光的量子性與激光課件

光學(xué)教程第五篇量子光學(xué)基礎(chǔ)3/14/20230光的量子性與激光研究的主要問題：黑體輻射規(guī)律與普朗克公式；光量子的提出與發(fā)展；激光的形成和特性。要點(diǎn)：1.普朗克對(duì)黑體輻射規(guī)律的解釋；2.從光量子到波粒二象性；3.激光的產(chǎn)生條件和特性。3/14/20231熱輻射：

按照能量轉(zhuǎn)化的特點(diǎn)，可將物體發(fā)射輻射的方式分為兩大類：1.由原子或分子內(nèi)部運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)變?yōu)檩椛淠艿倪^程稱為發(fā)光。電致發(fā)光、光致發(fā)光、化學(xué)發(fā)光、陰極射線致發(fā)光等；2.發(fā)射的輻射能是由物體中原子、分子的熱運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)變而來，即熱運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)變?yōu)檩椛淠艿倪^程稱為熱輻射。

若物體從外界吸收的熱量恰好等于因輻射而減小的能量，該熱輻射稱為平衡熱輻射(溫度輻射)。

熱輻射的光譜是連續(xù)光譜?！?熱輻射和基爾霍夫定律3/14/202323/14/20234黑體：(,T)<1且與波長無關(guān)的物體稱為灰體。

在任何溫度下，對(duì)任何波長的單色吸收率均恒等于1的物體稱為絕對(duì)黑體。此時(shí)：3/14/20235平衡輻射時(shí)黑體的單色輻出度：面元ds所張立體角試推導(dǎo)在平衡輻射時(shí)黑體的單色輻出度(,T)與單色輻射能量體密度u(,T)的關(guān)系。內(nèi)傳播的能量為：3/14/20236平衡輻射時(shí)黑體的單色輻出度：

平衡狀態(tài)下，黑體單位面積發(fā)出的輻射能等于吸收的輻射能，故：3/14/20238§2黑體的經(jīng)典輻射定律黑體輻射譜：黑體輻射譜測(cè)試圖黑體輻射譜3/14/20239黑體輻射的實(shí)驗(yàn)定律：1.Stefan-Boltzmann(斯特藩-波爾茲曼)定律=5.67×10-8W/(m2K4)，Stefan-Boltzmann常數(shù)。b=2.898×10-3mK，Wien常數(shù)。絕對(duì)黑體的輻出度與絕對(duì)溫度的四次方成正比：2.Wien(維恩)位移定律任何溫度下，絕對(duì)黑體的單色輻出度的極大值所在波長與絕對(duì)黑體的溫度成反比。3/14/202310

瑞利假設(shè)空腔中處于熱平衡時(shí)的輻射場是一些駐波，而一列駐波可以看做一種模式的電磁場。根據(jù)能量均分定理，每種振動(dòng)應(yīng)分配到的平均能量為kT，因此：瑞利――金斯公式或：3/14/202312普朗克的研究：1.普朗克經(jīng)驗(yàn)公式：§3普朗克輻射公式能量子3/14/202313普朗克輻射公式：

普朗克假設(shè)，黑體是由極多的帶電的線性諧振子所組成，這些諧振子輻射電磁波，并與周圍電磁場交換能量。設(shè)在溫度為T的熱平衡狀態(tài)，頻率為的諧振子的平均能量為。由電磁理論可以證明，此時(shí)輻射能量的體密度為：故黑體輻射的單色輻出度為：3/14/202314普朗克輻射公式：

若考慮頻率為的諧振子，最小能量是：0=h

，h=6.636176×10-34Js

由波爾茲曼分布，諧振子處于能量n0狀態(tài)的幾率與e-/kT成正比。3/14/202316普朗克輻射公式：代入得：普朗克公式3/14/202317普朗克輻射公式：由普朗克公式導(dǎo)出：對(duì)波長輻出度求極大值，得超越方程：3/14/202318

利用黑體輻射定律來測(cè)定高溫物體的溫度，稱為光測(cè)高溫法。

如果被測(cè)物體的光譜分布曲線和絕對(duì)黑體在某一溫度T0時(shí)的普朗克曲線相似，則溫度T0稱為被測(cè)物體的色溫度?！?光測(cè)高溫法色溫法：3/14/202320亮溫法：

對(duì)所選擇的波長（通過濾色片選擇），若其亮度和燈絲發(fā)出的該譜線亮度相等，則認(rèn)為二物體溫度一致，該溫度稱為亮溫度。3/14/202321輻射溫度法：

