【精品課件】微分幾何

【精品課件】微分幾何第一頁，共178頁。微分幾何主講人：周小輝第二頁，共178頁。第一章曲線論1、向量函數(shù)向量函數(shù)的極限、連續(xù)、微商、積分2、曲線的概念

曲線、光滑曲線、曲線的切線和法面、自然參數(shù)。3、空間曲線3、1空間曲線的密切平面3、2空間曲線的基本三棱形3、3空間曲線的曲率、撓率和伏雷內(nèi)公式3、4空間曲線在一點鄰近的結(jié)構(gòu)3、5空間曲線的基本定理3、6一般螺線

內(nèi)容提要第三頁，共178頁?；仡櫹蛄看鷶?shù)

一、向量的概念1、向量的定義。2、向量的表示3、特殊向量（自由向量、單位向量、零向量、逆向量）4、向量的坐標(biāo)。

二、向量的運算（幾何意義）1、加減法：2、數(shù)乘：3、內(nèi)積：4、外積：

第四頁，共178頁。

5、混合積：6、二重向量積：7、Lagrange恒等式

8、模：方向余弦：四、運算規(guī)律、幾個充要條件

1、2、3、

三、幾種運算的幾何意義第五頁，共178頁。第一節(jié)向量函數(shù)

向量函數(shù)的概念：給出一點集G，如果對于G中的每一個點，有一個確定的向量

和它對應(yīng)，則說在G上給定了一個向量函數(shù)，記作例如設(shè)G是實數(shù)軸上一區(qū)間，則得一元向量函數(shù)設(shè)G是一平面域，，則得二元向量函數(shù)設(shè)G是空間一區(qū)域，，得三元向量函數(shù)

1、定義

設(shè)

是所給的一元函數(shù)，是常向量，如果對任給的，都存在數(shù)，使得當(dāng)時,有成立，則說當(dāng)時，向量函數(shù)趨向于極限，記作

1、1向量函數(shù)的極限第六頁，共178頁。2、向量函數(shù)的性質(zhì)命題1如果和是兩個一元函數(shù)，是一個實函數(shù)，并且當(dāng)時，有

則有（1）兩向量之和（差）的極限等于極限之和（差）。（2）數(shù)乘向量的極限等于極限的乘積。（3）數(shù)量積的極限等于極限的數(shù)量積。（4）向量積的極限等于極限的向量積。第七頁，共178頁。1、2向量函數(shù)的連續(xù)性

1、給出一元向量函數(shù)

，當(dāng)tt0時，若向量函數(shù),則稱向量函數(shù)

在t0點是連續(xù)的。也有

2、如果

在閉區(qū)間[t1,t2]的每一點都連續(xù)，則稱

在區(qū)間[t1,t2]上是連續(xù)的。

3、命題2

如果和是在點t0連續(xù)的向量函數(shù)，而是點t0連續(xù)的實函數(shù)，則向量函數(shù)和實數(shù)也都有在t0點連續(xù)（把命題中的點t0改為區(qū)間[t,t0]時，命題也成立）。第八頁，共178頁。

1、3向量函數(shù)的微商

1、設(shè)是定義在區(qū)間[t1,t2]上的向量函數(shù)，設(shè)，如果極限存在，則稱在t0點是可微分的，這個極限稱為在t0點的微商（或?qū)福?。記?/p>

即如果在某個開區(qū)間的每一點都有微商存在，則說在此區(qū)間內(nèi)是可微的或簡稱向量函數(shù)是可微的，它的微商記為第九頁，共178頁。2、命題3

設(shè)分別是可微的向量函數(shù)，是可微的實函數(shù)，則都是可微函數(shù)，并且

3、向量函數(shù)的微商仍為t的一個向量函數(shù)，如果函數(shù)也是連續(xù)和可微的，則的微商稱為的二階微商。類似可定義三階、四階微商。如第十頁，共178頁。5、任一向量函數(shù)與三個實函數(shù)一一對應(yīng)，即有

證明將兩邊點乘得由于

是常向量，而是類的，所以x(t)是類函數(shù)同理，是類函數(shù)。

命題4

如果向量函數(shù)在上是類函數(shù)，則向量函數(shù)所對的三個實函數(shù)在上是類函數(shù)。

4、在區(qū)間[t1,t2]上有直到k階連續(xù)微商的函數(shù)稱為這區(qū)間上的k次可微函數(shù)或類函數(shù)，連續(xù)函數(shù)也稱為類函數(shù)，無限可微的函數(shù)記為類函數(shù)。解析函數(shù)記為類函數(shù)。第十一頁，共178頁。1、4向量函數(shù)的泰勒公式2、當(dāng)時，我們可以把它展成泰勒級數(shù)

3、如果，則上述泰勒級數(shù)是收斂的。1、定理

設(shè)向量函數(shù)在上是類函數(shù)，則有泰勒展開式其中時第十二頁，共178頁。證明第十三頁，共178頁。1、5向量函數(shù)的積分

1、定義

如果向量函數(shù)是可積的，則有

2、命題5

如果向量函數(shù)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則積分存在，并且（1）當(dāng)a<c<b時有（2）m是常數(shù)時有（3）如果是常向量，則有（4）第十四頁，共178頁。

3、命題6

(1)向量函數(shù)具有固定長的充要條件是對于t的每一個值，都與垂直。(2）有固定方向的充要條件是（3）平行于固定平面的充要條件是

證明

因為x(t),y(t),z(t)為連續(xù)函數(shù)，所以在[a,b]上可積，由它對應(yīng)的向量函數(shù)也可積，且有第十五頁，共178頁。

4、旋轉(zhuǎn)速度：定義為向量函數(shù)對于變量t的旋轉(zhuǎn)速度。

命題7

單位向量函數(shù)對于t的旋轉(zhuǎn)速度等于其微商的模

證明

如圖所以第十六頁，共178頁。第二節(jié)曲線的概念

2、1曲線的概念2、曲線

一個開直線段到三維歐氏空間內(nèi)建立的一個一一的，雙方連續(xù)的在上的映射f（拓撲映射或同胚）下的象叫簡單曲線段。

1、映射

給出兩個集合E，，法則f，如果通過E中每個點（或元素）x，有中唯一的點與之對應(yīng)，則說f為從E到的映射，為象，x為原象。一一映射（單射）：不同元素的象不同。在上映射（滿射）：中元素都有原象。雙方連續(xù)的：一個映射以及它的逆映射都連續(xù)。第十七頁，共178頁。

