靜態(tài)場及其邊值問題課件

第4章靜電場分析主要內(nèi)容：1.建立真空、電介質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)中電場的基本方程及電介質(zhì)的特性方程2.將靜電場的求解歸結(jié)為電位問題的求解，導(dǎo)出泊松方程和拉普拉斯方程3.靜電場問題在工程中的應(yīng)用：電容的計算，電場能量及靜電力的計算。1本章章節(jié)安排如下：4.1靜電場分析的基本變量4.2真空中靜電場的基本方程4.3電位4.4泊松方程4.5電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度4.6介質(zhì)中的高斯定律邊界條件4.7恒定電場分析4.8靜電場基本方程的應(yīng)用24.1靜電場分析的基本變量

靜電場是由靜止電荷(或恒定的電荷)產(chǎn)生的，所以電荷分布是靜電場的源變量。它是一種標(biāo)量性質(zhì)的源變量，因而靜電場是一種有散度的矢量場。

電場強(qiáng)度是場變量，它表示電場對帶電質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生作用的能力。

物理學(xué)知識告訴我們，任何物質(zhì)都是由分別帶正電荷(原子核)負(fù)電荷(電子)的粒子組成的，這些帶電粒子之間存在相互作用。當(dāng)物質(zhì)被引入電磁場時，它們將和電磁場產(chǎn)生相互作用而改變其狀態(tài)。從宏觀效應(yīng)看，物質(zhì)對電磁場的響應(yīng)可分為極化、磁化和傳導(dǎo)三種現(xiàn)象。不同物質(zhì)，其帶電粒子之間相互作用力往往差異很大。導(dǎo)體中，帶正電荷的原子核與帶負(fù)電荷的電子間的相互作用力小，即使在微弱的外電場下，電子也會發(fā)生定向移動。在這里，傳導(dǎo)是主要現(xiàn)象。電介質(zhì)的主要特征是電子和原子核結(jié)合得相當(dāng)緊密，電子被原子核3法拉第在19世紀(jì)40年代，利用他自己提出的電感應(yīng)線概念，從實(shí)驗(yàn)中得到：無界均勻介質(zhì)中，點(diǎn)電荷周圍的電位移另一方面實(shí)驗(yàn)又證明，在各向同性的材料內(nèi)，空間某處的和成正比為電介質(zhì)的介電常數(shù)，單位為F/m。所以，分析靜電場時，需要三個基本變量：一個源變量。兩個場變量和，除此外，還需要表示電介質(zhì)材料特性的參數(shù)，一般稱為材料的特性方程或本構(gòu)關(guān)系式。54.2真空中靜電場的基本方程分析求解電磁問題時，可分兩種方法：積分方程法和微分方程法。不管用什么方法，由矢量場分析的角度看，都必定涉及到矢量在閉合面上的通量特性和矢量在閉合回路上的環(huán)流量特性，所得方程式稱為場的基本方程的積分形式。真空中靜電場的基本方程為(1)(2)(1)式稱為真空中的高斯定律。它表明基本變量在閉合面S的通量特性；(2)式稱為靜電系統(tǒng)的守恒定理，它表明基本變量在閉合回路上的環(huán)流量特性，說明靜電場是一種守恒性的矢量場。6真空中靜電場空間電介質(zhì)特性方程為(3)立體角：若ds為半徑為R的球面上的任一面元，則ds可構(gòu)成一個以球心為頂點(diǎn)的錐體，取ds與R2的比值定義為ds對球心所張的立體角。用表示。單位Sr(球面度)若ds不是球面元，則它對o點(diǎn)所張的立體角為：以o點(diǎn)為球心，o點(diǎn)到ds的距離R為半徑作一球面，取ds在球面上的投影與R2的比值，即為面元ds對o點(diǎn)所張的立體角。ROds7若無界真空中有一個點(diǎn)電荷，則是面元ds對點(diǎn)q所張的立體角，整個積分是閉合面對點(diǎn)q所張的立體角，因此9Q在閉合面內(nèi)Q不在閉合面內(nèi)如果無界真空中有N個點(diǎn)電荷q1,q2,…,qk,qk+1,…,qN,而此閉合面s內(nèi)有q1,q2,…,qk,則閉合面s上的通量為10當(dāng)電荷以體密度分布時，所以此即高斯定律的微分形式。11說明靜電場是無旋場，一定為保守場?？偨Y(jié)真空中靜電場的基本方程當(dāng)已知時，通過，聯(lián)立求解上述兩個矢量方程就能求得。因?yàn)楦鶕?jù)亥姆霍茲定理，只有在給定矢量場的散度方程與旋度方程的條件下，才能唯一地確定此矢量場。但當(dāng)電荷分布具有一定的對稱性時，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使13或只有一個坐標(biāo)分量，且僅是該坐標(biāo)變量的函數(shù)，則成立。因此只要求解(或)，就能得到場解。14**利用高斯定理計算電場強(qiáng)度

在電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定理計算電場強(qiáng)度。

具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解：

球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。帶電球殼多層同心球殼均勻帶電球體aOρ015例1電荷按體密度分布于一個半徑為a的球形區(qū)域內(nèi)，其中為常數(shù)。試計算球內(nèi)外的電通密度。解：電場明顯具有球面對稱性，沿半徑方向且大小只是r的函數(shù)。球的電荷總量為當(dāng)，以球心到場點(diǎn)的距離為半徑作一球面（高斯面），應(yīng)用高斯定律的積分形式，得17當(dāng)時，應(yīng)用高斯定律得18例2計算均勻電荷面密度為的無限大平面的電場。解：由于均勻面電荷發(fā)出的電通密度垂直于無限大平面，取一個柱形閉合面，左右底面積與電荷平面平行且等距；側(cè)面垂直于電荷平面，則根據(jù)高斯定律用矢量表示時，為Z>0Z<019在a<r<b區(qū)域有在r>b的區(qū)域有(2)欲使r>b處，應(yīng)有21例4.有一半徑為a的球形電荷分布，球內(nèi)外的介電常數(shù)，已知球體內(nèi)的求（1）球內(nèi)電荷分布（2）球體外的電場強(qiáng)度解:(1)利用高斯定律22(2)232.電位差兩端點(diǎn)乘，則有將上式兩邊從點(diǎn)A到點(diǎn)B沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明

