演示文稿第四章矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型

演示文稿第四章矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)前1頁，總共87頁。第四章矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)前2頁，總共87頁。

標(biāo)準(zhǔn)型的理論源自矩陣的相似性，因?yàn)橄嗨凭仃囉性S多相似不變量：特征多項(xiàng)式、特征值（包括代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)）、行列式、跡及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似變換矩陣互相求出。這自然導(dǎo)出了尋找相似矩陣集合中的“代表矩陣”的問題。“代表矩陣”當(dāng)然越簡單越好。對于可對角化矩陣，“代表矩陣”就是特征值組成的對角矩陣。特別地，對于正規(guī)矩陣，可逆的相似變換矩陣特殊化為酉矩陣或正交矩陣。但是令人非常遺憾的是：一般矩陣未必與對角矩陣相似?。?！當(dāng)前3頁，總共87頁?！?、矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型由于一般矩陣與對角矩陣不相似，因此我們“退而求其次”，尋找“幾乎對角的”矩陣。這就引出了矩陣在相似下的各種標(biāo)準(zhǔn)型問題，其中Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是最接近對角的矩陣，只在第1條對角線上取1或0。弄清楚了矩陣相似的本質(zhì)，理論上、計(jì)算上以及應(yīng)用上的許多問題就容易處理了，當(dāng)然花費(fèi)也大了。當(dāng)前4頁，總共87頁。一、Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的概念定理1

設(shè)是復(fù)數(shù)域上的線性空間上的線性變換。令在的一組基下的矩陣表示為，如果的特征多項(xiàng)式可分解因式為則可分解成不變子空間的直和這里當(dāng)前5頁，總共87頁。適當(dāng)選取每個(gè)子空間的基（稱為Jordan基），則每個(gè)子空間的Jordan基合并起來即為的Jordan基，并且在該Jordan基下的矩陣為塊對角陣稱為的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。并稱方陣為階Jordan塊。當(dāng)前6頁，總共87頁。定理2

設(shè)。如果的特征多項(xiàng)式可分解因式為則可經(jīng)過相似變換化成唯一的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型(不計(jì)Jordan塊的排列次序)，即存在可逆矩陣(稱為Jordan變換矩陣)使或者有Jordan分解當(dāng)前7頁，總共87頁。二、Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的一種簡易求法把的同一個(gè)特征值的若干個(gè)Jordan塊排列在一起，就得到Jordan標(biāo)準(zhǔn)型其中是階的Jordan子矩陣，有個(gè)階數(shù)為的Jordan塊，即當(dāng)前8頁，總共87頁。其中是階的矩陣。根據(jù)的結(jié)構(gòu)，將Jordan變換矩陣列分塊為由，可知當(dāng)前9頁，總共87頁。進(jìn)一步，根據(jù)的結(jié)構(gòu)，將列分塊為其中是階矩陣。由，可知當(dāng)前10頁，總共87頁。最后，根據(jù)的結(jié)構(gòu)，設(shè)由，可知當(dāng)前11頁，總共87頁。解這個(gè)方程組，可得到Jordan鏈這個(gè)名稱也可以這樣理解：其中，是矩陣關(guān)于特征值的一個(gè)特征向量，則稱為的廣義特征向量,稱為的級根向量。當(dāng)前12頁，總共87頁。當(dāng)所有的時(shí)，可知，此時(shí)矩陣沒有廣義特征向量，的各列是的線性無關(guān)的特征向量，因此Jordan塊

都是一階的，此時(shí)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為

即矩陣是可對角化矩陣。顯然正規(guī)矩陣是一類最特殊的可對角化矩陣。當(dāng)前13頁，總共87頁。例3

求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型和相應(yīng)的Jordan變換矩陣，其中當(dāng)前14頁，總共87頁。解：特征值為，所以設(shè)因?yàn)樘卣髦禐閱胃?，所以并從解得對?yīng)的特征向量為當(dāng)前15頁，總共87頁。對于二重特征值，由只解得唯一的特征向量為因此中只有一個(gè)Jordan塊，即求解，可得所需的廣義特征向量對重根有幾個(gè)特征向量，就有幾個(gè)約旦塊當(dāng)前16頁，總共87頁。綜合上述，可得當(dāng)前17頁，總共87頁。例4

用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型理論求解線性微分方程組當(dāng)前18頁，總共87頁。解：方程組的矩陣形式為這里當(dāng)前19頁，總共87頁。其中由上例，存在可逆線性變換使得當(dāng)前20頁，總共87頁。所以原方程組變?yōu)榧唇獾卯?dāng)前21頁，總共87頁。最后，由可逆線性變換得原方程組的解當(dāng)前22頁，總共87頁。例5