3、曲線的參數(shù)方程

坐標(biāo)式例書中的開圓和圓柱螺線。向量式

例1、

開圓弧

例2、圓柱螺線或第十八頁，共178頁。2、2光滑曲線曲線的正常點

1、光滑曲線

如果曲線的參數(shù)表示式中的函數(shù)是k階連續(xù)可微的函數(shù)，則把這曲線稱為

類曲線。類的曲線又稱為光滑曲線。2、正常點

曲線上滿足一階微商不為零的點叫曲線的正常點。即若t0為曲線的正常點，則由于所以中至少有一個不為零第十九頁，共178頁。例如圓柱螺線由于b不為0，由z=bt得t=z/b，代入x=acost,y=asint得x=acos(z/b)

y=asin(z/b)。這是圓柱螺線的另一種表示法。3、正則曲線

若曲線上任一點都是正常點，則此曲線稱為正則曲線。

由中至少有一個不為零不妨設(shè),則在曲線的正常點的充分小的鄰域里，x=x(t)在t0鄰近有連續(xù)可微的反函數(shù)t=t(x),代入y=y(t),z=z(t)，即得這是曲線的另一種表示方法。第二十頁，共178頁。2、3曲線的切線和法面2、切線的方程（設(shè)曲線上的點都有是正常點）設(shè)切線上任一點的徑矢為則設(shè)則

3、例

求圓柱螺線上一點處的切線。1、切線

割線的極限

切向量第二十一頁，共178頁。4、法面

經(jīng)過切點且垂直于

切線的平面。5、法面的方程

設(shè)是法面上任一點，則或

例題求圓柱螺線的法面方程第二十二頁，共178頁。2、4曲線的弧長自然參數(shù)

給出類曲線（C）：作分點Pi得折線，長為得弧長若用表a到t的弧長，則這里的積分上限大于下限，所得的曲線的弧長總是正值?；￠L公式為第二十三頁，共178頁。現(xiàn)在定義一新函數(shù)s(t)為：

s(t)=0,t=a,得而且s(t)是t的單調(diào)增加函數(shù)（），它的反函數(shù)存在設(shè)為t=t(s)，代入曲線方程得到以s為參數(shù)的曲線方程或x=x(s),y=y(s),z=z(s),s稱為自然參數(shù)。記對s(t)微分得

此外還有，因此為單位切向量。練習(xí)10

將圓柱螺線化為自然參數(shù)表示。第二十四頁，共178頁。

3、1空間曲線的密切平面1、定義

過空間曲線上P點的切線和P點鄰近一點Q可作一平面，當(dāng)Q點沿曲線趨于P時，平面的極限位置稱為曲線在P點的密切平面。第三節(jié)空間曲線

對于類的曲線上任一正常點處的密切平面是最貼近于曲線的切平面。第二十五頁，共178頁。2、密切平面的方程

給出類的曲線（C）：因為向量和都在平面上，所以它們的線性組合也在平面上。兩邊取極限得在極限平面上，即P點的密切平面上，因此只要這個向量就可以作為密切平面的一個法向量。密切平面方程為

第二十六頁，共178頁。用表示P點的密切平面上任一點的向徑，則上式表示為如果曲線用自然參數(shù)s表示，則將上式中的撇改成點。例題

求圓柱螺線上任一點的密切平面。平面曲線的密切平面就是曲線所在的平面。第二十七頁，共178頁。1、給出類曲線得一單位向量，稱為曲線（C）上P點的單位切向量。（注意到）稱為曲線在P點的主法向量,它垂直于單位切向量。稱為曲線在P點的副法向量。把兩兩正交的單位向量稱為曲線在P點的伏雷內(nèi)（Frenet)標(biāo)架。

3、2空間曲線的基本三棱形第二十八頁，共178頁。2、由任意兩個基本向量所確定的平面分別叫做密切平面、法平面、從切平面。而由三個基本向量和上面三個平面所構(gòu)成的圖形叫做曲線的基本三棱形。3、對于曲線（C）的一般參數(shù)表示有4、例題

P34密切平面從切平面法平面密切平面：法平面：從切平面：第二十九頁，共178頁。3、3空間曲線的曲率，撓率和伏雷內(nèi)公式2、曲率的幾何意義是曲線的切向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。曲率越大，曲線的彎曲程度就越大，因此它反映了曲線的彎曲程度。

設(shè)空間曲線（C）為的，且以s為參數(shù)。

1、曲率

定義（C）在P為的曲率為有

（一個單位向量微商的模等于它對于變量的旋轉(zhuǎn)速度）第三十頁，共178頁。3、撓率

與曲率類似有

定義

曲線（C）在P點的撓率為撓率的絕對值是曲線的副法向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。第三十一頁，共178頁。4、由定義可得又于是有這個公式稱為空間曲線的伏雷內(nèi)（Frenet)公式。它的系數(shù)組成一反稱方陣第三十二頁，共178頁。5、曲率和撓率的一般參數(shù)表示式給出類的曲線（C）：所以因此由此得到曲率的一般參數(shù)的表示式第三十三頁，共178頁。由可得撓率公式為第三十四頁，共178頁。6、密切圓（曲率圓）

過曲線（C）上一點P的主法線的正側(cè)取線段PC，使PC的長為1/k。以C為圓心，以1/k為半徑在密切平面上確定一個圓，這個圓稱為曲線在P點的密切圓或曲率圓，圓的中心叫曲率中心，圓的半徑叫曲率半徑。第三十五頁，共178頁。7、幾個例題例1圓柱螺線的曲率和撓率都是常數(shù)。例2曲率恒為零的曲線是直線。例3撓率恒為零的曲線是平面曲線。例4求曲率為4，撓率為5的曲線方程。解

由題意，可設(shè)曲線為園柱螺線因此得所求園柱螺線為第三十六頁，共178頁。3、4空間曲線在鄰近一點的結(jié)構(gòu)給定類曲線及其上一點有

取為新坐標(biāo)系，并取為計算弧長的始點，則有。設(shè)為曲線上點的鄰近點的新坐標(biāo)，則有第三十七頁，共178頁。近似曲線在三個平面上的投影分別為第三十八頁，共178頁。