儀器接收到的輻射能正比于象的輻照度，即正比于物的輻亮度。對(duì)于絕對(duì)黑體，其輻亮度正比于T4，故由此讀出的溫度稱為輻射溫度。提問：各種方法的誤差可能何在？有其它相似方法可以光測(cè)高溫嗎？3/14/202322U03U02U01312UIIS0入射光強(qiáng)度相同但頻率不同**光電子的初動(dòng)能與入射光強(qiáng)度無關(guān)，而與入射光的頻率有關(guān)。截止電壓的大小反映光電子初動(dòng)能的大小：截止電壓與入射光頻率成線性.紅限頻率4.06.08.010.0(1014Hz)0.01.02.0-Ua(V)CsNaCa能量3/14/202324*光電子初動(dòng)能依賴光頻；

經(jīng)典認(rèn)為光強(qiáng)越大，飽和電流應(yīng)該大，光電子的初動(dòng)能也該大。但實(shí)驗(yàn)上飽和電流不僅與光強(qiáng)有關(guān)而且與頻率有關(guān)，光電子初動(dòng)能取決于光頻率。經(jīng)典理論解釋光電效應(yīng)的困難：*紅限頻率；

只要頻率高于紅限，既使光強(qiáng)很弱也有光電流；頻率低于紅限時(shí)，無論光強(qiáng)再大也沒有光電流。而經(jīng)典認(rèn)為光電效應(yīng)只依賴光強(qiáng)，而不應(yīng)與頻率有關(guān)。*瞬時(shí)性。光電效應(yīng)具有瞬時(shí)性，其響應(yīng)速度很快~10-9秒。經(jīng)典認(rèn)為光能量分布在波面上，吸收能量要時(shí)間。UGAK3/14/2023251916年，密立根實(shí)驗(yàn)證實(shí)了光子論的正確性，并測(cè)得h=6.5710-34焦耳?秒。光的波動(dòng)性（p）和粒子性（）是通過普朗克常數(shù)聯(lián)系在一起的。相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系：光子的靜止質(zhì)量為零!因?yàn)椋汗庾拥膭?dòng)量：光子的能量、動(dòng)量和質(zhì)量光子的質(zhì)量：獲得1923年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)波粒二像性光的波粒二象性3/14/202328§6康普頓效應(yīng)(1922~1923)3/14/2023291.X射線在石墨上的散射實(shí)驗(yàn)結(jié)果：準(zhǔn)直系統(tǒng)入射光0散射光探測(cè)器石墨散射體(1)散射的射線中有與入射波長相同的射線,也有波長的射線.(2)散射線中波長的改變量隨散射角的增加而增加。(3)同一散射角下相同,與散射物質(zhì)無關(guān)；原子量較小的物質(zhì)，康普頓散射較強(qiáng)?？灯疹D波長I=0oI=45oI=90oI=135o0康普頓散射3/14/202330（2）康普頓的解釋：X射線光子與“靜止”的“自由電子”彈性碰撞:碰撞過程中能量與動(dòng)量守恒：2.康普頓效應(yīng)驗(yàn)證光的量子性（1）經(jīng)典電磁理論的困難：碰撞前：X射線光子（104~105eV）電子（百分之幾eV）反沖電子3/14/202331波長偏移：(4)2-(3)得3/14/202332

X射線光子與束縛很緊的電子碰撞:可見：與0無關(guān)，只與散射角有關(guān)，、。

X射線光子與“靜止”的“自由電子”彈性碰撞；

X射線光子與束縛很緊的電子碰撞：

由上面兩點(diǎn)可推知：原子量較大的物質(zhì)，電子束縛很緊原子量較小的物質(zhì)，電子束縛很弱自由電子康散射較弱3/14/2023333.康普頓散射實(shí)驗(yàn)的意義康普頓散射進(jìn)一步證實(shí)了光子論，證明了光子能量、動(dòng)量表示式的正確性，光確實(shí)具有波粒二象性。另外證明在光電相互作用的過程中嚴(yán)格遵守能量、動(dòng)量守恒定律。1923年威爾遜云室實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了反沖電子軌跡；驗(yàn)證了康普頓解釋合得1927年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)3/14/2023344.康普頓散射與光電效應(yīng)的區(qū)別(1)康普頓效應(yīng)中光子被散射,只將部分能量交給自由電子，而光電效應(yīng)中光子被束縛電荷整個(gè)吸收?？灯疹D效應(yīng)中光子的能量不能被自由電子全部吸收?反證：假設(shè)電子完全吸收光子的能量hv由能量守恒：由動(dòng)量守恒：(2)在光電效應(yīng)中會(huì)觀測(cè)到康普頓效應(yīng)?例:康普頓效應(yīng)中最大偏轉(zhuǎn)角,入射光波?觀察不到若是?入射波長與