A、B兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從A點(diǎn)移至B點(diǎn)所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。電位差也稱為電壓，可用U表示。

電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。A、B兩點(diǎn)間的電位差25靜電位不唯一，可以相差一個常數(shù)，即選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零電位確定值(電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值

選擇電位參考點(diǎn)的原則

應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。

同一個問題只能有一個參考點(diǎn)。3.電位參考點(diǎn)

為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即26

例4.3.1

求電偶極子的電位.

解

在球坐標(biāo)系中用二項(xiàng)式展開，由于，得代入上式，得

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。+q電偶極子zod－q29將和代入上式，解得E線方程為

由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度等位線電場線電偶極子的場圖

矢量線微分方程：

等位線方程：30解

采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與z

軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對稱性，電位與無關(guān)。在帶電線上位于處的線元，它到點(diǎn)的距離，則

例4.3.2

求長度為2L、電荷線密度為的均勻帶電線的電位。31xyzL-L32在上式中若令，則可得到無限長直線電荷的電位。當(dāng)時，上式可寫為當(dāng)時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇r=a

的點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則有33例4.3.3證明導(dǎo)體表面的電荷密度與導(dǎo)體外的電位函數(shù)有如下關(guān)系其中是電位對表面外法線方向的導(dǎo)數(shù)。證明：由物理學(xué)知識可知：帶電導(dǎo)體內(nèi)靜電場為零，導(dǎo)體是一個等位體，電荷分布在導(dǎo)體的表面。在導(dǎo)體表面作一柱形閉合面，兩底面分別位于表面兩側(cè)，高。由于相當(dāng)小，可以認(rèn)為上各點(diǎn)的值相同。在計算此閉合面上的電通量時，考慮到導(dǎo)體表面內(nèi)側(cè)上沒有電通量，表面外的電場與表面垂直，即或,因此根據(jù)高斯定律有34即若導(dǎo)體內(nèi)充滿介電常數(shù)為的電介質(zhì)，則導(dǎo)體表面的面電荷與表面處的電通密度或電場強(qiáng)度之間的關(guān)系為354.4泊松方程拉普拉斯方程在無界空間內(nèi)，已知場源電荷分布時，可根據(jù)場源積分法，算出電位和電場強(qiáng)度。但靜電問題不僅僅涉及已知電荷分布且沒有邊界的情況，在很多情況下，我們遇到的問題都涉及到有限空間區(qū)域。在有限區(qū)域內(nèi)可以有電荷，也可以沒有電荷，但在有限區(qū)域的邊界上都具有一定的邊界條件。在這些給定邊界條件下求解有限區(qū)域內(nèi)場的問題，稱為邊值問題。所以，求解靜電場邊值問題時，需要確定兩個條件1)電位所滿足的方程2)邊界條件。36電位泊松方程在無源區(qū)域，拉普拉斯方程拉普拉斯算符4.4.1泊松方程拉普拉斯方程374.4.2邊值問題類型不管是求泊松方程還是拉普拉斯方程，都需要一定的邊界條件，如電荷分布，電位及電位法向?qū)?shù)等，這些都叫邊界條件。靜電場的邊值問題就是在給定邊界條件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。這種求解稱為偏微分方程。在場域V的邊界面S上給定的邊界條件有以下三種類型，相應(yīng)地把邊值問題分為三類：①第一類邊界條件是已知位函數(shù)在場域邊界面S上各點(diǎn)的值，即給定這類問題稱為第一類邊值問題或狄里赫利問題；38②第二類邊界條件是已知位函數(shù)在場域邊界面S上各點(diǎn)的法向?qū)?shù)值，即給定這類問題稱為第二類問題或紐曼問題；③第三類邊界條件是已知一部分邊界面S1上位函數(shù)的值，而在另一部分邊界面上S2已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即給定這里S1+S2=S。這類問題稱為第三類邊值問題或混合邊值問題。如果場域延伸到無限遠(yuǎn)處，還必須給出無限遠(yuǎn)處的邊界條件。對于源分布在有限區(qū)域的情況，在無限遠(yuǎn)處的位函數(shù)應(yīng)為有限值，39即給出稱為自然邊界條件。此外，若在整個場域內(nèi)同時存在幾種不同的均勻介質(zhì)，則位函數(shù)還應(yīng)滿足不同介質(zhì)分界面上的邊界條件。404.4.3唯一性定理唯一性定理是邊值問題的一個重要定理，表述為：在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V內(nèi)具有唯一解。采用反證法證明。設(shè)在邊界面S包圍的場域V內(nèi)有兩個函數(shù)和都滿足泊松方程，即令，則在場域V內(nèi)41由于將上式在整個場域V上積分并利用散度定理，有對第一類邊值問題，在整個邊界面S上對第二類邊值問題，在整個邊界面S上42對第三類邊值問題，在邊界面的S1部分上在邊界面的S2部分上無論哪一類邊值問題，都將使這表明在整個場域V內(nèi)43對第一類邊值問題，由于在邊界面S上所以C=0。故在整個場域V內(nèi)有對第二類邊值問題，若與取同一個參考點(diǎn)，則在參考點(diǎn)處在所以C=0。故在整個場域V內(nèi)有。對第三類邊值問題，由于，所以C=0，故在整個場域V內(nèi)也有。44唯一性定理具有非常重要的意義，首先，它指出了靜態(tài)場邊值問題具有唯一解的條件，在邊界面S上的任一點(diǎn)只需給定或的值，而不能同時給定兩者的值。其次，唯一性定理也為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)，為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)。根據(jù)唯一性定理，在求解邊值問題時，無論采用什么方法，只要求出的位函數(shù)既滿足相應(yīng)的泊松方程（或拉普拉斯方程），又滿足給定的邊界條件，則函數(shù)就是所求出的唯一正確解。45例4.4.1兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為的均勻電荷分布。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。obaxy解：在兩塊無限大接地導(dǎo)體板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程46方程的解為利用邊界條件，得47于是有由此解得到最后得48494.5電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度4.5.1電介質(zhì)的極化任何物質(zhì)的分子都是由原子組成的，而原子都是由帶正電的原子核和帶負(fù)電的電子組成，整個分子中電荷的代數(shù)和為零。在遠(yuǎn)離分子的地方，分子中全部負(fù)電荷的影響可以用一個負(fù)的點(diǎn)電荷等效，這個等效負(fù)電荷的位置稱為這個負(fù)電荷的中心。同樣，分子中全部正電荷也可以用一個正的點(diǎn)電荷等效，這個等效正點(diǎn)電荷的位置稱為這個分子正電荷的中心。當(dāng)沒有外電場時，如果電介質(zhì)分子中正負(fù)電荷的中心是重合的，這類電介質(zhì)稱為無極分子電介質(zhì)；如果電介質(zhì)分子中正負(fù)電荷的中心不重合，這類電介質(zhì)稱為有極分子電介質(zhì)；有極分子電介質(zhì)50在沒有外電場時，無極分子電介質(zhì)的分子中沒有電矩。加上外電場，在電場力的作用下，每個分子中的正負(fù)電荷中心被拉開一定距離，形成一個電偶極子，分子電矩的方向沿外電場的方向。外電場越強(qiáng)，每個分子中的正負(fù)電荷的中心被拉開的距離越大，一定體積中分子電矩的矢量和也越大。無極分子的這種極化機(jī)理稱為位移極化。在沒有外電場時，雖然有極分子電介質(zhì)中每一個分子都具有固有電偶極矩，但由于分子的不規(guī)則熱運(yùn)動，分子電矩的排列是雜亂無章的，在任一體積中，所有分子電矩的矢量和為零。加上外電場，分子電偶極矩的取向趨于電場方向，于是一定體積中分子電矩的矢量和就不再為零，有極分子的這種極化機(jī)理稱為取向極化。中正負(fù)電荷的中心錯開一定的距離，形成一個電偶極矩，稱為分子的固有電矩。51無極分子有極分子無外加電場無極分子有極分子有外加電場E無論是無極分子電介質(zhì)，還是有極分子電介質(zhì)，在外電場中被極化，均勻電介質(zhì)內(nèi)部的電荷相互抵消，一個端面上出現(xiàn)正電荷，另一個端面上出現(xiàn)負(fù)電荷，這就是極化電荷。極化電荷與導(dǎo)體中的自由電荷不同，不能自由運(yùn)動，也稱為束縛電荷。52電介質(zhì)極化的結(jié)果是電介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)許許多多順著外電場方向排列的電偶極子，這些電偶極子產(chǎn)生的電場將改變原來的電場分布。可以這樣說，電介質(zhì)對電場的影響可歸結(jié)為極化電荷產(chǎn)生的附加電場的影響。因此，電介質(zhì)內(nèi)的電場強(qiáng)度可視為自由電荷產(chǎn)生的外電場與極化電荷產(chǎn)生的附加電場的疊加，即。為了分析計算極化電荷產(chǎn)生的附加電場，需了解電介質(zhì)的極化特性。不同的電介質(zhì)的極化程度是不一樣的，為此引入極化強(qiáng)度來描述電介質(zhì)的極化程度。將單位體積中的電偶極矩的矢量和稱為極化強(qiáng)度，表示為53

