函數(shù)的綜合問題

函數(shù)的綜合問題第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日1．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．2．理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．3．會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日基礎(chǔ)梳理

1．分段函數(shù)是指在定義域的不同子集上解析式不同的函數(shù)，如函數(shù)f(x)＝就是一個(gè)簡單的分段函數(shù).在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定首先要判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的解析式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各解析式的取值范圍的并集．

2．奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反．

3．抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題是函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一，其性質(zhì)常常是隱而不漏，但一般情況下大多是以常見函數(shù)為背景，通過代數(shù)表述給出函數(shù)性質(zhì)．第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日4．奇偶性與單調(diào)性的綜合是重點(diǎn)問題．例如：設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，若x1＜0且x1＋x2＞0，則(

)A．f(－x1)＞f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)＜f(－x2)D．f(－x1)與f(－x2)大小不確定解析：x2＞－x1＞0，f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(－x1)＝f(x1)．又f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．答案：A第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日思考應(yīng)用

1．有同學(xué)認(rèn)為分段函數(shù)f(x)＝是兩個(gè)函數(shù)，這種看法正確嗎？解析：

這種看法不正確.盡管看起來分段函數(shù)由多個(gè)解析式構(gòu)成，但它實(shí)際上是一個(gè)函數(shù)，不是多個(gè)函數(shù)，它的圖象是唯一確定的，但圖象由多段組成的．處理分段函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)，必須根據(jù)不同的區(qū)間來選擇相對應(yīng)的函數(shù)解析式，這是解答分段函數(shù)問題的要點(diǎn)．第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日2．設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，在區(qū)間[b,c)上也是增函數(shù)，能說函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,c)上是增函數(shù)嗎？解析：若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,c)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,c)上是增函數(shù)．否則，可能出現(xiàn)如圖情況，此時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,c)上不是增函數(shù)．第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日3．我們知道，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于原點(diǎn)對稱，又關(guān)于y軸對稱，這樣的函數(shù)存在并且唯一嗎？解析：這樣的函數(shù)是存在的，如函數(shù)f(x)＝0.但并不唯一，如函數(shù)f(x)＝0(－1<x<1)，函數(shù)f(x)＝0(－2<x<2)等，這樣的函數(shù)在每個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值都是0，但定義域可以是關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意一個(gè)數(shù)集．第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日自測自評第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日2．設(shè)函數(shù)f(x)對任意x、y滿足：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，則f(－1)的值為(

)A．－2

B．±

C．±1

D．23．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(2)＝0，則使f(x)<0的x的取值范圍是(

)A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)A

D

第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日求分段函數(shù)的解析式如下圖，直角梯形OABC位于直線x＝t(0≤t≤5)右側(cè)的圖形的面積為f(t)，試求函數(shù)f(t)的解析式．第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日跟蹤訓(xùn)練1．某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為(

)第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日解析：法一：特殊取值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，選B.法二：設(shè)x＝10m＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6時(shí)，答案：B第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日根據(jù)分段函數(shù)求值或求范圍設(shè)集合A＝函數(shù)f(x)＝，若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，則x0的取值范圍是(

)第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日點(diǎn)評：與分段函數(shù)結(jié)合考查簡單不等式的求解等問題是高考命題的一個(gè)方向，這種題型具有一定的難度，值得同學(xué)們注意．處理要點(diǎn)是將分段函數(shù)的解析式適當(dāng)?shù)姆湃雽?yīng)的不等式中．第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日跟蹤訓(xùn)練

2．已知函數(shù)

.其中f1(x)＝＋1，f2(x)＝－2x＋2.若x0∈，x1＝f(x0)，f(x1)＝x0，求x0的值第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日研究抽象函數(shù)的性質(zhì)設(shè)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1，且對于任意實(shí)數(shù)x、y，有f(x

＋y)＝f(x)·f(y)，求證：f(x)在R上為增函數(shù)．證明：由f(x

＋y)＝f(x)·f(y)中取x

＝y(tǒng)

＝0，得f(0)＝f2(0)，若f(0)＝0，令x＞0，y＝0，則f(x)＝0，與f(x)＞1矛盾．∴f(0)≠0，即有f(0)＝1.當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＞1＞0，第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日而f(x)·f(－x)＝f(0)＝1，∴f(x)＝＞0.又當(dāng)x

＝0時(shí)，f(0)＝1＞0，∴x∈R，f(x)＞0.設(shè)－∞＜x1＜x2＜＋∞，則x2－x1＞0，f(x2－x1)＞1.∴f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)＞f(x1)．∴y

＝f(x)在R上為增函數(shù)．點(diǎn)評：抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則，而變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)．第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日跟蹤訓(xùn)練3．已知函數(shù)f(x)(x∈R，x≠0)對任意不等于零實(shí)數(shù)x1、x2

都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．解析：取x1＝－1，x2＝1得：f(－1)＝f(－1)＋f(1)，∴f(1)＝0.又取x1＝x2＝－1得：f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0.再取x1＝x，x2＝－1則有f(－x)＝f(x)＋f(－1)，即f(－x)＝f(x)，∵f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f(x)為偶函數(shù)．第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日一、選擇填空題1．如果f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，它在[0，＋∞)上是減函數(shù)，那么下述式子中正確的是(

)B

第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為(

)A．－1

B．0C．1D．2解析：∵f(x)為R上奇函數(shù)，∴f(0)＝0.∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0.答案：B第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日1．函數(shù)是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，構(gòu)造函數(shù)是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)的