C時(shí)康普頓效應(yīng)才顯著3/14/202335先釋放后吸收ee反沖電子先吸收后釋放ee反沖電子康普頓解釋中部分能量傳遞給電子與光子概念矛盾???3/14/202336歷史回顧舊量子論：普朗克的能量子假設(shè)愛因斯坦的光子說、康普頓效應(yīng)玻爾的氫原子模型、量子態(tài)經(jīng)典物理中的波和粒子、光的波粒二象性經(jīng)典物理：證實(shí)了光的波動(dòng)性早期量子論：證實(shí)光的波粒二象性波動(dòng)性

微粒性

h§7波粒二象性3/14/2023371918年、普朗克、能量子（1900）1921年、愛因斯坦、光子說和光電效應(yīng)解釋（1905）1922年、玻爾、原子模型及其發(fā)光（1913）1923年、密立根、電子電量測(cè)量(1911)和h的測(cè)量(1914)1925年、弗蘭克和赫茲、電子原子碰撞實(shí)驗(yàn)（1914）1927年、康普頓和威爾遜、康普頓效應(yīng)(1922)1929年、德布羅意、物質(zhì)波（1924）1932年、海森伯格、量子力學(xué)（1925）1933年、薛定鄂和狄拉克、量子波動(dòng)力學(xué)(1925、1927)1937年、戴維遜和湯姆遜、電子衍射實(shí)驗(yàn)（1927）1945年、泡利、泡利不相容原理（1924）1954年、玻恩、波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋（1926）1986年、畢寧和羅爾、掃描隧道顯微鏡（1981）3/14/202338經(jīng)典物理：證實(shí)了光的波動(dòng)性早期量子論：證實(shí)光的波粒二象性波動(dòng)性

1924年，德布羅意提出，實(shí)物粒子（電子、質(zhì)子、中子、分子、……）也具有波粒二象性.一、物質(zhì)波的提出微粒性

h質(zhì)量

m1.德布羅意物質(zhì)波假設(shè)速度

V自由粒子具有：能量E動(dòng)量

P波長l

頻率

德布羅意關(guān)系3/14/202339物質(zhì)波:在微觀上，如電子m=9.110-31Kg，速度V=5.0107m/s,對(duì)應(yīng)的德布羅意波長為：在宏觀上，如飛行的子彈m=10-2Kg，速度V=5.0102m/s,對(duì)應(yīng)的德布羅意波長為：太小測(cè)不到！1924年，德布羅意的博士論文《量子理論研究》獲得1929年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)3/14/202340電子駐波德布羅意還指出：氫原子中電子的圓軌道運(yùn)動(dòng)，它所對(duì)應(yīng)的物質(zhì)波形成駐波，圓周長應(yīng)等于波長的整數(shù)倍。再根據(jù)德布羅意關(guān)系得出角動(dòng)量量子化條件德布羅意關(guān)系與愛因斯坦質(zhì)能關(guān)系有著同樣重要意義。光速c是個(gè)“大”常數(shù)；普朗克常數(shù)h是個(gè)“小”常數(shù)。3/14/2023412.自由粒子的德布羅意波長若自由電子是經(jīng)過電場

U

加速，則有例：電子經(jīng)電場加速，加速電壓U=100V、U=10000V，電子的德布羅意波長=？電子的德布羅意波長很短!1.23?0.123?自由粒子運(yùn)動(dòng)速度3/14/202342實(shí)驗(yàn)結(jié)果：當(dāng)加速電壓U=54v，在散射角

=500處，射線強(qiáng)度有一極大。GANi晶體(1).戴維遜—革末電子衍射實(shí)驗(yàn)(1927)：3.物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證d0d3/14/202343實(shí)驗(yàn)結(jié)果：U=54v，在

