函數(shù)的極限與連貫性

函數(shù)的極限與連貫性第一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日前面討論了數(shù)列xn=f(n)的極限,它是函數(shù)極限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自然數(shù),且n趨于無(wú)窮大.現(xiàn)在討論y=f(x)的極限,自變量x大致有兩種變化形式.(1)x,(2)xx0(有限數(shù)).并且,x不是離散變化的,而是連續(xù)變化的.第一節(jié)函數(shù)的極限第二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日一、x時(shí),f(x)的極限定義1.設(shè)f(x)在(M,+)內(nèi)有定義,也可記為f(x)a,(x+)若>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值f(x)滿足|f(x)a|<.則稱常數(shù)a為f(x)當(dāng)x+時(shí)的極限,記作(或())(或x)也可記為f(x)a,(x))第三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日此時(shí)也稱當(dāng)x+(x–)時(shí),f(x)的極限存在.否則,稱它的極限不存在.若>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時(shí),有|f(x)a|<.若>0,正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有|xna|<,第四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日注1.

將這個(gè)定義和數(shù)列極限定義相比較,就是將xn=f(n)換成了f(x).將“正整數(shù)N”換成“實(shí)數(shù)X>0”.但是,數(shù)列極限中n是離散變化的,而這里x是連續(xù)變化的.第五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例1.證明其中0<a<1.證:

0<<1,要使|ax0|=ax<.看圖.y=ax1yx0xxy只須若>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時(shí),有|f(x)a|<.第六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定義2.設(shè)f(x)在(,M)(M,+)內(nèi)有定義.若

>0,X>0,當(dāng)|x|>X時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值滿足|f(x)a|<則稱a為

f(x)當(dāng)x時(shí)的極限,由定義1,2可知記作第七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日直觀地, 表示當(dāng)自變量x無(wú)限增大時(shí),曲線y=f(x)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)會(huì)無(wú)限接近于數(shù)a.從而曲線y=f(x)會(huì)越來(lái)越貼近直線y=a.即,當(dāng)x無(wú)限增大時(shí),曲線y=f(x)以直線y=a為漸近線.第八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日如圖axyoy=f(x)第九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日任作直線y=a.(>0),都存在X>0.當(dāng)x>X時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖形夾在這兩直線之間.如圖axyoa+aXy=f(x)第十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日直觀地,這個(gè)式子表示當(dāng)x<0且|x|無(wú)限增大時(shí),函數(shù)y=f(x)圖象以y=a為漸近線.按定義,作直線y=a.(>0),存在X>0.當(dāng)x<X時(shí),y=f(x)的圖形夾在兩直線y=a之間.如圖axyoa+aXy=f(x)第十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日按定義,作直線y=a.(>0),存在X>0.當(dāng)|x|>X時(shí),y=f(x)的圖形夾在兩直線y=a之間.如圖axyoa+aXX第十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日比如,由y=arctgx的圖象xyoy=arctgx第十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日二、當(dāng)xx0時(shí),f(x)的極限若當(dāng)xx0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)a,則稱a是f(x)當(dāng)xx0時(shí)的極限,f(x)a可用|f(x)a|<刻劃,如何用精確的數(shù)學(xué)而xx0則可用|x

x0|<刻劃.語(yǔ)言刻劃這一事實(shí)?第十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定義3.設(shè)f(x)在x0的某個(gè)去心鄰域?(x0)內(nèi)有定義,此時(shí)也稱當(dāng)xa時(shí),f(x)的極限存在,若>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值f(x)滿足

|f(x)a|<,則稱常數(shù)a為f(x)的當(dāng)xx0時(shí)的極限,記作否則,稱當(dāng)xa時(shí),f(x)的極限不存在.第十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日注1.與數(shù)列極限定義比較:將“xn=f(n)”換成f(x),將“N”換成“>0”,將“n>N”換成“0<|xx0|<”.若>0,正數(shù)數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有|xna|<,>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),|f(x)a|<,則記第十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日而現(xiàn)在xx0,“0<|xx0|<”表示了這一意思.這是因?yàn)樵跀?shù)列極限中.n.而“n>N”表示了n充分大這一意思.第十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日注2.定義中“0<|xx0|<”.表示xx0.例2.設(shè)c為常數(shù),則例3.