通過畫出以上三個投影的立體圖形就可以看出空間曲線在一點鄰近的近似形狀：1、曲線穿過法平面與密切平面，但不穿過從切平面。2、主法向量總是指向曲線凹入的方向，這是主法向量正向的幾何意義。3、撓率的符號對曲線的影響見表。

第三十九頁，共178頁。3、5空間曲線論的基本定理

曲線上每一點都有確定的曲率和撓率，它們與參數(shù)有關(guān)，但與剛體運動和坐標(biāo)變換無關(guān)。我們把稱為空間曲線的自然方程?？臻g曲線論基本定理

給出閉區(qū)間[s0,s1]上的兩個連續(xù)函數(shù),則除了空間的位置差別外，唯一存在一條空間曲線，使得參數(shù)s是曲線的自然參數(shù)，并且和分別為曲線的曲率和撓率，即曲線的自然方程為第四十頁，共178頁。3、6一般螺線1、定義：切線和固定方向作固定角的曲線稱為一般螺線。

2、性質(zhì)：（1）主法線與一個固定方向垂直。

（2）、副法線與一個固定方向作固定角。

證明：設(shè)是固定方向上的一個單位向量。它與切向量作固定角，有微商第四十一頁，共178頁。

（3）曲率與撓率之比為一個常數(shù)。

可以證明，上面的結(jié)論也是充分的。

3、一般螺線的一種標(biāo)準方程設(shè)柱面的母線平行于z軸，則可令再設(shè)一般螺線的方程為

若令z=0,s=0,則于是一般螺線的方程為第四十二頁，共178頁。廣義螺線若一質(zhì)點的運動軌跡的參數(shù)方程是其中為橢圓中常數(shù),

<的常數(shù),

為自轉(zhuǎn)速率.則該軌線為橢圓螺線.

第四十三頁，共178頁。若一質(zhì)點的運動軌跡的參數(shù)方程是其中為雙曲線中常數(shù),

<的常數(shù),

為自轉(zhuǎn)速率.則該軌線為雙曲螺線.

第四十四頁，共178頁。若一質(zhì)點的運動軌跡的參數(shù)方程是其中為拋物線中常數(shù),

為自轉(zhuǎn)速率.則該軌線為拋物螺線.

第四十五頁，共178頁。第二章曲面論

內(nèi)容提要1、曲面的概念（簡單曲面、光滑曲面、切平面和法線）2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲線的弧長、正交軌線、曲面域的面積、等距變換、保角變換）3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲線的曲率、杜邦指標(biāo)線、漸近線、曲率線等）4、直紋面和可展曲面（直紋面、可展曲面）5、曲面論的基本定理（基本方程、基本定理）6、曲面上的測地線（測地曲率、測地線、高斯—波涅

公式、曲面上向量的平行移動）7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、偽球面、羅氏幾何）第四十六頁，共178頁。第一節(jié)曲面的概念

1、1簡單曲面及其參數(shù)表示

一、初等區(qū)域

平面上的不自交的閉曲線稱為約當(dāng)曲線。約當(dāng)曲線將平面分成兩部分，并且每一部分都以它為邊界，它們中有一個是有限的，另一個是無限的，有限的區(qū)域稱為初等區(qū)域。約當(dāng)曲線的內(nèi)部稱為初等區(qū)域。如矩形的內(nèi)部、圓的內(nèi)部等。

如果平面上的初等區(qū)域到三維歐氏空間的對應(yīng)是一一的、在上的、雙方連續(xù)的映射（拓撲映射），則把三維空間中的象稱為簡單曲面。

今后我們所用的都是簡單曲面或曲面。如：一矩形紙片（初等區(qū)域）可以卷成有裂縫的圓柱面。如果它是橡皮膜，還可變成圓環(huán)面。二、簡單曲面第四十七頁，共178頁。第四十八頁，共178頁。三、曲面的方程

初等區(qū)域G中的點的的笛氏坐標(biāo)為(u,v)，它的拓撲象為曲面S，其上的點的笛氏坐標(biāo)為(x,y,z)，故有x=f1(u,v),y=f2(u,v),z=f3(u,v),(u,v)∈G稱為曲面S的參數(shù)表示或參數(shù)方程，u和v稱為曲面S的參數(shù)或曲紋坐標(biāo)。習(xí)慣上寫作

x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈G例：圓柱面；球面；旋轉(zhuǎn)面。四、坐標(biāo)曲線；曲紋坐標(biāo)網(wǎng)。

曲面上一點P的直角坐標(biāo)為（x,y,z），它的曲紋坐標(biāo)為（u,v）?，F(xiàn)在取v=常數(shù)而u變化時的曲線叫u-曲線(u線）u=常數(shù)而v變化時的曲線叫v-曲線（v線）面上構(gòu)成坐標(biāo)網(wǎng)，稱為曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)。對于曲面上任一點P，兩族曲線中各有一條經(jīng)過它。第四十九頁，共178頁。其中為相應(yīng)拋物線中常數(shù),

向量函數(shù)形式：

拋物螺面拋物螺線其中為相應(yīng)拋物線中常數(shù),

向量函數(shù)形式：

第五十頁，共178頁。1、2光滑曲面、曲面的切平面和法線

一、光滑曲面、正常點、正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng)

1、若曲面x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)或r=r(u,v)中的函數(shù)有直到k階的連續(xù)微商，則稱為k

階正則曲面或

類曲面。類的曲面又稱為光滑曲面。

2、過曲面上一點(u0,v0)有一條u--曲線：r=r(u,v0)和一條v—曲線：r=r(u0,v),該點處這兩條坐標(biāo)曲線的切向量為如果它們不平行，即ru×rv在該點不為零，則稱該點為曲面的正常點。第五十一頁，共178頁。3、正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng)

由ru，rv的連續(xù)性，若ru×rv在(u0,v0)點不為零，則總存在該點的一個鄰域U，使在這個鄰域內(nèi)有ru×rv不為零，于是在這片曲面上，有一族u線和一族v線，它們不相切，構(gòu)成一正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng)。4、曲面在正常點的鄰域中總可用顯函數(shù)的形式表示，

即有z=z(x,y),事實上，由3，ru×rv在(u0,v0)點不為零，則總存在該點的一個鄰域U，使在這個鄰域內(nèi)有ru×rv不為零，故的坐標(biāo)中的三個二級子式中至少有一個不為0，不妨設(shè)第一個不為0，即

