用打出的環(huán)數(shù)來(lái)記，其分布列為：則射手射擊100次的平均環(huán)數(shù)近似為：由于打出環(huán)數(shù)的概率不同，故不是1到10的算術(shù)平均.身邊的思考統(tǒng)計(jì)局公布的CPI，物價(jià)是上漲還是下跌？十五年前，一盤(pán)大盤(pán)雞10元，現(xiàn)在50元十五年前，thinkpad電腦2.5萬(wàn)元，現(xiàn)在5000元同學(xué)們的平均績(jī)點(diǎn)，誰(shuí)的成績(jī)更好些？甲同學(xué)：高數(shù)90分，體育60分乙同學(xué)：高數(shù)75分，體育90分要想使得平均值能夠切實(shí)地反映客觀世界，必須考慮到不同的數(shù)值所占的權(quán)重，即加權(quán)平均對(duì)于求隨機(jī)變量的平均值而言，其權(quán)重即隨機(jī)變量取相應(yīng)值的概率

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

若當(dāng)時(shí)，則稱(chēng)為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記作

，即有思考：為什么要求絕對(duì)收斂？

例１

甲、乙兩射手的穩(wěn)定成績(jī)分別為X（甲中環(huán)數(shù)）8910概率0.30.10.6Y（乙中環(huán)數(shù)）8910概率0.20.40.4試比較甲、乙兩射手誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)劣。解因此，從某種角度說(shuō)，甲比乙射擊本領(lǐng)高。乙的平均環(huán)數(shù)甲的平均環(huán)數(shù)

例２

X~B(n,p)，求E[X]。二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望思考：這里的關(guān)鍵是利用等式回憶，我們?cè)谧C三項(xiàng)分布的邊緣分布是二項(xiàng)分布時(shí)有事實(shí)上第一個(gè)等式可以看做第二個(gè)等式的特殊情況

例３

若X服從泊松分布P(λ)，試求E[X]。解泊松分布的數(shù)學(xué)期望回憶：用泊松分布逼近二項(xiàng)分布時(shí)參數(shù)的選取使得兩者期望值相同幾何分布的期望解：例4

求E[X]連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

定義

若連續(xù)型隨機(jī)變量X有概率密度函數(shù)f(x)，并且積分收斂，則稱(chēng)積分為X的數(shù)學(xué)期望，記為E[X]，即數(shù)學(xué)期望的定義微積分解釋設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0<x1<x2<…,則X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來(lái)近似代替。近似,該離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是因此X與以概率取值xi的離散型隨機(jī)變量

這正是的漸近和式.ò+￥￥-dxxxf)(

例7

設(shè)X服從均勻分布，其分布密度為解:求E[X]。均勻分布的期望例8解：正態(tài)分布的期望正態(tài)分布參數(shù)μ的意義即為期望值例9解：指數(shù)分布的期望指數(shù)分布參數(shù)λ代表期望的倒數(shù)例10設(shè)X服從柯西分布，即有密度函數(shù)證:

故E[X]不存在。

證明X不存在數(shù)學(xué)期望。隨機(jī)變量函數(shù)的期望直接的想法，先求出Y的分布，再求E[Y]。已知隨機(jī)變量X的分布，關(guān)系式Y(jié)=g(X)給定如何求E[Y]?

例6

設(shè)X的分布律為X－1013概率求E(X2)

。019P解：X2的分布列解法二：離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望g(X)的數(shù)學(xué)期望為不需要求出g(X)的具體分布！連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望不論是離散型還是連續(xù)型隨機(jī)變量，當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.若連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)，且證明略有一些復(fù)雜，不需掌握，大家一定記住結(jié)論！

例11解:X的密度函數(shù)為解法二：Y的分布函數(shù)為顯然要復(fù)雜很多專(zhuān)題：數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用例

設(shè)想這樣一種博彩游戲，博彩者將本金1元壓注在1到6的某個(gè)數(shù)字上，然后擲三顆骰子，若所壓的數(shù)字出現(xiàn)i次（i=1，2，3），則下注者贏i元，否則沒(méi)收1元本金，試問(wèn)這樣的游戲規(guī)則對(duì)下注者是否有利?解：用隨機(jī)變量ξ表示下注者1元注金帶來(lái)的贏利，其可能取值是－1，1，2，3?？梢杂每疾霦[ξ]來(lái)評(píng)價(jià)這一游戲規(guī)則對(duì)下注者是否有利。因?yàn)檩斱A的概率與所壓數(shù)字無(wú)關(guān)，不妨假設(shè)博彩者一直壓數(shù)字1（也可假設(shè)等可能，但是平添復(fù)雜性）。ξ的分布列為即平均贏利小于0，故這一游戲規(guī)則對(duì)下注者是不利的。數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用

考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個(gè)人一組，把這10個(gè)人的血液樣本混合起來(lái)進(jìn)行化驗(yàn)。如果結(jié)果為陰性，則10個(gè)人只需化驗(yàn)1次；若結(jié)果為陽(yáng)性，則需對(duì)10個(gè)人在逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問(wèn)：這種分組化驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比，是否能減少化驗(yàn)次數(shù)？分析：設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為X我們需要計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較

化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律。(X=1)=“10人都是陰性”（X=11)=“至少1人陽(yáng)性”結(jié)論：分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)注意求X期望值的步驟！思考：如果該疾病患病的概率較大會(huì)如何？例：一袋中裝有a只紅球，b只白球，每次中袋中任取一球，記下該球的顏色后將其放回袋中，同時(shí)再放進(jìn)c只與該球同色的球。如此進(jìn)行下去，記Ak={第k次取到紅球}，試證明P(Ak)