xx0總表示x無(wú)限接近x0,但xx0這一意思.因此,f(x)在x0是否有定義與f(x)在x0是否有極限無(wú)關(guān).>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),|f(x)a|<,則記第十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.證明證:

>0,要使|f(x)–2|<,只須|x–1|<.(本例說(shuō)明f(x)在x0無(wú)定義,但其極限可能存在)取=.則當(dāng)0<|x1|<時(shí),有|f(x)–2|<,故>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,第十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日看圖.yx012xxxyyy=f(x)x11第二十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日證：

>0,|x31|=|(x1)(x2+x+1)|=|x1||x2+x+1|因x1,故不妨設(shè)0<|x1|<1,即0<x<2故|x2+x+1|=x2+x+1<4+2+1=7從而|x31|<7|x1|.例5.考慮第二十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日要使|x31|<,只須7|x1|<,即|x1|<即可.取=min

(,1),則當(dāng)0<|x1|<時(shí),(有|x1|<1及|x1|<)有 |x31|<.第二十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例6.證明證:注意到不等式|sinx||x|>0,要使|sinx–sinx0|<,只須|x–x0|<,取=.>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)a|<,第二十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日(本例說(shuō)明sinx和cosx在x0處的極限值就等于它在x0處的函數(shù)值。)第二十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日證:

>0要使|lnxlnx0|或, x0e-<x<x0e-即只須

x0(1e-

)<xx0<x0(e1).取=min{x0(1e-),x0(e1

)},則當(dāng)0<|xx0|<時(shí),(有xx0<<x0(e1),x0(1e-

)<<xx0)例7.第二十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日有 |lnxlnx0|<.從本例可見(jiàn),一般,與和x0有關(guān),對(duì)同一個(gè),當(dāng)x0不同時(shí),可能不同。第二十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日曲線y=f(x)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)會(huì)無(wú)限接近于a.即第二十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日如圖axyoa+ax0y=f(x)xx0+第二十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定義4：設(shè)f(x)在x0的右邊附近(左邊附近)有定義，若>0,>0.當(dāng)0<x–x0<(或0<x0–x<)時(shí)，有則稱a為f(x)當(dāng)xx0的右極限(或左極限),記作左、右極限第二十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日即，f(x)在點(diǎn)x0處的極限存在的充要條件是f(x)在x0的左、右極限存在，并且相等。定理1.>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時(shí),|f(x)a|<,則記若>0,>0.當(dāng)0<x–x0<(或0<x0–x<)時(shí)，有第三十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日第三十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例8.

設(shè)f(x)=x, 當(dāng)x0時(shí),sinx, 當(dāng)x>0時(shí),解：由于當(dāng)x0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)=x.由于當(dāng)x>0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)=sinx.f(x)是一個(gè)分段函數(shù)，x=0是這個(gè)分段函數(shù)的分段點(diǎn).對(duì)一個(gè)分段函數(shù)來(lái)說(shuō)，其分段點(diǎn)處的極限要分左、右極限討論.第三十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例9.

設(shè)f(x)=x, 當(dāng)x0時(shí),cosx, 當(dāng)x>0時(shí),左、右極限存在,但不相等,解：第三十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日以后,常用下列記號(hào)表示函數(shù)的左,右極限看圖x0+cosxxyx0ˉ1yy第三十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理2.定理3.三、函數(shù)極限性質(zhì)第三十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日推論1:第三十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日推論2.