由隱函數(shù)定理，x=x(u,v),y=y(u,v)在U中存在唯一的單值連續(xù)可微函數(shù)u=u(x,y),v=v(

x,y),代入得z=z[u(x,y),v(x,y)]=z(x,y)。第五十二頁，共178頁。二、曲面的切平面

設(shè)曲面曲線為(c)：

u=u(t),v=v(t),或r=r[u(t),v(t)]=r(t)，這條曲線在曲面上(u0,v0)處的切方向稱為曲面在該點的切方向或方向，它平行于其中分別是在(u0,v0)點處的兩條坐標(biāo)曲線的切向量。以下切方向幾種表示通用：du:dv,(d)和。1、切平面的定義第五十三頁，共178頁。

可以看出，切向量與共面，但過(u0,v0)點有無數(shù)條曲面曲線，因此在正常點處有無數(shù)切方向，且有

命題2：曲面上正常點處的所有切方向都在過該點的坐標(biāo)曲線的切向量所確定的平面上。這個平面我們稱作曲面在該點的切平面。第五十四頁，共178頁。3、切平面的方程

設(shè)面上一點為P0(u0,v0)，R(X,Y,Z)為平面上任一點，則有

或?qū)懗勺鴺?biāo)表示式如果用顯函數(shù)z=z(x,y)表示曲面時，有

第五十五頁，共178頁。三、法方向與法線

1、定義：曲面在正常點處垂直于切平面的方向稱為曲面的法方向，過該點平行于法方向的直線稱作曲面在該點的法線。

由定義，曲面的法方向為單位法向量為

2、法線的方程設(shè)曲面上任一點r(u,v)的徑矢為R(u,v)則法線的方程為用坐標(biāo)表示為若用z=z(x,y)表示曲面，則有第五十六頁，共178頁。四、參數(shù)變換

如果曲紋坐標(biāo)(u,v)變?yōu)樾碌那y坐標(biāo)：則得到曲面關(guān)于新曲紋坐標(biāo)的方程對求導(dǎo)：因此（1），則兩個法向量平行。（2），所有參數(shù)法向量的正向保持不變，稱這個方向為曲面的正向。（3）交換參數(shù)，則正向改變?yōu)樨撓?，曲面為雙側(cè)。第五十七頁，共178頁。1、3曲面上的曲線簇和曲線網(wǎng)

設(shè)光滑曲面上的曲線為(c)：u=u(t),v=v(t),或者r=r[u(t),v(t)]=r(t),消去t，可得曲面上曲線的方程為1、一階線性微分方程

表示曲面上的一簇曲線——曲線簇，設(shè)則有解之得特別當(dāng)A=0或B=0時，有du=0或dv=0此時為坐標(biāo)曲線u=c或v=c。第五十八頁，共178頁。2、二階微分方程則表示曲面上的兩簇曲線——曲線網(wǎng)。

設(shè)分別解這兩個一階微分方程，可得兩簇曲線，它們構(gòu)成曲面上的曲線網(wǎng)。特別有它們表示坐標(biāo)曲線。第五十九頁，共178頁。第二節(jié)曲面的第一基本形式2、1曲面的第一基本形式曲面上曲線的弧長

1、給出曲面S：r=r(u,v)，曲面曲線(c)：u=u(t),v=v(t),或r=r[u(t),v(t)]=r(t)，若s表示弧長有所以稱為曲面的第一基本形式。其中稱為第一類基本量。第六十頁，共178頁。2、曲線(C)上兩點A(t0),B(t1)間的弧長為：3、用顯函數(shù)z=z(x,y)表示的曲面的第一基本形式4、第一基本形式是正定的。事實上，也可從直接得到。第六十一頁，共178頁。例2：正螺面例題1：求球面的第一基本形式第六十二頁，共178頁。2、2曲面上兩方向的交角

1、把兩個向量和間的交角稱為方向（）和（）間的角。2、設(shè)兩方向的夾角為，則3、特別（1）（2）對于坐標(biāo)曲線的交角，有故坐標(biāo)曲線正交的充要條件為F=0。第六十三頁，共178頁。2、3正交曲線簇和正交軌線

設(shè)有兩曲線如果它們正交，則或即

若另給出一簇曲線則另一族與它正交的曲線稱為這曲線的正交軌線，它的微分方程是即第六十四頁，共178頁。2、4曲面域的面積

如圖,用坐標(biāo)曲線把曲面分成若干小塊,每塊的面積為其中D為相對應(yīng)的u,v平面上的區(qū)域，定義：僅由第一基本形式出發(fā)所建立的幾何性質(zhì)（量）稱為曲面的內(nèi)在性質(zhì)（量）或內(nèi)蘊性質(zhì)（量）。如曲面上曲線的弧長，曲面上兩方向的交角，曲面域的面積。第六十五頁，共178頁。2、5等距變換

1)曲面S到S1的變換給定兩曲面：S：S1：如果其對應(yīng)點的參數(shù)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系：，其中連續(xù)，有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且這種一一對應(yīng)關(guān)系稱為曲面S到S1的變換。

由于這樣兩個曲面在對應(yīng)點就有相同的參數(shù)。并且在以后的討論中我們總假定在對應(yīng)點有相同的參數(shù)。2)等距變換：曲面間的一個變換，如果保持曲面上任意曲線的長度不變，則這個變換稱為等距變換（保長變換）。第六十六頁，共178頁。定理：兩個曲面上的一一變換是等距變換的充要條件是經(jīng)過適當(dāng)選取參數(shù)后，它們有相同的第一基本形式。

由這個定理可知：僅由第一基本形式所確定的性質(zhì)(內(nèi)蘊性質(zhì))在等距變換下不變，因此曲線的弧長，交角，面積等都是等距不變量。第六十七頁，共178頁。例正螺面懸鏈面令則它是正螺面與懸鏈面的等距變換。第六十八頁，共178頁。2、6保角變換（共形變換）