=500處，射線強(qiáng)度有一極大。德氏電子波長：Ni的晶格常數(shù)：d0=2.15?取k=1理論值與實(shí)驗(yàn)值吻合較好!!GANi晶體(1).戴維遜—革末電子衍射實(shí)驗(yàn)(1927)：d0d3/14/202344(2).電子不僅在反射時(shí)有衍射現(xiàn)象，湯姆遜實(shí)驗(yàn)證明了電子在穿過金屬片后也象X射線一樣產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。戴維遜和湯姆遜因驗(yàn)證電子的波動(dòng)性分享1937年的物理學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)金.（湯姆遜1927）（約恩遜1961)3/14/202345(3).量子圍欄1993年，M.F.Crommie等人Science,1993,262：218。用掃描隧道顯微鏡技術(shù)，把蒸發(fā)到銅表面上的48個(gè)鐵原子排列成圓環(huán)形的量子圍欄，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了在圍欄內(nèi)形成的同心圓狀的駐波，它直觀地證實(shí)了電子的波動(dòng)性。在量子圍欄內(nèi)，銅的表面電子波受到鐵原子的強(qiáng)散射作用，與入射的電子波發(fā)生干涉，形成駐波。量子圍欄3/14/202346原子能級(jí)及粒子數(shù)的正常分布原子每一個(gè)能量狀態(tài)稱為原子的一個(gè)能級(jí)，其中最低的能級(jí)稱為基態(tài)，高于基態(tài)的其余各能級(jí)稱為激發(fā)態(tài)?！?光子和原子系統(tǒng)的相互作用若原子處于熱平衡，各能級(jí)上粒子數(shù)目的分布將服從波爾茲曼正則分布律。室溫下，絕大部分原子處于基態(tài)。3/14/202347光的自發(fā)發(fā)射、受激發(fā)射和受激吸收1.自發(fā)發(fā)射處于高能級(jí)的原子，自發(fā)躍遷到低能級(jí)上，并輻射出一個(gè)光子的過程，稱為自發(fā)發(fā)射。自發(fā)發(fā)射是一個(gè)隨機(jī)過程，處于高能級(jí)的各個(gè)原子隨時(shí)地、獨(dú)立地自發(fā)發(fā)射光子，形成一串串波列。這些波列在位相、偏振態(tài)和傳播方向上都彼此無關(guān)，因此自發(fā)發(fā)射的光波是非相干的。3/14/202348光的自發(fā)發(fā)射、受激發(fā)射和受激吸收2.受激吸收

處于低能級(jí)E1的原子，受到頻率為外來入射光照明時(shí)，可以吸收光子能量=h=E2-E1而躍遷到高能級(jí)E2上的過程，稱為受激吸收。3.受激發(fā)射

處于激發(fā)態(tài)E2的原子，在受到頻率剛好滿足h=E2-E1的外來光子的激勵(lì)時(shí)，可以由高能級(jí)E2躍遷到低能級(jí)E1上，并發(fā)射一個(gè)同頻率的光子。這個(gè)過程稱為受激發(fā)射。

與自發(fā)發(fā)射不同，受激發(fā)射光子與入射光有相同模式，即受激發(fā)射的光波在頻率、位相、偏振態(tài)等方面都與外來光相同，所以受激發(fā)射光波是相干的。3/14/202349愛因斯坦公式

自發(fā)發(fā)射過程中，單位時(shí)間內(nèi)從高能級(jí)E2躍遷到低能級(jí)E1的粒子總數(shù)dN21/dt只與始態(tài)E2上的粒子數(shù)N2成正比，而與輻射場無關(guān)，即：

對(duì)于受激吸收過程，單位時(shí)間從低能級(jí)E1躍遷到高能級(jí)E2的粒子總數(shù)dN12/dt，除與始態(tài)上的粒子數(shù)N1有關(guān)，還與頻率滿足h=E2-E1的外來入射光的光子數(shù)密度u()成正比。

對(duì)于受激發(fā)射過程，單位時(shí)間從能級(jí)E2向能級(jí)E1躍遷的粒子數(shù)，則應(yīng)滿足：愛因斯坦系數(shù)3/14/202350愛因斯坦公式

當(dāng)系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，其能量必須保持恒定，即單位時(shí)間內(nèi)受激吸收的光子數(shù)應(yīng)等于自發(fā)發(fā)射和受激發(fā)射的光子總數(shù)。于是：解之得：對(duì)于熱平衡系統(tǒng)，按波爾茲曼分布律：3/14/202351愛因斯坦公式而由普朗克公式可得：由于二式均描寫熱平衡狀態(tài)，二式應(yīng)相等，故：以上兩式稱為愛因斯坦公式。由于系數(shù)與分布狀態(tài)無關(guān)，故兩式適合普遍情況。3/14/202352光的吸收和增益

當(dāng)一束頻率為的光通過具有能級(jí)E2和E1(h=E2-E1)的介質(zhì)時(shí)，將同時(shí)發(fā)生受激吸收和受激發(fā)射過程。