(1)若存在>0,使當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有f(x)g(x).當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有f(x)g(x).(2)則存在>0,第三十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日證:(1)由于當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有f(x)g(x).所以,若記F(x)=f(x)g(x),則當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有F(x)=f(x)g(x)0.由推論1及第四節(jié)極限的運(yùn)算法則,有從而(2)自證當(dāng)x

時(shí)情形類似,自述,自證.第三十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定義5:若存在x0的某去心鄰域?(x0)，使得f(x)在?(x0)內(nèi)有界，則稱f(x)是xxo時(shí)的有界量.若>0，使得f(x)在(–,–X)(X,+)內(nèi)有界,則稱f(x)是x時(shí)的有界量.第三十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日比如y=x2在定義域(–,+)內(nèi)是無(wú)界的,但在x=0的某個(gè)小鄰域內(nèi)是有界的.因此,y=x2是x0時(shí)的有界量.y=x20xy–M第四十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日0yx–第四十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日比如:y=sinx在(–,+)內(nèi)有界，是x時(shí)的有界量.但定理4.定理4的逆命題不成立.第四十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日yx1–1y=sinx0第四十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日則稱f(x)是該極限過(guò)程中的一個(gè)無(wú)窮小量(省去xxo,x的極限符號(hào)“l(fā)im”表示任一極限過(guò)程).定義1.若limf(x)=0,第二節(jié)無(wú)窮大量、無(wú)窮小量一、無(wú)窮小量第四十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日注1：無(wú)窮小量與極限過(guò)程分不開(kāi),不能脫離極限過(guò)程談無(wú)窮小量,小量,但如sinx是x0時(shí)的無(wú)窮例：第四十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日注2：注3：0是任何極限過(guò)程的無(wú)窮小量.由于limC=C(常數(shù)),所以,除0外的任何常數(shù)不是無(wú)窮小量.第四十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日是該極限過(guò)程中的無(wú)窮小量.A為常數(shù).>0,>0,當(dāng)0<|x–x0|<時(shí),有|f(x)–A|<定理1.證：第四十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日類似可證x時(shí)情形.第四十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定義2：若>0(無(wú)論多么大),

記作：>0(或X>0),當(dāng)0<|x–xo|<(或|x|>X)時(shí)，有|f(x)|>M,則稱f(x)是xx0(或x)時(shí)的無(wú)窮大量.二、無(wú)窮大量第四十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日若以“f(x)>M”代替定義中的“|f(x)|>M”,就得到正無(wú)窮大量的定義.若以“f(x)<–M”代替定義中的“|f(x)|>M”,就得到負(fù)無(wú)窮大量的定義.分別記作：>0,>0(或X>0),當(dāng)0<|x–xo|<(或|x|>X)時(shí)，有|f(x)|>M,第五十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日01-11xxyyx1+x1–例1：證：第五十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例2:

試從函數(shù)圖形判斷下列極限.第五十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日解：(1)xy0xyy=tgxxy第五十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日第五十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日(2)xoyxxyyx+x–第五十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日第五十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日注1：若在定義2中，將“f(x)”換成“xn”,注2：若limf(x)=,將“X”換成“N”,將“x”換成就得到數(shù)列xn為無(wú)窮大量定義.“n”,則表示在該極限過(guò)程中f(x)的極限不存在.>0,X>0,當(dāng)|x|>X時(shí),有|f(x)|>M,第五十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日注3：不能脫離極限過(guò)程談無(wú)窮大量.注4：無(wú)窮大量一定是無(wú)界量,任何常量都不是無(wú)窮大量.但無(wú)界量不一定是無(wú)窮大量.第五十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明>0,x0(–,+)，使得|x0sinx0|>M即可.例3：解：第五十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日第六十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例4：第六十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理2：在某極限過(guò)程中,若f(x)為無(wú)窮大量,則反之,若f(x)為無(wú)窮小量三、無(wú)窮小與無(wú)窮大量的關(guān)系第六十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日第六十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日證：只證兩個(gè)無(wú)窮小量的情形.設(shè)當(dāng)xx0時(shí),(要證(x)(x)為無(wú)窮小量),>0,(x)0,(x)0,四、無(wú)窮小量的運(yùn)算定理定理3：有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和為無(wú)窮小量.第六十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日故(x)(x)是無(wú)窮小量.第六十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日注：定理3中“有限個(gè)”不能丟，無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的和不一定是無(wú)窮小量,n個(gè)比如：第六十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理4：若(x)是某極限過(guò)程中的無(wú)窮小量,f(x)是該過(guò)程的有界量,則f(x)(x)為該過(guò)程的無(wú)窮小量.即,有界量與無(wú)窮小量之積為無(wú)窮小量.證：第六十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日第六十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日推論：設(shè)(x),(x)是某極限過(guò)程中的無(wú)窮小量,C為常數(shù).則(x)(x),C(x)都是無(wú)窮小量.例2：解：第六十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日1.