1）定義：兩曲面之間的一個變換，如果保持曲面上曲線的交角相等，則這個變換稱為保角變換（保形變換）

2）定理：兩個曲面間的一個變換是保角變換的充要條件是它們的第一基本形式成比例。特別：等距變換是它的特例。第六十九頁，共178頁。例球極投影球面平面第七十頁，共178頁。第三節(jié)曲面的第二基本形式3.1曲面的第二基本形式一、上節(jié)中我們討論到的性質(zhì)，如交角、弧長、面積等，都是曲面本身的內(nèi)蘊性質(zhì)，它不依賴于曲面在空間如何彎曲。為了更好地研究曲面的形狀，有必要知道在曲面上任意一點P鄰近曲面是否彎曲，往什么方向彎曲，彎曲的程度，而這個程度可用P點鄰近的點Q到P點的切平面的垂直距離來表示，這個距離的主要部分就是曲面的第二基本形式。在第五節(jié)我們將看到，曲面的第一、二基本形式完全決定的曲面的形狀。第七十一頁，共178頁。Ⅱ

它稱為曲面的第二基本形式,它的L、M、N系數(shù)稱為曲面的第二類基本量。上式表明第二基本形式近似地等于曲面與切平面的有向距離的兩倍，因而它刻劃了曲面離開切平面的彎曲程度，即刻劃了曲面在空間中的彎曲性。注意：第二基本形式不一定是正定的，當(dāng)曲面在給定點向法向量的正側(cè)彎曲時為正，反向彎曲為負。二、曲面的第二基本形式第七十二頁，共178頁。三、第二類基本量的計算1、2、對進行微分得Ⅱ第七十三頁，共178頁。3、對于顯函數(shù)z=z(x,y)表示的曲面有Ⅱ例題1、2第七十四頁，共178頁。3、2曲面上曲線的曲率曲面在已知點鄰近的彎曲性可由它離開曲面的切平面的快慢來決定，但曲面在不同方向的彎曲程度是不一樣的，即曲面在不同方向以不同的速度離開切平面，這一點，我們可以用曲面上過該點的不同方向的曲線的曲率來研究它在不同方向的彎曲程度，而這條曲線又可用一條更簡單的曲線（如平面曲線）來求得，這條曲線就是法截線。一、法截面與法截線1、給定類的曲面S：（c）：u=u(s),v=v(s)或是曲面上過P的一曲線，曲線在P的切向量與主法向量為則設(shè)P點的法向量與主法向量的夾角為，則第七十五頁，共178頁。所以Ⅱ但2、定義：給出曲面上一點P及P點的一切方向du:dv，于是方向(d)和單位法向量以及點P所確定的平面稱為曲面在P點沿該方向的法截面，這個法截面與曲面S的交線稱為曲面S在P點沿方向(d)法截線。Ⅱ第七十六頁，共178頁。二、法曲率

設(shè)方向（d）所確定的法截線為(c0)，它在P點的曲率為k0，對于(c0)，它是一條平面曲線，它在P點的主法向量為s在P點的法向量或它的反向量，即，所以由公式（1）得ⅡⅡ

其中和的方向相同時取正號，此時（c0）往的正側(cè)彎曲，…………取負號，……反向彎曲。第七十七頁，共178頁。定義：曲面在一點沿一方向的法曲率為Ⅱ注意：設(shè)給定點為P，則L、M、N、E、F、G由P點所定，但此時du:dv為法截線的方向，并不一定是前面所提到的s上的曲線（c）的方向，為了求(c)的曲率，只要（c）與（c0）在P點相切就行了，因為它們此時的切方向相同了。所以

設(shè)曲面上一曲線（c）和法截線（c0）切于P點，則它們有相同的切方向（d）=du:dv，則（1）和（3）得

利用這個關(guān)系，所求曲面曲線的曲率都可以化為法曲率討論。第七十八頁，共178頁。三、梅尼埃定理

設(shè)R=1/k，即R為曲線（c)的曲率半徑，

Rn

=1/kn

，稱R為曲線（c0)的曲率半徑，也稱為法曲率半徑。則公式，可寫為梅尼埃定理：曲面曲線（C）在給定點P的曲率中心C就是與曲線（C）具有共同切線的法截線（C0）上同一個點P的曲率中心C0在曲線（C）的密切平面上的投影。四、一個例，球面。

由于R在（C）的主法線上，即在（C）的密切平面上，

Rn在（C0）……，（C0）……故這個公式的幾何意義為：R為Rn在（C）的密切平面上的投影，由于它們的端點為曲率中心C和法曲率中心C0，因此幾何意義可敘述成：第七十九頁，共178頁。3.3杜邦指標(biāo)線一、杜邦指標(biāo)線取P點為坐標(biāo)原點，坐標(biāo)曲線在P點的切方向為構(gòu)成了曲面在P點的切平面上的一個坐標(biāo)系。在切平面上給定方向（d），即使得，則對于切平面上所有方向，N點的軌跡稱為曲面在P點的杜邦指標(biāo)線。第八十頁，共178頁。二、杜邦指標(biāo)線的方程

取（d）上的單位向量為，設(shè)N點在前面的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(x,y),則第八十一頁，共178頁。三、曲面上的點的分類

按曲面上的點的杜邦指標(biāo)線進行分類1）若，則點P稱為曲面的橢圓點，這時杜邦指標(biāo)線是一橢圓。2）若，則點P稱為曲面的雙曲點，杜邦指標(biāo)線為一對共軛的雙曲線。3）若，則稱P為曲面的拋物點，杜邦指標(biāo)線為一對平行直線。4）若，則稱P為曲面的平點，這時杜邦指標(biāo)線不存在。

例：平面上的點為平點。因為平面方程為它的二階微商全為零，因此第二類基本量全為零。第八十二頁，共178頁。3、4曲面上的漸近方向與共軛方向一、曲面的漸近方向與漸近線1、定義：如果P是曲面的雙曲點，則它們的杜邦指標(biāo)線有一對漸近線，我們把沿漸近線的方向(d)稱為曲面在P點的漸近方向。