——體積△V中第i個分子的平均電偶極矩

(C/m2)54的物理意義：單位體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和。

極化強(qiáng)度與電場強(qiáng)度有關(guān)，其關(guān)系一般比較復(fù)雜。在線性、各向同性的電介質(zhì)中，與電場強(qiáng)度成正比，即

——電介質(zhì)的電極化率

極化強(qiáng)度是一個宏觀矢量函數(shù)。若電介質(zhì)的某區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的相同，則該區(qū)域是均勻極化的，否則就是非均勻極化的。55在均勻極化的狀態(tài)下，閉合面S內(nèi)的電偶極子的凈極化電荷為零，不會出現(xiàn)極化電荷的體密度分布。對于不均勻極化狀態(tài)，電介質(zhì)內(nèi)部的凈極化電荷不為零。但在電介質(zhì)的表面，不論是均勻極化還是非均勻極化，介質(zhì)表面(兩介質(zhì)分界面)上一定有束縛電荷的面積分布。4.5.2極化電荷與極化強(qiáng)度的關(guān)系(1)極化電荷體密度E

S

在電介質(zhì)中的任一閉合面S上取一個面積元，其法向單位矢量為。以為底、為斜高構(gòu)成一個體積元。顯然，只有電偶極子中心在內(nèi)的分子的正電荷才穿出面積元。56因此，從S穿出的正電荷為。留在S內(nèi)的極化電荷為(2)