±，都不一定是無(wú)窮大量，也不一定是無(wú)窮小量.2.

0,(有界量)不一定是無(wú)窮大量，也不一定是無(wú)窮小量(其中0表無(wú)窮小量).3.無(wú)窮大量是無(wú)界量,但無(wú)界量不一定是無(wú)窮大量.五、無(wú)窮大量的運(yùn)算性質(zhì)第七十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日4.(+)+(+)=+,()+()=.5.

=,±(有界量)=，±常量=.6.

C

=

(其中C等非0常量).第七十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理1.若limf(x)=A,limg(x)=B存在,則(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)]=AB(2)lim[f(x)

g(x)]=limf(x)·limg(x)]=A·B(3)第三節(jié)極限運(yùn)算法則一、極限四則運(yùn)算法則第七十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日證:(2)因limf(x)=A,limg(x)=B,均存在,則f(x)=A+(x),g(x)=B+(x).從而f(x)·g(x)=[A+(x)]·[B+(x)]=AB+[A(x)+B(x)+(x)(x)]得lim[f(x)·g(x)]=AB同理可證(1),(3).第七十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日推論:設(shè)limf(x)存在.C為常數(shù),n為自然數(shù).則(1)lim[Cf(x)]=Climf(x)(2)lim[f(x)]n=[limf(x)]n第七十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例1.解:

由于=2–6=–4=2·23+22–4=16,第七十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例2.解:由定理1及其推論,有第七十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例3.

第七十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日更一般的,以后將有結(jié)論:若f(x)為初等函數(shù).且f(x)在點(diǎn)x0處有定義.則比如:第七十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.解:將x=1代入分母,分母為0,不能用例3或定理1(3)的方法求極限.想辦法約去使分子分母都為零的因子x–1.有第七十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例5.解:將x=0代入.分子,分母都為0.不能用定理1(3).想法約去零因子x.為此,有理化.第八十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例6.解:這是有理函數(shù).當(dāng)x時(shí)的極限問(wèn)題.分子,分母的極限都為.不存在.不能用定理1(3).同除以分母的最高次冪x2.第八十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日將本題改為x3=0x3=改為第八十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例7.

則第八十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日總結(jié):設(shè)f(x),g(x)為多項(xiàng)式.=第八十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例8.解:這是兩個(gè)無(wú)窮大量之差的極限問(wèn)題.無(wú)窮大量的和,差不一定是無(wú)窮大量.這類問(wèn)題,稱為“”型.通分第八十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例9.解:這是兩無(wú)窮大量之差的問(wèn)題.即“”型.對(duì)無(wú)理函數(shù),可考慮有理化.第八十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日解:這是一分段函數(shù).分段點(diǎn)x=0.在分段點(diǎn)處極限要分左,右極限討論.分段函數(shù)=2=b故,當(dāng)b=2時(shí),f(0+0)=f(0–0)=2,例10.何值時(shí),問(wèn)常數(shù)b為第八十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例11.