當(dāng)N2/N1<1時(shí)，宏觀效果表現(xiàn)為光被吸收；

當(dāng)N2/N1>1時(shí)，宏觀效果表現(xiàn)為光被放大，或稱光增益；出現(xiàn)所謂“粒子數(shù)反轉(zhuǎn)”分布情況。

能夠造成粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布的介質(zhì)稱為激活介質(zhì)或增益介質(zhì)。實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)是產(chǎn)生激光的必要條件，這只有在非熱平衡狀態(tài)下才能達(dá)到。3/14/202353能級(jí)的壽命

粒子在能級(jí)上停留的平均時(shí)間，稱為粒子在該能級(jí)上的平均壽命，簡稱壽命。積分得：

反映了粒子平均在E2能級(jí)上停留時(shí)間的長短，即粒子在E2能級(jí)上的壽命。它恰好是E2上粒子減少為初始時(shí)間時(shí)的1/e所用的時(shí)間。因此，A21具有時(shí)間倒數(shù)的量綱。

壽命特別長的激發(fā)態(tài)稱為亞穩(wěn)態(tài)，其壽命可達(dá)10-3－1秒，而一般激發(fā)態(tài)壽命僅有10-8秒。3/14/202354激光器的組成

激光器一般由工作物質(zhì)、激勵(lì)源和諧振腔三部分構(gòu)成?！?激光的形成

一些名詞：泵浦、光抽運(yùn)、光反饋、內(nèi)腔式激光器、外腔式激光器3/14/202355工作物質(zhì)的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)和增益作用

要實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，工作物質(zhì)內(nèi)必須存在亞穩(wěn)態(tài)，必須有激勵(lì)源供給能量，粒子輸運(yùn)的全過程必須是一個(gè)循環(huán)往復(fù)的非平衡過程。三能級(jí)系統(tǒng)、四能級(jí)系統(tǒng)3/14/202356工作物質(zhì)的增益：對(duì)于粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的激活介質(zhì)，激光通過后將獲得增益：式中G為增益系數(shù)，表示介質(zhì)對(duì)光的放大能力。3/14/202357諧振腔和閾值經(jīng)過從M1到M2一次反射(振蕩)：經(jīng)M2透射出射后，光強(qiáng)減小為：M2反射的光到達(dá)M1后，再經(jīng)M1反射，光強(qiáng)為：若要求光在一次振蕩過程中產(chǎn)生的增益大于其損耗，則要求：上式稱為諧振腔的閾值條件。使上式成立的系統(tǒng)增益值Gm就是諧振腔的閾值增益。3/14/202358諧振腔和閾值的討論：

實(shí)際上，在G>Gm時(shí)，隨著光強(qiáng)的增大，工作物質(zhì)的實(shí)際增益G將下降，直至G=Gm時(shí)，光強(qiáng)就維持穩(wěn)定。綜上所述，形成穩(wěn)定激光輸出的必要條件有兩個(gè)，一個(gè)是在激光器工作物質(zhì)內(nèi)的某些能級(jí)間實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布，另一個(gè)就是激光器必須滿足閾值條件。3/14/202359諧振腔對(duì)激光方向性的選擇：

實(shí)際上，在激光器點(diǎn)燃時(shí)，首先進(jìn)行的是增益介質(zhì)中的自發(fā)輻射，滿足諧振腔條件的自發(fā)輻射才能得到不斷的反饋放大，從而最終構(gòu)成全部的激光輸出。3/14/202360激光的縱模和橫模：

諧振腔不僅使激光具有極好的方向性，同時(shí)還起著頻率選擇器的作用，使激光具有極好的單色性。

光波在腔內(nèi)的穩(wěn)定分布是滿足干涉相長條件的駐波分布：

光場沿軸向傳播的振動(dòng)模式稱為縱模。不滿足上述頻率關(guān)系的光波，不能產(chǎn)生諧振。3/14/202361激光的縱模和橫模：

諧振頻率是一系列分立的頻率，其間隔k稱為縱模間隔。

只有在激活介質(zhì)所發(fā)射的譜線的頻寬范圍內(nèi)，并同時(shí)滿足閾值條件的那些諧振頻率，才能形成激光。

從激光器輸出的縱模數(shù)N，由激活介質(zhì)的頻寬和縱模間隔k的比值決定。3/14/202362激光的縱模和橫模：

多縱模激光器與單縱模激光器，激光器的選模問題。單模激光器一般指單縱模激光器。3/14/202363激光的縱模和橫模：

激光腔內(nèi)與軸向垂直的橫截面內(nèi)的穩(wěn)定光場分布稱為激光的橫模。按其對(duì)稱性可分為軸對(duì)稱橫模和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱橫模。