極化電荷面密度

緊貼電介質(zhì)表面取如圖所示的閉合面，從該閉合面穿出的極化電荷就是電介質(zhì)表面上的極化電荷。故得電介質(zhì)表面的極化電荷面密度為設(shè)電介質(zhì)單位體積中的分子數(shù)為N，則穿出面積元的正電荷為574.5.3電介質(zhì)的分類(1)線性和非線性介質(zhì)極化強(qiáng)度是電場強(qiáng)度的函數(shù)，，的各分量可由電場強(qiáng)度的各分量的冪級數(shù)表示，在直角坐標(biāo)系中有如果電介質(zhì)的極化強(qiáng)度的各分量只與電場強(qiáng)度的各分量的一次項(xiàng)有關(guān)，與高次項(xiàng)無關(guān)，且的各分量與的各分量成線性關(guān)系，這種介質(zhì)稱為線性介質(zhì)，否則即為非線性介質(zhì)。在直角坐標(biāo)系中，線性介質(zhì)的各分量與的各分量之間的關(guān)系可以用矩陣式（式1）58表示為（2）各向同性與各向異性介質(zhì)如果電介質(zhì)內(nèi)部某點(diǎn)的物理特性在所有方向上都相同，與外加電場的方向無關(guān)，這種介質(zhì)稱為各向同性介質(zhì)，否則稱為各向異性介質(zhì)。對于各向同性介質(zhì)，上式中比例系數(shù)與電場方向無關(guān)，即，極化強(qiáng)度和電場強(qiáng)度的關(guān)系可表示為（式2）(式3)其中比例系數(shù)稱為電介質(zhì)的極化率。對于線性介質(zhì)，是與無關(guān)的常數(shù)。59即極化強(qiáng)度矢量與電場強(qiáng)度矢量方向相同。對于線性、各向同性電介質(zhì)，式3中的是與無關(guān)的常數(shù)。（3）均勻介質(zhì)和非均勻介質(zhì)如果電介質(zhì)內(nèi)的介電常數(shù)處處相同，與空間位置無關(guān)，即則稱這種介質(zhì)為均勻介質(zhì)，否則為非均勻介質(zhì)。本書重點(diǎn)討論線性、各向同性的均勻電介質(zhì)中電場的特性，滿足如下的關(guān)系604.6介質(zhì)中的高斯定律邊界條件

介質(zhì)的極化過程包括兩個方面：外加電場的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；極化電荷反過來激發(fā)電場，兩者相互制約，并達(dá)到平衡狀態(tài)。無論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場，服從同樣的庫侖定律和高斯定理。介質(zhì)中的電場應(yīng)該是外加電場和極化電荷產(chǎn)生的電場的疊加，將真空中的高斯定理延伸到介質(zhì)中，可寫為自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結(jié)果4.6.1介質(zhì)中的高斯定律61將極化電荷體密度表達(dá)式代入，有引入電位移矢量（單位：C/m2)則有

其積分形式為

任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和

小結(jié)：靜電場是有源無旋場，電介質(zhì)中的基本方程為

（微分形式），

（積分形式）

62在這種情況下其中稱為介質(zhì)的介電常數(shù)，稱為介質(zhì)的相對介電常數(shù)（無量綱）。4.6.2電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系極化強(qiáng)度與電場強(qiáng)度之間的關(guān)系由介質(zhì)的性質(zhì)決定。對于線性各向同性介質(zhì)，

和

有簡單的線性關(guān)系634.6.3介質(zhì)中的電位方程電位泊松方程在介質(zhì)空間內(nèi)，拉普拉斯方程拉普拉斯算符644.6.4邊界條件不同介質(zhì)的分界面上總有束縛電荷的面積分布，這些電荷要影響場的分布，使電場在越過分界面時引起階躍變化，使得分界面兩側(cè)的值不同，因此把分界面兩側(cè)場變量之間的關(guān)系稱為介質(zhì)交界面上的邊界條件。介質(zhì)交界面上的邊界條件只能由基本方程的積分形式導(dǎo)出。把分界面上的場變量分解為平行于分界面的分量（切向分量）和垂直于分界面上的分量（法向分量），分界面的法向正方向?yàn)榻橘|(zhì)2指向介質(zhì)1。65媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS(1)的邊界條件在兩種媒質(zhì)的交界面上任取一點(diǎn)P，作一個包圍點(diǎn)P的扁平圓柱曲面S，如圖表示。令Δh→0，則由即分界面上的自由電荷面密度當(dāng)分界面上無自由電荷時，則有66由和若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：常數(shù)，67媒質(zhì)1媒質(zhì)2在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示的小環(huán)路，令Δh

→0，則由取回路包圍的矩形面積的法向單位矢量為s,則有(2)的邊界條件68即在不同介質(zhì)分界面上電場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離Δl→0時媒質(zhì)2媒質(zhì)169介質(zhì)2介質(zhì)1

在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為

或

場矢量的折射關(guān)系

導(dǎo)體表面的邊界條件70例4.6.1平行板電容器由兩塊面積為S，相隔距離為d的平行導(dǎo)體板組成，極板間填充介電常數(shù)為ε的電介質(zhì)，求電容量.（見圖3.9.2）解：極板間電壓為U，忽略邊緣效應(yīng)，則拉普拉斯方程為利用邊界條件得+++------+++xozUd71由導(dǎo)體和介質(zhì)間的邊界條件可得，上、下極板間的面電荷密度分別為和，其中所以，極板間所帶電量故電容量72例4.6.2同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，其間充滿相對介電常數(shù)為的介質(zhì)，當(dāng)外導(dǎo)體接地，內(nèi)導(dǎo)體電壓為U0時，求（1）介質(zhì)中的電場強(qiáng)度和電通密度；（2）介質(zhì)中的極化電荷分布；（3）同軸線單位長度的電容。ab解:(1)設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度的線電荷密度為ρl，由高斯定理得73由內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差(2)74r=b處的r=a處的75(3)76電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：4.8.1導(dǎo)體系統(tǒng)的電容及部分電容在電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁路、選頻等作用。通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜電路。在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。4.8靜電場基本方程的應(yīng)用77電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)儲存電荷能力的物理量。孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位的比值，即1.電容孤立導(dǎo)體的電容兩個帶等量異號電荷（q）的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。78(1)假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q和－q；