設(shè)L，M，N在P點的值為L0，M0，N0，則由解析幾何知，這兩個方向滿足方程也就是使得法曲率為零的方向。2、漸近曲線曲面上的曲線，如果它上面的每點的切方向都是漸近方向，則稱曲線為漸近曲線，它的微分方程是第八十三頁，共178頁。命題2：曲面在漸近曲線上一點處的切平面一定是漸近曲線的密切平面。3、性質(zhì)命題1：如果曲面上有直線，則一定是曲面的漸近曲線。由法曲率公式即證：證明：沿漸近曲線有若k=0，則為直線，這時曲面的切平面通過它，因此切平面又是密切平面；若，則曲面的法向量垂直于漸近曲線的主法向量，因此曲面的切平面通過漸近曲線的切線外，還通過漸近曲線的主法向量，所以它又是漸近曲線的密切平面。第八十四頁，共178頁。4、漸近網(wǎng)1）如果曲面上的點都是雙曲點，則曲面上存在兩族漸近曲線，這兩族曲線稱為曲面上的漸近網(wǎng)。2）定理：曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是L=N=0。證明：必要性：若曲紋網(wǎng)是漸近網(wǎng)，則du=0或dv=0應(yīng)滿足漸近曲線的微分方程代入得L=N=0。充分性：若L=N=0,又du=0或dv=0,代入必有即曲紋網(wǎng)是漸近網(wǎng)。第八十五頁，共178頁。二、共軛方向1、定義：設(shè)曲面上P點處的兩個方向分別為如果包含這兩個方向的直線是P點的杜邦指標(biāo)線的共軛直徑，則這兩個方向稱為曲面的共軛方向。2、共軛條件：由解析幾何學(xué)知，兩方向共軛的充要條件是現(xiàn)杜邦標(biāo)線為因此共軛充要條件為所以兩方向共軛也可寫為

特別當(dāng)時，條件就為為漸近方向，故漸近方向為自共軛方向。但第八十六頁，共178頁。3、共軛網(wǎng)1）給出曲面上的兩族曲線，如果通過它上面每點，曲線族中的兩條曲線的切方向都是共軛方向，則這兩族曲線稱為曲面上的共軛網(wǎng)。2）共軛網(wǎng)滿足的條件：設(shè)共軛網(wǎng)中兩族曲線的方向分別為，則這兩個方向應(yīng)滿足(1)設(shè)一族曲線的微分方程為Adu+Bdv=0(2)聯(lián)立（1）（2）為關(guān)于du,dv的齊次方程組，它有非零解的充要條件是為與曲線族（2）共軛的曲線的微分方程。第八十七頁，共178頁。

命題4：曲面的曲紋網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是M=0。

特別地，?。?）為坐標(biāo)曲線dv=0，即u線，則它的共軛曲線族為如果這族曲線為v線（）則M=0。因此得到3、5曲面的主方向和曲率線一、主方向1、定義：曲面上一點P的兩個方向，如果它們既正交又共軛，則稱為曲面在P點的主方向。第八十八頁，共178頁。2、主方向滿足的條件（1）設(shè)兩個主方向為（d）（）兩式聯(lián)立并消去得這就是主方向所滿足的條件，也可寫成展開得第八十九頁，共178頁。3、主方向的個數(shù)主方向的個數(shù)由它的判別式確定：1）判別式大于零，方程有兩個不同實根，即有兩個不同的主方向；2）沒有判別式小于零的情況。3）當(dāng)且僅當(dāng)EN–GL=EM–FL=0時判別式等于零。此時有E/L=F/M=G/N,則這種點稱為曲面上的臍點。結(jié)論：1）非臍點總有兩個不同的主方向，它們是杜邦指標(biāo)線的主軸方向。2）在臍點，前面的行列式為恒等式，即對于任何方向行列式為零，因此在臍點的每個方向都是主方向。3）L=M=N=0的臍點稱為平點，L,M,N不同時為零的臍點叫圓點。

第九十頁，共178頁。設(shè)(d)是主方向，是與(d)垂直的另一主方向，由得利用正交和共軛得于是有，兩邊點積即：-Ⅱ=，所以反之，設(shè)，是與(d)垂直的另一方向，第九十一頁，共178頁。若方向（d）是主方向，

則，其中是曲面沿方向(d)的法曲率；反之，如果對于方向(d)有，則(d)是主方向，且是沿方向(d)的法曲率。二、主方向判別定理（Rodrigues定理）：第九十二頁，共178頁。三、曲率線與曲率線網(wǎng)1、定義：曲面上一曲線，如果它上面的切方向都是主方向，則稱為曲率線。2、曲率線的微分方程是3、曲率線網(wǎng)曲率線的微分方程為二次方程式，所以它確定了曲面上的兩族曲率線（每一點都有兩條），這兩族曲率線構(gòu)成的網(wǎng)稱為曲面上的曲率線網(wǎng)。注意：這個方程既是主方向的條件，也是曲率線的微分方程，前者是對曲線上一點而言，后者是對整條曲線而言。第九十三頁，共178頁。4、曲紋網(wǎng)為曲率線網(wǎng)的條件命題5：曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的充要條件是F=M=0。曲面上的每一點，兩個方向互相垂直，所以曲率線彼此不相切，行列式引進為新參數(shù)，則線為新的曲紋坐標(biāo)，這樣就使曲面上的曲率線網(wǎng)成了曲紋坐標(biāo)網(wǎng)。這個證明還說明曲面上的任何一個正規(guī)網(wǎng)都可以為曲紋坐標(biāo)網(wǎng)。第九十四頁，共178頁。3、6曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率一、主曲率定義：曲面上一點處主方向上的法曲率稱為曲面在此點的主曲率，也就是沿曲率線方向的法曲率.

由定義，主方向判別定理可寫為：對于曲率線有為主曲率，反之也成立?；颍呵嫔系那€為曲率線的充要條件是是主曲率。

二、歐拉公式1、在曲面S上選取曲率線網(wǎng)為曲紋坐標(biāo)網(wǎng)，則F=M=0，這時對于曲面上任一方向(d)，它的法曲率公式變?yōu)樘貏e沿u-線的主曲率為，v-線的為Ⅱ第九十五頁，共178頁。2、設(shè)為任意方向(d)和u-線方向之間的夾角，則這個公式稱為歐拉公式（Euler)第九十六頁，共178頁。3、兩點說明1）歐拉公式中只要知道了主曲率，則任意方向(d)的法曲率就可以用(d)和u-線的夾角確定。

2）歐拉公式是在臍點成立，但在臍點也成立，此時E/L=G/N

即任意方向的法曲率都相等。

第九十七頁，共178頁。三、主曲率的一個命題

曲面上的一點（非臍點）的主曲率是曲面在這點所有方向的法曲率中的最大值和最小值。證明：在非臍點，兩主曲率不相等，不妨設(shè)k1<k2，由歐拉公式同理有即即主曲率是這點所有方向的法曲率中的最大值和最小值。第九十八頁，共178頁。四、主曲率的一個計算公式