激光的模式一般用TEMmnk表示，TEM是電磁橫波的縮寫，k為縱模數(shù)，m、n分別表示在光束橫截面內(nèi)在x方向和y方向出現(xiàn)的暗區(qū)數(shù)。一般常見的TEM00模（氣體激光器）。

橫模的形成可視為光波衍射的結(jié)果。激光的縱模和橫模，實(shí)際上就是從不同側(cè)面反映了諧振腔所允許的光場的各種縱向和橫向的穩(wěn)定分布。3/14/2023643/14/2023653/14/2023663/14/2023673/14/2023683/14/202369光的量子性討論3/14/2023701.不確定關(guān)系（測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系）經(jīng)典粒子(如質(zhì)點(diǎn))：微觀粒子(如電子)：(1).位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系式以電子單縫衍射為例說明此關(guān)系質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，其坐標(biāo)和動(dòng)量是可以同時(shí)被測(cè)定的其坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)被測(cè)定（微觀粒子的波粒二象性）量子力學(xué)理論證明：在某確定方向上(如x方向)粒子的位置有不確定量x，對(duì)應(yīng)動(dòng)量的不確定量Px，兩者有如下關(guān)系：二、波函數(shù)3/14/202371設(shè)一束動(dòng)量為P的電子通過寬為a=x的單縫，產(chǎn)生衍射:考慮其中一個(gè)電子從寬為x的縫中通過電子的坐標(biāo)不確定范圍是：電子動(dòng)量在x方向的分量：Px=？

顯然：過縫之后Px0

若考慮電子落在中央極大內(nèi)，則：動(dòng)量的最小不確定范圍：落在次極大的電子：

由單縫衍射極?。嚎傻茫篒01XP3/14/202372上式具有普遍意義。在三維運(yùn)動(dòng)中應(yīng)有：海森伯‘不確定關(guān)系’的數(shù)學(xué)表達(dá)式在確定粒子坐標(biāo)越準(zhǔn)確的同時(shí)（x越小）,確定粒子在這坐標(biāo)方向上動(dòng)量分量的準(zhǔn)確度就越差(Px越大).(2).能量和時(shí)間的不確定關(guān)系：若一體系處于某狀態(tài)的時(shí)間不確定量為t

那么，這個(gè)狀態(tài)的能量也有不確定范圍E

。（可解釋光譜線寬度）原子在某激發(fā)狀態(tài)的時(shí)間越長，該態(tài)的能級(jí)寬度就越小;E小的能級(jí)比較穩(wěn)定，對(duì)基態(tài)基態(tài)最穩(wěn)定。3/14/202373非常小令：h0那么：在任何情況下都可有x=0、Px=0波粒子無關(guān)波粒二象性就將從自然界中消失讓h大一點(diǎn)：子彈射出槍口的橫向速度：波粒二象性就將統(tǒng)治到宏觀世界中!不大不小正好！關(guān)于h的幾句話：3/14/2023742.波函數(shù)一個(gè)自由粒子有動(dòng)能E和動(dòng)量P，對(duì)應(yīng)的德布羅意波的頻率和波長：宏觀物體：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述：運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述：微觀物體：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述：波函數(shù)不是經(jīng)典的粒子,拋棄了“軌道”概念不是經(jīng)典的波，不代表實(shí)在的物理量的波動(dòng)但是：物質(zhì)波是波又是粒子，物質(zhì)波既不是波也不是粒！3/14/202375現(xiàn)代量子論認(rèn)為：由于儀器本身只能提供經(jīng)典的波態(tài)或粒子態(tài)環(huán)境，換言之，儀器的作用是制造一個(gè)經(jīng)典的波或粒子陷阱，當(dāng)處于相干疊加態(tài)的微觀粒子進(jìn)入儀器后就落入這個(gè)陷阱，要么呈波態(tài)，要么呈粒子態(tài)。（1）單光子干涉3/14/202376現(xiàn)代量子理論：進(jìn)入第一個(gè)分束鏡之前，光子處在粒子與波的相干疊加態(tài)。粒子態(tài)波態(tài)相干疊加態(tài)：單光子干涉3/14/202377（2）薛定諤貓1990RochesteUniv.J.Yeazell&C.Stoud,PRL64:2007;電子貓；1995MITD.E.Pritchardetal.,PRL199574:4783;鈉原子貓；1996NISTC.Monroe&D.J.Wineland,Science272:1131;鈹離子貓；1997ENSJ.M.Raimond,M.Brune,S.Haroche,PRL79:1964;光子貓.