計算電容的方法一：(4)求比值，即得出所求電容。(3)由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；(2)計算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E；

計算電容的方法二：(1)假定兩電極間的電位差為U；(4)由得到

;(2)計算兩電極間的電位分布

；(3)由得到E;

(5)由 ，求出導(dǎo)體的電荷q；(6)求比值，即得出所求電容。79

解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q

，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時，

例4.8.1同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容80

例4.8.2如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長度的電容。

解

設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為和。由于，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P的電場強(qiáng)度為兩導(dǎo)線間的電位差故單位長度的電容為81

例4.8.3同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差

解

設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為故得同軸線單位長度的電容為同軸線82＊2.部分電容

在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時，必須把電容的概念加以推廣，引入部分電容的概念。

在由N個導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為式中：——自電位系數(shù)——互電位系數(shù)（1）電位系數(shù)83

αij在數(shù)值上等于第i個導(dǎo)體上的總電量為一個單位、而其余導(dǎo)體上的總電量都為零時，第j個導(dǎo)體上的電位，即

αij只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；

具有對稱性，即αij=αji。

αij>

0；

電位系數(shù)的特點(diǎn)：84若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為

式中：——自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù)

——互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù)

（2）電容系數(shù)85

βij在數(shù)值上等于第

j個導(dǎo)體上的電位為一個單位、而其余導(dǎo)體接地時，第i個導(dǎo)體上的電量，即

βij只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；

具有對稱性，即βij=βji。

βii>

0、；

電容系數(shù)的特點(diǎn)：86將各導(dǎo)體的電量表示為

式中：（3）部分電容——導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間的部分電容——導(dǎo)體i與地之間的部分電容

87

Cii在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個單位時，第i個導(dǎo)體上的電量；

Cij只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；

具有對稱性，即Cij=Cji。

Cij>

0；

Cij在數(shù)值上等于第j個導(dǎo)體的電位為一個單位、其余導(dǎo)體都接地時，第i個導(dǎo)體上的電量；

部分電容的特點(diǎn)：88在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個導(dǎo)體作為電容器的兩個電極，設(shè)在這兩個電極間加上電壓U，極板上所帶電荷分別為，則比值稱為這兩個導(dǎo)體間的等效電容。（4）等效電容如圖所示，有三個部分電容導(dǎo)線1和2間的等效電容為導(dǎo)線1和大地間的等效電容為導(dǎo)線2和大地間的等效電容為12大地大地上空的平行雙導(dǎo)線89

如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。

靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。

靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有能量。任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立(或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。4.8.2靜電場的能量

901.靜電場的能量

設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為q、電位為。充電過程中某一時刻的電荷量為αq、電位為α。(0≤α≤1)當(dāng)α增加為(α+dα)時，外電源做功為:α

(qdα)。對α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為q的帶電體具有的電場能量We

，即

對于電荷體密度為ρ的體分布電荷，體積元dV中的電荷ρdV具有的電場能量為91故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，電場能量為對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有——第i個導(dǎo)體所帶的電荷——第i個導(dǎo)體的電位式中：922.電場能量密度

從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。

電場能量密度：

電場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有93

例4.8.4

半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場能量。

解：方法一，利用計算根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度故94

方法二：利用計算先求出電位分布故95

已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計算靜電力。虛位移法：假設(shè)第i個帶電導(dǎo)體在電場力Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功dA＝Fidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。

具體計算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。4.8.5靜電力961.各帶電導(dǎo)體的電位不變此時，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則

dWS＝0，因此2.各帶電導(dǎo)體的電荷不變式中的“－”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實(shí)現(xiàn)的。不變q不變97解：電容器內(nèi)的電場能量為由可求得介質(zhì)片受到的靜電力為部分填充介質(zhì)的平行板電容器dbU0lx例4.8.5有一平行金屬板電容器，極板面積為l×b，板間距離為d，用一塊介質(zhì)片（寬度為b、厚度為d，介電常數(shù)為ε）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設(shè)極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)片所受的靜電力。由于ε>ε0，所以介質(zhì)片所受到的力有將其拉進(jìn)電容器的趨勢98

平行板電容器的電容為99此題也可用式來計算q不變設(shè)極板上保持總電荷q不變，則由此可得由于同樣得到1004.7導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析

本節(jié)內(nèi)容4.7.1恒定電場的基本方程和邊界條件4.7.2恒定電場與靜電場的比擬4.7.3漏電導(dǎo)101導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：（1）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。（2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。

恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。4.7.1恒定電場的基本方程和邊界條件1021.基本方程

恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式：

恒定電場的基本場矢量是電流密度和電場強(qiáng)度線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷1032.恒定電場的邊界條件場矢量的邊界條件即即導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場矢量的折射關(guān)系媒質(zhì)2媒質(zhì)1104電位的邊界條件恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；

說明：105媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1

如、且2≠90°，則1＝0，即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為等位面；

若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即

＝0，則

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即導(dǎo)體中的電流和電場與分界面平行。1064.7.2恒定電場與靜電場的比擬

如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。靜電場恒定電場107恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量靜電場恒定電場108

例4.7.1一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、和2、，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。

解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。上極板表面的自由電荷密度為下極板表面的自由電荷密度為109介質(zhì)交界面上的自由電荷密度為110

例4.7.2

填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1和2

、電導(dǎo)率為

和。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)2介質(zhì)1111

（1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I,則由可得電流密度介質(zhì)中的電場

解電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由求出電流密度的表達(dá)式，然后求出和，再由確定出電流I。112故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為由于于是得到113（2）由可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為114