由主方向判別定理，沿主方向(d)有則兩邊分別與ru，rv作內(nèi)積即-Ldu-Mdv=-kN（Edu+Fdv）-Mdu-Ndv=-kN（Fdu+Gdv）整理得到關(guān)于du,dv的齊次方程，它有解的充要條件是

這就是主曲率的計算公式。也可用二次方程表示。第九十九頁，共178頁。五、高斯曲率和平均曲率

1、設(shè)k1,k2為曲面上一點的兩個主曲率，則它們的乘積k1k2稱為曲面在這點的高斯曲率（全曲率，總曲率），記為K，即K=k1k2。而k1,k2的平均數(shù)稱為曲面在這點的平均曲率（中曲率），用H表示，即H=1/2（k1+k2)。由韋達定理知2)若曲面用z=z(x,y)表示則3）例題6。第一百頁，共178頁。六、極小曲面1、極小曲面1)Plateau問題，1866年提出。2）平均曲率為零的曲面。第六節(jié)。2、研究狀況1）尋找極小曲面1774年歐拉找出懸鏈面，1860年Bonnet證明了它是旋轉(zhuǎn)面中唯一的極小曲面。1776年Meusniner,正螺面。1842年，Catala證明了它是直紋面中僅有的極小曲面。1834年，Scherk,z=log(cosy)-log(cosx)，他證明了它是平移曲面中唯一的極小曲面。第一百零一頁，共178頁。

2）系統(tǒng)研究的黃金時代1855-1890，提出、尋找。1930-1940，解決Plateau問題。方興未艾，極小子流形。

把計算機用于極小曲面論中（整體的），可以得到無數(shù)個極小曲面。經(jīng)典結(jié)論：有限型的極小曲面有三種：平面、正螺面、懸鏈面。

3）求出極小曲面是的曲面的一種：懸鏈面。例7。第一百零二頁，共178頁。3、7曲面在一點鄰近的結(jié)構(gòu)

一、橢圓點：，適當(dāng)選擇曲面的法向量可使主曲率全大于零，由第一章的結(jié)果，平面曲線在一點鄰近的近似方程為所以這里得到它的近似方程為，，它們都是拋物線，所以曲面在橢圓點鄰近的形狀近地等于橢圓拋物面。二、雙曲點

因此對應(yīng)于主方向k1（k2）的法截線朝法向量的反（正）側(cè)彎曲，它們在兩個主方向的近似形狀為：因此曲面在雙曲點的鄰近的形狀近似于雙曲拋物面。第一百零三頁，共178頁。三、拋物點

對于(1)，設(shè)k1<0，k2=0，對應(yīng)于主曲率的兩條法截線中有一條朝法向量的反向彎曲，另一個主方向是漸近方向，其中前一個是朝法向量的反向彎曲的拋物線，后一個為立方拋物線。P109圖。

對于平點來說L=M=N=0，因此這時主方向上的兩條法截線的形狀都近似于立方拋物線：第一百零四頁，共178頁。3、8高斯曲率的幾何意義

一、高斯映射(球面表示）1、定義2、在高斯映射下。平面的球面像是一個點，圓柱面的球面像是一個大圓，拋物面的球面像則是一個區(qū)域。3、高斯映射的表示：第一百零五頁，共178頁。二、曲面的第三基本形式1、定義：把的長度平方稱為曲面的第三基本形式，記為Ⅲ=實際上就是曲面的球面表示的第一基本形式。這里e,f,g叫做曲面的第三類基本量第一百零六頁，共178頁。2、第一、二、三基本形式的關(guān)系定理：曲面的三個基本量之間存在關(guān)系Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0。證明：取曲率線網(wǎng)為坐標(biāo)網(wǎng)，則有此時坐標(biāo)為曲率線，故ru，rv為主方向，對應(yīng)的主曲率分別為k1，k2，由主方向判別定理，因此得ⅡⅢ同時代入Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0Ⅱ第一百零七頁，共178頁。三、高斯曲率的幾何意義

1、命題7：曲面上P點鄰近的區(qū)域在單位球面上的表示為則有證明：其中積分區(qū)域為曲紋坐標(biāo)u,v的變化區(qū)域，而u,v同時為這兩個積分中的變數(shù)。由于分別是曲面和球面的法向量，而曲面上的單位法向量為球面上一點的向徑，同時出是球面上的法向量，因此它們平行，有由拉格朗日恒等式得到第一百零八頁，共178頁。所以應(yīng)用二重積分的中值定理，有其中KQ表示高斯曲率在區(qū)域中某一內(nèi)點Q的值。由此得到

高斯曲率的幾何意義是其絕對值為單位球面上的區(qū)域的面積與曲面上的對應(yīng)區(qū)域的面積之比，當(dāng)趨于P時的極限。

2、高斯曲率的符號的幾何意義：由所以當(dāng)K>0時，兩法向量同向，當(dāng)K<0時，兩法向量反向。第一百零九頁，共178頁。第四節(jié)直紋面與可展曲面第一百一十頁，共178頁。1、定義：由直線的軌跡所成的曲面稱為直紋面。直線為直母線。例如柱面，錐面，單葉雙曲面，正螺面等。

與直紋面上所有直母線相交的曲線叫直紋面的導(dǎo)線。2、直紋面的方程（1）設(shè)導(dǎo)線為，是過導(dǎo)線上一點處的直母線上的單位向量，則有：其中直紋面上一點P到導(dǎo)線上的點的距離為v。（2）坐標(biāo)曲線v-曲線，為直母線；u-曲線，為與導(dǎo)線平行的曲線。4、1直紋面第一百一十一頁，共178頁。

(3)幾種特殊的直紋面為常向量，任意母線的方向不變，為柱面。為常向量，任意母線過一定點，為錐面。為導(dǎo)線上的切向量，為一空間曲線的切線曲面

3、直紋面的法向量與高斯曲率

（1）由得

（2）當(dāng)P點在直紋面的一條直母線上移動時，u不變，v變，法向量變化如下：

a)，法向量改變方向.