若只做一個(gè)小時(shí)的實(shí)驗(yàn)，按照量子論的說法，貓將處在“不死不活”的疊加態(tài)，這對(duì)一個(gè)宏觀的動(dòng)物貓來說顯然是荒謬的，然而量子論的確會(huì)給出這一預(yù)言，量子論的預(yù)言正確嗎？1935薛定諤的著名貓佯謬:

一個(gè)箱子里有一只貓和一盛有氰化物的密封容器，箱內(nèi)有微量放射性物質(zhì)R，其半衰期保證二小時(shí)內(nèi)有一個(gè)原子衰變，衰變?cè)臃派渖渚€觸發(fā)繼電器砸碎裝有氰化物的容器，這樣貓便立即死去。3/14/202378由經(jīng)典物理知：頻率為n、波長為l、沿x方向傳播的平面機(jī)械波可表示為：用復(fù)數(shù)的表示：但是，對(duì)于自由粒子而言，其對(duì)應(yīng)的平面波，還具有微粒性(波粒二像性)德布羅意關(guān)系式得：(3)自由粒子的波函數(shù)——量子力學(xué)基本假設(shè)之一

自由粒子德布羅意波的波函數(shù)3/14/202379波函數(shù)3.波函數(shù)的物理意義：(Born解釋)光波波動(dòng)：衍射圖樣最亮處，光振動(dòng)的振幅最大，強(qiáng)度微粒：衍射圖樣最亮處，射到此的光子數(shù)最多，‘波函數(shù)’是什么？它既不是位移y；又不是電矢量E結(jié)論某時(shí)刻，在空間某地點(diǎn)，粒子出現(xiàn)的幾率，正比于該時(shí)刻、該地點(diǎn)的波函數(shù)的模的平方。物質(zhì)波波動(dòng)：電子波的強(qiáng)度微粒：（電子數(shù)）（單個(gè)電子在該處出現(xiàn)的幾率）（波函數(shù)模的平方）電子衍射實(shí)驗(yàn)解釋:二者皆可.這意味著粒子與波一一對(duì)應(yīng)波函數(shù)又稱為幾率波3/14/202380與粒子(某時(shí)刻、在空間某處)出現(xiàn)的幾率成正比波函數(shù)是什么呢？物質(zhì)波既不是機(jī)械波，又不是電磁波，而是幾率波！物質(zhì)波是什么呢？對(duì)微觀粒子，討論其運(yùn)動(dòng)軌道及速度是沒有意義的。波函數(shù)所反映的只是微觀粒運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。結(jié)論幾率波是描寫微觀體系的統(tǒng)計(jì)行為，而不是單個(gè)粒子的單次過程。宏觀物體：討論它的位置在哪里。微觀粒子：研究它在那里出現(xiàn)的幾率有多大。區(qū)別3/14/2023814.波函數(shù)的性質(zhì)——幾率密度1）波函數(shù)具有歸一性粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的幾率：波函數(shù)的歸一化條件粒子在某區(qū)域出現(xiàn)的幾率正比于該區(qū)域的大小，某時(shí)刻、在（x,y,z）附近的體積元dt

中，出現(xiàn)粒子的幾率為：表示某時(shí)刻、在空間某地點(diǎn)附近單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率=13/14/2023824）單值性：波函數(shù)可不滿足單值性，但波函數(shù)的模滿足單值性。2）連續(xù)性:

一定時(shí)刻，在空間某點(diǎn)附近，單位體積內(nèi)，粒子出現(xiàn)的幾率應(yīng)有一定的量值。在空間各點(diǎn)都有粒子出現(xiàn)的可能。波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件波函數(shù)的歸一性波函數(shù)的連續(xù)性波函數(shù)的有限性

3）有限性:

保證波函數(shù)是平方可積。1）歸一性：3/14/202383雙縫干涉實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步理解波函數(shù)（幾率幅）(1).機(jī)槍子彈射擊x12子彈一粒一粒發(fā)射，只開縫1，子彈在靶上的分布為r1；只開縫2，子彈在靶上的分布為r2；兩縫同時(shí)開時(shí)，靶上的分布為r1和r2的簡單相加。3/14/202384(2)電子雙縫衍射量子力學(xué)中態(tài)的疊加導(dǎo)致了在疊加態(tài)下觀測(cè)結(jié)果的不確定性12當(dāng)雙縫同時(shí)打開時(shí)，一個(gè)電子同時(shí)處在1態(tài)和2態(tài)。雙縫同時(shí)誘導(dǎo)的狀態(tài)是它們的線性組合態(tài)。單縫1使通過它的電子處于1態(tài)；單縫2使其處于2態(tài)。雙縫衍射中是電子自己和自己干涉，有些地方由于干涉而幾率消失，有些地方則由于干涉而幾率加強(qiáng)！3/14/202385線性組合：量子力學(xué)中態(tài)的疊加原理導(dǎo)致了疊加態(tài)下觀測(cè)結(jié)果的不確定性，出現(xiàn)了干涉圖樣。它是由微觀粒子波粒二象性所決定的。處于態(tài)1和態(tài)2的幾率分別為：雙縫同時(shí)打開時(shí)，電子的幾率分布為：態(tài)疊加原理：統(tǒng)計(jì)規(guī)律中的幾率幅相加律.（而不是幾率的相加律）第三項(xiàng)為相干項(xiàng)3/14/202386三、波函數(shù)疊加原理(1)玻爾的原子定態(tài)與兩能級(jí)模型回顧：玻爾的原子定態(tài)假設(shè)定態(tài)是經(jīng)典軌道；定態(tài)是穩(wěn)定的;

定態(tài)軌道對(duì)應(yīng)確定的能量或能級(jí)。玻爾的錯(cuò)誤在于用經(jīng)典軌道概念去描述原子定態(tài)，但是定態(tài)具有穩(wěn)定性及定態(tài)對(duì)應(yīng)有確定能量值這二個(gè)觀點(diǎn)，卻至今保留在近代量子論中。定態(tài)的概念發(fā)展為本征態(tài):

各個(gè)物理量都有自己的定態(tài)或本征態(tài)，所謂某物理量的本征態(tài)，是指當(dāng)微觀粒子處在該狀態(tài)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的該物理量具有確定的值。

3/14/202387例如1：氫原子能量的定態(tài)（能量的本征態(tài)）：當(dāng)氫原子處在這個(gè)狀態(tài)時(shí)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得能量有確定的值，我們也把本征態(tài)對(duì)應(yīng)的確定能量值稱為能量的本征值。例如2：一個(gè)微觀粒子處在自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其動(dòng)量有確定的值p，我們就說這個(gè)微觀自由粒子處在動(dòng)量為p的本征態(tài).注意：同一物理量可有不同的本征值，不同的本征值有不同的本征態(tài)。(1)玻爾的原子定態(tài)與兩能級(jí)模型線性代數(shù)回顧：設(shè)j是數(shù)域R上線性空間X中的線性變換，如果對(duì)lR，存在一個(gè)非零向量x，使得j(x)=lx，則稱l為j的一個(gè)特征值，x稱為j的屬于l的一個(gè)特征向量。3/14/202388量子論:物理量的本征態(tài){yi}(i=1,2,…n)

能構(gòu)成一組正交、歸一、完備的基矢，本征態(tài)反映量子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的確定性。此外，微觀粒子還可以有一些態(tài)，處在這些態(tài)時(shí)，它們沒有確定的物理量與之對(duì)應(yīng)，我們稱這種態(tài)為疊加態(tài)。

(1)兩能級(jí)模型等同任一矢量可按基矢展開一樣，疊加態(tài)可按本征態(tài)展開！如：電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)123/14/202389(2)疊加態(tài)實(shí)驗(yàn)證明：當(dāng)微觀粒子處在疊加態(tài)時(shí)，去測(cè)量其對(duì)應(yīng)的物理量時(shí)，沒有確定的結(jié)果，實(shí)驗(yàn)每次測(cè)的值可能是不一樣的。但測(cè)量值只可能為參加疊加的各本征態(tài)的本征值。疊加態(tài)就是各本征態(tài)以不同幾率出現(xiàn)的一個(gè)相加態(tài)，在疊加態(tài)中，各個(gè)本征態(tài)以一定的幾率在疊加態(tài)中作出自己的貢獻(xiàn)。疊加態(tài)是一個(gè)相干態(tài)：它表明微觀粒子部分處在y1,部分處在y2。用儀器測(cè)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)退相干過程，y將塌縮到y(tǒng)1或者y2本征態(tài)。如單光子干涉實(shí)驗(yàn)3/14/202390單光子干涉示意圖BS1BS2PD2PD1PD1：藍(lán)色：2次穿過BS2，2次半波損失；

紅色：1次BS1，1次BS2，1次半波損失；