工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U時，必定會有微小的漏電流J存在。漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即4.7.3漏電導(dǎo)115(1)假定兩電極間的電流為I；

計算兩電極間的電流密度矢量J；

由得到E

;

由，求出兩導(dǎo)體間的電位差；(5)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計算電導(dǎo)的方法一：

計算電導(dǎo)的方法二：(1)假定兩電極間的電位差為U；(2)計算兩電極間的電位分布

；(3)由得到E;(4)由

得到J;(5)由 ，求出兩導(dǎo)體間電流；(6)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：116例4.7.3求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度為l

，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為ε。解：直接用恒定電場的計算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I

。117方程通解為

例4.7.4在一塊厚度為h

的導(dǎo)電板上，由兩個半徑為r1和r2的圓弧和夾角為

0的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計算沿方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為。解：設(shè)在沿方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿

方向流動，而且電流密度是隨

變化的。但容易判定電位只是變量的函數(shù)，因此電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程代入邊界條件可以得到環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr20σ118電流密度兩電極之間的電流故沿方向的兩電極之間的電阻為所以119第五章恒定磁場分析主要內(nèi)容：(1)建立真空及磁介質(zhì)內(nèi)恒定磁場的基本方程以及磁介質(zhì)的特性方程(2)引入矢量位，將恒定磁場的求解歸結(jié)為矢量位的求解(3)確立磁場的邊界條件(4)在特定條件下引入標(biāo)量位求解磁場的邊值問題(5)恒定磁場在工程中的應(yīng)用120本章章節(jié)安排如下

5.1恒定磁場分析的基本變量5.2真空中恒定磁場的基本方程5.3

恒定磁場的矢量磁位

5.4物質(zhì)的磁化，磁化強(qiáng)度

5.5磁介質(zhì)中磁場的基本方程

5.6磁介質(zhì)分界面上的邊界條件5.7恒定磁場在工程中的應(yīng)用

1215.1恒定磁場分析的基本變量首先，恒定磁場的源變量是恒定電流密度矢量。它是一種矢性源變量，故它所產(chǎn)生的磁場必定是有旋度的矢量場。其次，恒定磁場還有兩個基本的場變量。第一個場變量是磁通密度。磁通量和磁通密度（）由法拉第首先提出，并利用它們建立了電磁感應(yīng)定律。法拉第提出的磁通密度就是安培定義的磁感應(yīng)強(qiáng)度，即；第二個場變量是磁場強(qiáng)度，用表示,單位為A/m。它表示磁場對電流或永久磁鐵具有作用的能力。和的大小可由下式推出：從安培力定律求得，無界真空中電流元產(chǎn)生的磁場對另一個電流的安培力為122若兩電流元位于無界均勻磁介質(zhì)材料空間內(nèi)，則調(diào)節(jié)兩個電流元的方位使它們位于同一平面內(nèi)又互相平行，則由此定義磁場強(qiáng)度為123寫成一般矢量表示式那么任一閉合的直流回路產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度為根據(jù)已學(xué)過的磁感應(yīng)強(qiáng)度的公式可以知道，無界真空中兩個基本的場變量間的關(guān)系為1245.2真空中恒定磁場的基本方程真空中恒定磁場的基本方程有兩個安培環(huán)路方程磁通連續(xù)性方程1磁通連續(xù)性方程的證明在直流回路C的磁場中任意取一閉合面S，則S上的磁通量為125126所以2安培環(huán)路方程的證明磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場是無源場，磁感應(yīng)線是無起點(diǎn)和終點(diǎn)的閉合曲線。磁通是連續(xù)的，磁感應(yīng)強(qiáng)度對任意閉合面的積分恒為0。但對任意閉合曲線的線積分并不處處為0，磁感應(yīng)線是套鏈在閉合載流回路上的閉合線。若取磁感應(yīng)強(qiáng)度沿磁感應(yīng)線的環(huán)路積分，則因與的夾角，故在每條線上，從而安培環(huán)路定理就是反應(yīng)磁感應(yīng)線這一特點(diǎn)的。127安培環(huán)路定理表述如下：在真空中，恒定磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任何閉合曲線的線積分值等于曲線包圍的電流與真空磁導(dǎo)率的乘積，即為簡單起見，我們用無限長載流直導(dǎo)線的場加以驗(yàn)證。在真空中位于z軸上的無限長直導(dǎo)線，載流為I時，離導(dǎo)線r遠(yuǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為若取路徑C為圓心在軸線上、半徑為r的圓，亦即矢量線圈，則128若取積分路徑C為任意曲線，如5-1（a）所示，在圓柱坐標(biāo)系中，有若路徑C沒有包圍電流，如圖5-1（b）所示，則129可見安培環(huán)路定理已得到證實(shí)。在此基礎(chǔ)上運(yùn)用疊加定理，即可解決多個載流回路的情形，如圖5-1（c）所示，則即包圍的總電流值為各電流的代數(shù)和。130由斯托克斯定理及電流定義式得131安培環(huán)路定理表明：恒定磁場是有旋場，是非保守場、電流是磁場的漩渦源。微分形式:積分形式:因此，真空中磁場的基本方程為本構(gòu)關(guān)系：當(dāng)電流分布具有某些特殊對稱性時，可以只用一個基本方程求磁場強(qiáng)度，而無需散度方程。132例5-1半徑為a的無限長直導(dǎo)體通有電流I，計算導(dǎo)體內(nèi)外的基本場變量。解：根據(jù)基本方程得此回路積分等于C包圍的電流，在的圓柱內(nèi)，包圍的電流為因此有133當(dāng)r>a時，積分回路包圍的電流為I，134