b)，法向量不改變方向，即沿一條直母線有相同的法向量或切平面。第一百一十二頁，共178頁。（3）高斯曲率由因此對于情形a)有，K<0。b)有，K=0。

另外注意到直紋面上有直線，即直母線，則一定是直紋面的漸近線，即直紋面上的漸近曲線。第一百一十三頁，共178頁。

4、腰曲線定義:如圖M為直母線l,的公垂線，當(dāng)△u→0時垂足M沿直母線l趨向于極限位置M0，稱為直母線l上的腰點。腰點的軌跡為腰曲線。它的表示為特別地，當(dāng)取腰曲線為導(dǎo)線時，上式中的向徑就是，因此有，即它們垂直。第一百一十四頁，共178頁。二、可展曲面1、定義：稱滿足的直紋面為可展曲面。由前面的結(jié)論可知，這是情形（2），它沿一條直母線有同一個切平面，或沿一條直母線有同一法向量，因此，可展曲面是沿一條直母線有同一個切平面的直紋面。因此對于情形a)有，K<0。b)有，K=0。第一百一十五頁，共178頁。證明：對于可展曲面有，取腰曲線為導(dǎo)線，（1）當(dāng)，這時腰曲線退化成一點，所有直母線上的腰點為同一點，曲面為錐面。腰點即為錐面的頂點。方程為（2），由于，則三向量共面，且（3）為常向量，所有直母線平行，為柱面。2、命題1：每一個可展曲面或是柱面，或是錐面，或是一條曲線的切線曲面。第一百一十六頁，共178頁。3、單參數(shù)曲面族的包絡(luò)給出一個單參數(shù)曲面族…………（1）對于不同的參數(shù)有不同的曲面，并假定函數(shù)（1）有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。（1）定義：如果有一曲面S，它的每一點是族（1）中的一個曲面上的點，而且在S與的公共點它們有相同的切平面；反過來，對于族中的每一曲面，在曲面S上有一點P，使和S在P有相同的切平面，則稱S為單參數(shù)曲面族的包絡(luò)。（2）包絡(luò)面的方程現(xiàn)在假定曲面族{}的包絡(luò)S存在，由上面的定義，S上任意點P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而這個曲面由參數(shù)來確定，所以包絡(luò)面S上每一點對應(yīng)于的一個確定的值，因此為S上點的坐標(biāo)的函數(shù)，即代入（1）得第一百一十七頁，共178頁?！?2)對于S上的點，上式恒成立。其次，在包絡(luò)面S上任取一條曲線因為（c）上的點的坐標(biāo)滿足方程，所以對t求導(dǎo)得：……（3）在（c）上取一點，由于S和在P有相同的切平面，所以（c）在P的切線與在P的法線垂直，而切向量平行于對包絡(luò)面上的每條曲線都成立，由（c）的任意性有，否則，因此，即第一百一十八頁，共178頁。由上面的分析，曲面族的包絡(luò)面滿足方程組……（4）消去參數(shù)得關(guān)于x,y,z的三元方程，它表示一張曲面稱為曲面族的判別曲面。若假定在族中的曲面上的點和在包絡(luò)面上的點是正常點，則判別曲面就是包絡(luò)面S，這一點后面說明，先看一個例：例題：求平面族的包絡(luò)面方程。下面說明判別曲面就是S。第一百一十九頁，共178頁。首先可以這樣理解：對每一固定的，方程組（4）代表曲面和曲面的交線，而判別曲面是這些交線所產(chǎn)生的，因此，上的每一點決定一個值，而點的坐標(biāo)以及所對應(yīng)的值適合（4），但上面已經(jīng)得到包絡(luò)S上的每一點和它所對應(yīng)的值適合（4），因此S屬于。第一百二十頁，共178頁。(3)特征線包絡(luò)S與族中的曲面相切的曲線稱為特征線，因而當(dāng)固定時，（4）為特征線的方程，特征線的軌跡就是包絡(luò)，族中每曲面沿特征線切于包絡(luò)。再證屬于S。由于判別曲面上每一點都在族中某一曲面上，因此它的坐標(biāo)對的某個值滿足方程在判別曲面上取一條過P點的曲線（c）：代入（4）式第一式中，然后關(guān)于t求導(dǎo)，則有但由（4）第二式，所以即P點的法線和上曲線（c）的切向量垂直，由（c）的任意性，與在P點相切，這就說明了的點也是的點。因此，屬于S。所以第一百二十一頁，共178頁。（4）命題2：一曲面為可展曲面的充要條件是此曲面為單參數(shù)平面族的包絡(luò)。

證明：充分性：設(shè)單參數(shù)平面族為

則特征線方程為

它是平面與平面的交線，即為直線，所以這些特征線的軌跡為直紋面，即包絡(luò)面為直紋面，下證是可展的。由于包絡(luò)面沿特征線（現(xiàn)為直母線）與族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母線上所有點的公共切平面，即沿一條直母線有同一個切平面，按可展曲面的定義，它是可展的。第一百二十二頁，共178頁。必要性：設(shè)曲面可展。由于直紋面的坐標(biāo)曲線為直母線和與導(dǎo)線平行的曲線，所以對于可展曲面，它的直母線就是v線（u=常數(shù)），當(dāng)u變化時，得到v線族，所以可展曲面可以看成是由單參數(shù)u的直母線族所構(gòu)成的，即可展曲面的直母線族僅與單參數(shù)有關(guān)，而且經(jīng)過給定的母線，可引唯一的切平面，因此所有切于可展曲面的切平面也只與一個參數(shù)有關(guān)，這就是說可展曲面在它每一點處切于它的單參數(shù)平面族中的某一平面，即可展曲面是這個單參數(shù)平面族的包絡(luò)。第一百二十三頁，共178頁。4、命題3：一個曲面是可展的充分必要條件是高斯曲率為零。證明：如果曲面是可展的，則沿一條直母線的單位法向量保持不變，即為常向量，故。但零向量與任意向量共線，所以，由主方向判別定理，沿直母線的方向為主方向，并且直母線方向上的主曲率為0，于是有K=k1

k2=0。第一百二十四頁，共178頁。一個，曲面由這些曲線組成，所以曲面是一個單參數(shù)族的包絡(luò)面，因而是可展曲面。反之，若K=k1

k2=0，則兩主曲率至少有一為0，設(shè)k2=0，由于為主曲率，所以對應(yīng)的方向為主方向，但它又是法曲率，說明這個方向是漸近方向，所以這一族漸近線也是曲率線，由主方向判別定理，