證:先用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”證明(1)單調(diào)性.=xn–1故xn單調(diào)遞增.0n–1個(gè)an個(gè)a第八十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日(2)有界性.故xn有界.0<xnn個(gè)an個(gè)an–1個(gè)a第八十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日綜合(1),(2),知xn單調(diào),有界.由于n+1個(gè)a從而A2=a+A第九十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日解出A.因xn>0,由保號(hào)性定理,A0從而即第九十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí),?？捎谩皳Q元法”簡(jiǎn)化運(yùn)算.二、復(fù)合函數(shù)的極限第九十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例12.解:直觀地看.當(dāng)x1時(shí),lnx0,而當(dāng)lnx0時(shí),cos(lnx)cos0=1.或者,令u=lnx,當(dāng)x1時(shí),u0,代入這種方法稱為換元法.使用時(shí),將原式中所有x換寫成u的表達(dá)式.極限過(guò)程xx0換成相應(yīng)的u的極限過(guò)程.第九十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理2.設(shè)y=f[(x)]由y=f(u),u=(x)復(fù)合而成.且在x0的某去心鄰域?(x0)內(nèi),(x)u0證(略).第九十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例13.解:(1)令u=sinx.代入.(2)也可直接利用例3后介紹的結(jié)論,有第九十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例14.解:代入,x0+第九十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理1.設(shè)在點(diǎn)x0的某去鄰域?(x0,1)內(nèi),有F(x)f(x)G(x),則第四節(jié)函數(shù)極限存在定理一、夾逼定理第九十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日證:

>0.當(dāng)0<|x–x0|<2時(shí),有|F(x)–A|<且|G(x)–A|<.從而,2>0.故A–<F(x),G(x)<A+即|f(x)–A|<.注:定理對(duì)x的情形也成立.第九十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理2.

其中a可為有限數(shù)，也可為。證：只就a為有限數(shù)的情形證明.必要性：設(shè)，并任取數(shù)列xnx0(xnx0,xnD(f),n+)。(要證0，N>0,當(dāng)n>N時(shí)，有|f(xn)a|<)二、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系的充要條件是任何以x0為極限的數(shù)列xn(xnx0,xnD(f)),有第九十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日由于則0,0,當(dāng)0xx0時(shí),有f(x)a.由于xnx0(n+).當(dāng)nN時(shí),有0|xnx0|(xnx0).從而，對(duì)0,N0,當(dāng)nN時(shí),有故所以，對(duì)上述0,N0,f(xn)a第一百頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日充分性：用反證法.若對(duì)任何數(shù)列xnx0(xnx0),有但(注意，)就是“00,對(duì)0,存在x'D(f),雖然0x'x0,但f(x')a.”對(duì)上述00,取依次等于1,……可設(shè)相應(yīng)的x1,x2,…,xn,…,滿足第一百零一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日0x1x01,但f(x1)a00x2x0,但f(x2)a0……0xnx0,但f(xn)a0……左邊一列說(shuō)明xnx0(n+,xnx0),此與條件矛盾.故充分性成立.右邊一列說(shuō)明f(xn)不以a為極限,第一百零二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例1.

證明不存在.證：只須證可取兩個(gè)數(shù)列xn0,的極限不相等即可.第一百零三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日第一百零四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日如圖,若當(dāng)xx0時(shí),f(x)a.x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)xnf(xn)0xx0ay=f(x)y顯然,當(dāng)xnx0時(shí),f(xn)a.反過(guò)來(lái),若對(duì)任意的數(shù)列xn,xnx0(xnx0),有f

(xn)a,則f(x)a(xx0).第一百零五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日注:1.若對(duì)某個(gè)數(shù)列xnx0(xnx0),有f

(xn)a,不能得出f(x)a(xx0)的結(jié)論.考慮x=0處的極限.2.該定理對(duì)x

也成立.第一百零六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理3.的充要條件是0,0,當(dāng)x1,x2D(f)且0x1x0,0x2x0時(shí),有f(x1)f(x2).證：略x時(shí)的柯西收斂準(zhǔn)則可依照定理3給出.三、柯西收斂準(zhǔn)則第一百零七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日證:(1)先證110xyAxDBC總有SAOC<S扇形AOB<SDOB第五節(jié)兩個(gè)重要極限一、重要極限第一百零八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日第一百零九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日(2)再證事實(shí)上,令u=–x,當(dāng)x0ˉ,u0+,代入,有=1綜合(1),(2)知,第一百一十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，2022年，8月28日例1.

解:=1