矢量磁位的定義

磁矢位的任意性與電位一樣，磁矢位也不是唯一確定的，它加上任意一個標(biāo)量的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。矢量磁位或稱磁矢位

5.3恒定磁場的矢量磁位135

磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表達(dá)式在直角坐標(biāo)系中，因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系中136所以上式可分解為三個分量的泊松方程137（可以證明滿足）對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為

利用磁矢位計算磁通量：細(xì)線電流：面電流：138

例5.3.1求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a

，回路中的電流為I

。

解如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與無關(guān)，計算xOz平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。小圓環(huán)電流aIxzyrRθIPO139對于遠(yuǎn)區(qū)，有r>>a，所以由于在=0面上，所以上式可寫成于是得到140式中S=πa

2是小圓環(huán)的面積。載流小圓環(huán)可看作磁偶極子，為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則或141

解：先求長度為2L的直線電流的磁矢位。電流元到點(diǎn)的距離。則

例5.3.2求無限長線電流I

的磁矢位，設(shè)電流沿+z方向流動。xyzL-L142與計算無限長線電荷的電位一樣，令可得到無限長線電流的磁矢位143例5-5雙導(dǎo)線傳輸線可以視為方向相反的平行直線電流，設(shè)線間距為2a，求它的和。解：根據(jù)例5-4的結(jié)論得1441455.4物質(zhì)的磁化磁化強(qiáng)度1.磁介質(zhì)的磁化無外加磁場外加磁場B

介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運(yùn)動形成分子電流，每個分子電流相當(dāng)于一個磁偶極矩?zé)o外磁場作用時，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。在外磁場作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介質(zhì)的磁化。1462.磁化強(qiáng)度矢量B磁化強(qiáng)度是描述磁介質(zhì)磁化程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即單位為A/m。1473.磁化電流BC磁介質(zhì)被磁化后，在其內(nèi)部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流。（1）磁化電流體密度

考察穿過任意圍線C所圍曲面S的電流。只有那些環(huán)繞周界圍線C的分子電流才對磁化電流IM有貢獻(xiàn)。在圍線C上取任一線元dl，其方向與分子磁矩的方向成θ角，以dl為軸線、S為底作一柱體，凡中心在此柱體內(nèi)的分子環(huán)流都穿過dl。穿過曲面S的磁化電流為148由，即得到磁化電流體密度在緊貼磁介質(zhì)表面取一長度元dl，與此交鏈的磁化電流為（2）磁化電流面密度則即的切向分量1495.5磁介質(zhì)中磁場的基本方程

分別是傳導(dǎo)電流密度和磁化電流密度。

將極化電荷體密度表達(dá)式代入，有外加磁場使介質(zhì)發(fā)生磁化，磁化導(dǎo)致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應(yīng)強(qiáng)度，兩種電流相互作用達(dá)到平衡，介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)是所有電流源激勵的結(jié)果：定義磁場強(qiáng)度為：150則得到介質(zhì)中的安培環(huán)路定理為：磁通連續(xù)性定理為小結(jié)：恒定磁場是有源無散場，磁介質(zhì)中的基本方程為

（積分形式）

（微分形式）151其中，稱為介質(zhì)的磁化率（也稱為磁化系數(shù)）。其中稱為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，稱為介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率（無量綱）。順磁質(zhì)抗磁質(zhì)鐵磁質(zhì)磁介質(zhì)的分類

磁化強(qiáng)度

和磁場強(qiáng)度

之間的關(guān)系由磁介質(zhì)的物理性質(zhì)決定，對于線性各向同性介質(zhì)，與之間存在簡單的線性關(guān)系：1525.6磁介質(zhì)分界面上的邊界條件無界的介質(zhì)空間中場的基本變量和是連續(xù)可導(dǎo)的，當(dāng)遇到分界面時，由于分界面上一般都存在著磁化面電流，因此和在經(jīng)過分界面時要發(fā)生突變。1.場變量的法向分量的邊界條件在分界面上取一小的柱形閉合面，兩底面分別位于介質(zhì)兩側(cè)，高△h為無窮小量。由磁通連續(xù)性可得媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS即分界面上的法向分量是連續(xù)的。153媒質(zhì)1媒質(zhì)2（2）場變量的切向邊界條件在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示的小環(huán)路，令Δh

→0，則由154如果交界面上沒有自由的表面電流，則3.磁介質(zhì)分界面上的折射關(guān)系如果磁介質(zhì)交界面上沒有自由的面電流，并且位于交界面兩側(cè)的介質(zhì)各向同性，則兩介質(zhì)中矢量與法線n的夾角和之間的關(guān)系為若介質(zhì)1是空氣，介質(zhì)2是鐵磁物質(zhì)，則由于，，在空氣中磁感應(yīng)線幾乎和鐵表面相垂直。即1554磁矢位的邊界條件1565.7恒定磁場的標(biāo)量磁位一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，則有即在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，可以引入一個標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。

標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位

磁標(biāo)位的微分方程將代入——等效磁荷體密度157與靜電位相比較，有

標(biāo)量磁位的邊界條件在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中

標(biāo)量磁位的表達(dá)式和或和式中：——等效磁荷面密度158靜電位 磁標(biāo)位

磁標(biāo)位與靜電位的比較靜電位

0

P磁標(biāo)位

m

0

m159當(dāng)r>>l時，可將磁柱體等效成磁偶極子，則利用與靜電場的比較和電偶極子場，有

解：M0為常數(shù)，m=0，柱內(nèi)沒有磁荷。在柱的兩個端面上，磁化磁荷為R1R2rPzx-l/2l/2M例5.7.1半徑為a、長為l的圓柱永磁體，沿軸向均勻磁化，其磁化強(qiáng)度為。求遠(yuǎn)區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。1605.8恒定磁場在工程中的應(yīng)用5.8.1自電感與互電感的計算5.8.2磁場能量的計算5.8.3磁場力的計算1611.磁通與磁鏈