現(xiàn)代控制理論中，線性定常系統(tǒng)(Lineartimeinvariant,LTI)的狀態(tài)空間描述為這里矩陣表示了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量之間的聯(lián)系，稱為系統(tǒng)矩陣；矩陣稱為輸入矩陣或控制矩陣；矩陣稱為輸出矩陣或觀測矩陣；矩陣稱為直接觀測矩陣。當(dāng)前23頁，總共87頁。做可逆線性變換，則顯然，最簡單的就是的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。此時(shí)雖然沒有實(shí)現(xiàn)狀態(tài)變量間的完全解耦，但也達(dá)到了可能達(dá)到的最簡耦合形式。因此線性變換就是狀態(tài)空間的基底變換，其目的在于尋找描述同一系統(tǒng)的運(yùn)動行為的盡可能簡單的狀態(tài)空間描述。當(dāng)前24頁，總共87頁。求下列狀態(tài)方程的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：這里矩陣是特征多項(xiàng)式的友矩陣。當(dāng)前25頁，總共87頁。解：的特征值為，故設(shè)因?yàn)樘卣髦禐閱胃?，所以并從解得對?yīng)的特征向量為當(dāng)前26頁，總共87頁。只解得唯一的特征向量為對于二重特征值，由因此中只有一個(gè)Jordan塊，即求解，可得所需的廣義特征向量當(dāng)前27頁，總共87頁。綜合上述，可得當(dāng)前28頁，總共87頁。因此經(jīng)過可逆線性變換后，系統(tǒng)矩陣和控制矩陣分別為當(dāng)前29頁，總共87頁。例6

求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型和相應(yīng)的Jordan變換矩陣，其中當(dāng)前30頁，總共87頁。因?yàn)樘卣髦禐閱胃?，所以解：的特征值為，則并從解得對應(yīng)的特征向量為當(dāng)前31頁，總共87頁。對于三重特征值，由

解得兩個(gè)特征向量為因此中有兩個(gè)Jordan塊，即當(dāng)前32頁，總共87頁。求解，無解！！求解，可得所需的廣義特征向量綜合上述，可得綜合上述，可得當(dāng)前33頁，總共87頁。要特別當(dāng)心的是，如果選取三重特征值的特征向量為求解，無解??！求解，也無解！?。∵@說明，在選取特征值的個(gè)特征向量前述求法顯然存在有待深化。這說明，在選取特征值的個(gè)特征向量當(dāng)前34頁，總共87頁。三、Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的一般方法有非零解的最小正整數(shù)。根據(jù)前面的分析，這個(gè)最小正整數(shù)也就是相應(yīng)于特征值的最大Jordan塊的階數(shù)。設(shè)為復(fù)方陣的代數(shù)重?cái)?shù)為的特征值，為使得等式成立的最小正整數(shù)(稱為特征值的指標(biāo))，即使得當(dāng)前35頁，總共87頁。（3）計(jì)算。按此計(jì)算出的就是階Jordan塊的個(gè)數(shù)。不計(jì)順序，就唯一確定了相應(yīng)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。規(guī)定。（1）計(jì)算（2）計(jì)算直至出現(xiàn)當(dāng)前36頁，總共87頁。則則可得最長的Jordan鏈取滿足至于相應(yīng)的子矩陣的構(gòu)造，我們通過一個(gè)例子來說明。假定當(dāng)前37頁，總共87頁。這里對于另外兩條長為2的Jordan鏈，可這樣選?。寒?dāng)前38頁，總共87頁。例7

求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型和相應(yīng)的Jordan變換矩陣，其中當(dāng)前39頁，總共87頁。因?yàn)樘卣髦禐閱胃?，所以解：的特征值為，則并從解得對應(yīng)的特征向量為當(dāng)前40頁，總共87頁。對于三重特征值，計(jì)算得從而得最長的Jordan鏈解得非零向量當(dāng)前41頁，總共87頁。顯然線性無關(guān)。解得非零向量令當(dāng)前42頁，總共87頁。可以驗(yàn)證成立等式當(dāng)前43頁，總共87頁?！?、矩陣及其Smith標(biāo)準(zhǔn)型由于Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算需要特征值、特征向量及廣義特征向量的信息，因此與特征多項(xiàng)式關(guān)系密切。從函數(shù)的眼光看，特征多項(xiàng)式實(shí)際上是特殊的函數(shù)矩陣（元素是函數(shù)的矩陣），這就自然引出對矩陣的研究，并希望能籍此簡化Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的繁雜計(jì)算。當(dāng)前44頁，總共87頁。一、矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)型定義1稱矩陣為矩陣，其中元素

為數(shù)域上關(guān)于的多項(xiàng)式。定義2稱階矩陣是可逆的，如果有并稱為的逆矩陣。反之亦然。

注意與數(shù)字矩陣不同的是滿秩矩陣未必是可逆的。當(dāng)前45頁，總共87頁。定理3矩陣可逆的充要條件是其行列式為非零的常數(shù)，即定義4如果矩陣經(jīng)過有限次的初等變換化成矩陣，則稱矩陣與等價(jià)，記為定理5矩陣與等價(jià)的充要條件是存在可逆矩陣，使得當(dāng)前46頁，總共87頁。定理6任意階的矩陣都必定有一個(gè)與之等價(jià)的Smith標(biāo)準(zhǔn)型這里，非零對角元是首一（首項(xiàng)系數(shù)為1）多項(xiàng)式，并且當(dāng)前47頁，總共87頁。例7

求矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型，其中當(dāng)前48頁，總共87頁。解：對矩陣進(jìn)行初等變換，可得當(dāng)前49頁，總共87頁。當(dāng)前50頁，總共87頁。當(dāng)前51頁，總共87頁。當(dāng)前52頁，總共87頁。當(dāng)前53頁，總共87頁。即為所求的Smith標(biāo)準(zhǔn)型。當(dāng)前54頁，總共87頁。二、矩陣的性質(zhì)定義8矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型中的非零對角元

稱為的不變因子。這說明我們可以通過先求Smith標(biāo)準(zhǔn)型，再來確定不變因子。例7就是這么做的。當(dāng)前55頁，總共87頁。定義9矩陣的所有非零階子式的首一（最高次項(xiàng)系數(shù)為1）最大公因式

稱為的階行列式因子。定理10等價(jià)矩陣具有相同的秩和相同的各級行列式因子。當(dāng)前56頁，總共87頁。定理11

矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的，并且定理11說明我們可以用行列式因子來確定不變因子，從而得到唯一的Smith標(biāo)準(zhǔn)型。但行列式因子的計(jì)算復(fù)雜，所以通過初等變換求Smith標(biāo)準(zhǔn)型顯然“勝出”。這在線性代數(shù)中處理數(shù)字矩陣時(shí)也是如此。定理12矩陣與等價(jià)的充要條件是它們有相同的行列式因子（或相同的不變因子）。當(dāng)前57頁，總共87頁。定義13

將矩陣的所有非常數(shù)不變因子分解為互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）稱為的初等因子。例如例7中的不變因子為因此的初等因子為當(dāng)前58頁，總共87頁。例14

矩陣的不變因子為則矩陣的所有初等因子為當(dāng)前59頁，總共87頁。如果知道矩陣的所有初等因子，能否確定相應(yīng)的不變因子呢？等價(jià)矩陣的初等因子是否相同呢？下面的兩個(gè)矩陣的初等因子相同，但不變因子不相同，也不是等價(jià)矩陣，因?yàn)樗鼈兊闹炔幌嗟龋憾ɡ?5矩陣與等價(jià)的充要條件是它們有相同的初等因子，并且秩相等。當(dāng)前60頁，總共87頁。例16

求矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型，其中當(dāng)前61頁，總共87頁。解：對矩陣進(jìn)行初等變換，可得當(dāng)前62頁，總共87頁。當(dāng)前63頁，總共87頁。當(dāng)前64頁，總共87頁。即為所求的Smith標(biāo)準(zhǔn)型。當(dāng)前65頁，總共87頁。例16中的不變因子為因此的初等因子為反之，如果還知道的秩為3，則可知的三個(gè)不變因子，進(jìn)而可確定的Smith標(biāo)準(zhǔn)型，因此也可唯一確定相應(yīng)的Jordan塊，即：當(dāng)前66頁，總共87頁。總結(jié)等價(jià)不變因子或行列式因子相同初等因子相同秩相同當(dāng)前67頁，總共87頁。三、利用Smith標(biāo)準(zhǔn)型求Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理17兩個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價(jià)。定義18稱階數(shù)字矩陣的特征矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子為矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子。定理19兩個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子）。當(dāng)前68頁，總共87頁。不變因子或行列式因子相同初等因子相同

與等價(jià)

與相似

與的秩都為當(dāng)前69頁，總共87頁。定理20復(fù)數(shù)域上兩個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的初等因子。由定理20和例16可知，初等因子與階Jordan塊存在一一對應(yīng)關(guān)系。因此可利用特征矩陣的初等因子求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。當(dāng)前70頁，總共87頁。例21

求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，其中當(dāng)前71頁，總共87頁。解：對矩陣進(jìn)行初等變換，可得當(dāng)前72頁，總共87頁。當(dāng)前73頁，總共87頁。當(dāng)前74頁，總共87頁。因此的初等因子為從而所求Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為初等因子法的優(yōu)缺點(diǎn)都是不能求出Jordan變換矩陣。當(dāng)前75頁，總共87頁?！?、Cayley-Hamilton定理及其應(yīng)用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算復(fù)雜，而特征多項(xiàng)式與之關(guān)系密切。由于Cayley和Hamilton發(fā)現(xiàn)矩陣的特征多項(xiàng)式是矩陣的零化多項(xiàng)式（相當(dāng)于零因子式），因此類比多項(xiàng)式的帶余除法理論，以適當(dāng)?shù)牧慊囗?xiàng)式為商，將矩陣多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的余式，從而降低多項(xiàng)式的次數(shù)，就成了另一種思路。當(dāng)前76頁，總共87頁。一、Cayley-Hamilton定理定理1（Cayley-Hamilton定理）階方陣是其特征多項(xiàng)式的“根”，即定義2是關(guān)于的多項(xiàng)式。如果，則稱是矩陣的零化多項(xiàng)式。顯然矩陣的特征多項(xiàng)式是矩陣的一個(gè)零化多項(xiàng)式。當(dāng)前77頁，總共87頁。例3

求矩陣的矩陣多項(xiàng)式