5.8.1自電感與互電感的計算

單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過該回路的磁通量多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI細(xì)回路粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量o；另一部分是磁力線穿過導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路162設(shè)回路C中的電流為I

，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I

有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。

自感的特點(diǎn)：163

解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS=dr的磁通為

例5.8.1求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為則與dΦi相應(yīng)的磁鏈為164因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則故單位長度的外自感為單位長度的總自感為165

例5.8.2計算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的間距為D，且D>>a。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ0。穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L度的面積的外磁鏈為

解

設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為I。由于D>>a，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P

的磁感應(yīng)強(qiáng)度為PII166于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感兩根導(dǎo)線單位長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為167

對兩個彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2，當(dāng)回路C1中通過電流I1時，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈21也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對回路C2的互感系數(shù)，簡稱互感。3.互感同理，回路C2對回路C1的互感為C1C2I1I2Ro168互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。滿足互易關(guān)系，即M12=M21

當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)M為負(fù)值。互感的特點(diǎn)：1694.紐曼公式如圖所示的兩個回路C1和回路C2，回路C1中的電流I1在回路C2上的任一點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場與回路C2交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro紐曼公式同理故得170由圖中可知長直導(dǎo)線與三角形回路穿過三角形回路面積的磁通為

解

設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定理，得到

例5.8.3如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。171因此故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為172

例5.8.4如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈C1和C2，半徑分別為a1和a2，中心相距為d

。求它們之間的互感。于是有

解利用紐曼公式來計算，則有兩個平行且共軸的線圈式中θ=2－1為與之間的夾角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且173若d>>a1，則于是一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d>>a1或d>>a2時，可進(jìn)行近似計算。1745.8.2恒定磁場的能量的計算1.

磁場能量在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢做功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運(yùn)動，表明恒定磁場具有能量。磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從零開始增加時，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗。假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻射損耗。175

法拉第電磁感應(yīng)定律指出，回路中的感應(yīng)電動勢等于與回路交鏈的磁鏈的時間變化率，即回路j中的感應(yīng)電動勢為而外加電壓應(yīng)為dt時間內(nèi)與回路j相連接的電源所做的功為如果系統(tǒng)包括N個回路，增加的磁能就為回路j的磁鏈為176對α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為則假設(shè)各回路中的電流同時從零開始以相同的百分比α上升，即當(dāng)N=2時，M11=L1、M22=L2、M21=M12=M，故177對于體分布電流，則有1782.磁場能量密度

從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。

磁場能量密度：

磁場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有179若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時，則有故

推證：S180

例5.8.5

同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為b和c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流I，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。

解：由安培環(huán)路定理，得181三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為182單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感1835.8.3磁場力的計算假定第i個回路在磁場力的作用下產(chǎn)生一個虛位移dgi。此時，磁場力做功dA＝Fidgi，系統(tǒng)的能量增加dWm。根據(jù)能量守恒定律，有式中dWS是與各電流回路相連接的外電源提供的能量。具體計算過程中，可假定各回路電流維持不變，或假定與各回路交鏈的磁通維持不變。虛位移原理1841.各回路電流維持不變

若假定各回路中電流不改變，則回路中的磁鏈必定發(fā)生改變，因此兩個回路都有感應(yīng)電動勢。此時，外接電源必然要做功來克服感應(yīng)電動勢以保持各回路中電流不變。此時，電源所提供的能量

即于是有故得到不變系統(tǒng)增加的磁能

1852.各回路的磁通不變故得到式中的“－”號表示磁場力做功是靠減少系統(tǒng)的磁場能量來實(shí)現(xiàn)的。若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。由于各回路的磁通不變，回路中都沒有感應(yīng)電動勢，故與回路相連接的電源不對回路輸入能量，即

dWS＝0，因此不變186例5.8.6如圖所示的一個電磁鐵，由鐵軛（繞有N匝線圈的鐵心）和銜鐵構(gòu)成。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為S

，平均長度分別為l1和l2。鐵軛與銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長度為x。設(shè)線圈中的電流為I，鐵軛和銜鐵的磁導(dǎo)率為。若忽略漏磁和邊緣效應(yīng)，求鐵軛對銜鐵的吸引力。解在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通Ψ不變，則B和H不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化。于是作用在銜鐵上的磁場力為電磁鐵空氣隙中的磁場強(qiáng)度變187若采用式計算，由儲存在系統(tǒng)中的磁場能量由于和，考慮到，可得到同樣得到鐵軛對銜鐵的吸引力為根據(jù)安培環(huán)路定理，有188第6章靜態(tài)場邊值問題的解

本節(jié)內(nèi)容

6.1邊值問題的類型6.2唯一性定理

邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程1896.1邊值問題的類型

已知場域邊界面S上的位函數(shù)值，即

第一類邊值問題（或狄里赫利問題）已知場域邊界面S上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即已知場域一部分邊界面S1上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面S2上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

第三類邊值問題（或混合邊值問題）

第二類邊值問題（或紐曼問題）190自然邊界條件（無界空間）周期邊界條件銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如191例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：192在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V具有唯一值。6.2唯一性定理

唯一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場邊值問題具有唯一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)

唯一性定理的表述193

唯一性定理的證明反證法：假設(shè)解不唯一，則有兩個位函數(shù)和在場域V內(nèi)滿足同樣的方程，即且在邊界面S上有令，則在場域V內(nèi)且在邊界面S上滿足同樣的邊界條件?；蚧?94由格林第一恒等式可得到對于第一類邊界條件：對于第二類邊界條件：若和取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn)，則對