水利工程測量測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識內(nèi)容豐富

水利工程測量

第6章

測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識主講教師：高飛3/14/2023

1合肥工業(yè)大學(xué)第6章測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識

§6.1概述§6.2測量誤差的種類§6.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)§6.4衡量觀測值精度的指標(biāo)§6.5誤差傳播定律§6.6同精度直接觀測平差§6.7不同精度直接觀測平差§6.8最小二乘法原理及其應(yīng)用

3/14/2023

2合肥工業(yè)大學(xué)

◆測量與觀測值

◆觀測與觀測值的分類

●觀測條件

●等精度觀測和不等精度觀測

●直接觀測和間接觀測

●獨(dú)立觀測和非獨(dú)立觀測§6.1測量誤差概述3/14/2023

3合肥工業(yè)大學(xué)§6.1測量誤差概述

◆測量誤差及其來源●測量誤差的來源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等

●

測量誤差的表現(xiàn)形式

●

測量誤差（真誤差=觀測值-真值）（觀測值與真值之差）（觀測值與觀測值之差）3/14/2023

4合肥工業(yè)大學(xué)例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差ld

計算改正

鋼尺溫度誤差lt

計算改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)

操作時抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C

操作時抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統(tǒng)誤差

——誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性。●系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。

(計算改正、觀測方法、儀器檢校)測量誤差分為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差§6.2測量誤差的種類1.粗差(錯誤)——超限的誤差3/14/2023

5合肥工業(yè)大學(xué)3.偶然誤差——誤差出現(xiàn)的大小、符號各不相同，表面看無規(guī)律性。

例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差，導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差。

●準(zhǔn)確度(測量成果與真值的差異）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●測量平差（求解最或是值并評定精度）4.幾個概念:

●精（密）度（觀測值之間的離散程度）3/14/2023

6合肥工業(yè)大學(xué)舉例:

在某測區(qū)，等精度觀測了358個三角形的內(nèi)角之和，得到358個三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差)，然后對三角形閉合差i

進(jìn)行分析。

分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯?！?.3偶然誤差的特性3/14/2023

7合肥工業(yè)大學(xué)3/14/2023

8合肥工業(yè)大學(xué)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律

圖6-1誤差統(tǒng)計直方圖3/14/2023

9合肥工業(yè)大學(xué)◆從誤差統(tǒng)計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤差的四個特性：特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性(4)具有實(shí)用意義。

3.偶然誤差的特性(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值(有界性)；(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多(趨向性)；(3)絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等(對稱性)；(4)當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零

(抵償性)：3/14/2023

10合肥工業(yè)大學(xué)偶然誤差具有正正態(tài)分布的特性性當(dāng)觀測次數(shù)n無限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d無限縮小(d→0)時，各矩形的頂頂邊就連成一條條光滑的曲線，，這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。圖6-1誤差統(tǒng)計直方圖圖3/7/202311合肥工業(yè)大學(xué)1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差

由正態(tài)分布密度函數(shù)式中、為常數(shù)；

=2.72828…x=y正態(tài)分布曲線(a=0)令：，上式為：§6.4衡量精度的指標(biāo)標(biāo)3/7/202312合肥工業(yè)大學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差的的數(shù)學(xué)意義表示的離散程度x=y較小較大稱為標(biāo)準(zhǔn)差：上式中，稱為方差：3/7/202313合肥工業(yè)大學(xué)測量工作中，用用中誤差作為衡量觀測值值精度的標(biāo)準(zhǔn)。。中誤差:觀測次數(shù)無限多多時，用標(biāo)準(zhǔn)差差表表示偶然誤差差的離散情形：：上式中，偶然誤差為觀測值與真值X之差：觀測次數(shù)n有限時，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形：i=i-

X3/7/202314合肥工工業(yè)大大學(xué)3/7/202315合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)m1小于m2,說明第一一組觀測測值的誤誤差分布布比較集中，其精度較高高；相對地地，第二二組觀測測值的誤誤差分布布比較離散，其精度較低低：m1=2.7是第一組組觀測值值的中誤誤差；m2=3.6是第二組組觀測值值的中誤誤差。3/7/202316合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)2.容許誤差差(極限誤差差)

根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：

將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|3/7/202317合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)3.相對誤差差(相對中誤誤差)——誤差絕對對值與觀觀測量之之比。用于表示示距離的精度。。用分子為為1的分?jǐn)?shù)表表示。分?jǐn)?shù)值較較小相對對精度較較高；分分?jǐn)?shù)值較較大相對對精度較較低。K2<K1，所以距離離S2精度較高高。例2：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。計算S1、S2的相對誤差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：3/7/202318合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)一.一般函數(shù)數(shù)的中誤誤差令的系數(shù)為，(c)式為：由于和是一個很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得對(a)全微分：(b)設(shè)有函數(shù)：為獨(dú)立觀測值設(shè)有真誤差，函數(shù)也產(chǎn)生真誤差(a)§6.5誤差傳播播定律3/7/202319合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)對Z觀測了k次，有k個式(d)對(d)式中的一個式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)對K個(e)式取總和：(f)3/7/202320合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)由偶然誤誤差的抵抵償性知知：(g)式最后一一項(xiàng)極小小于前面面各項(xiàng)，，可忽略不不計，則：<<前面各項(xiàng)即(h)3/7/202321合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)(h)考慮，，代入入上式，，得中誤誤差關(guān)系系式：(6-10)上式為一般函數(shù)數(shù)的中誤誤差公式式，也稱為為誤差傳播播定律。3/7/202322合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)通過以上上誤差傳傳播定律律的推導(dǎo)導(dǎo)，我們們可以總結(jié)結(jié)出求觀測值值函數(shù)中中誤差的的步驟：1.列出函數(shù)數(shù)式；2.對函數(shù)式式求全微微分；3.套用誤差差傳播定定律，寫寫出中誤誤差公式式。3/7/202323合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式(x為觀測值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點(diǎn)間長度=168.5mm0.2mm,計算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種常用函數(shù)數(shù)的中誤差3/7/202324合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)2.線性函數(shù)的中中誤差設(shè)有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設(shè)有某線性函數(shù)其中、、分別為獨(dú)立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。解：對上式全微分：由中誤差式得：3/7/202325合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術(shù)平均值的的中誤差式由于等精度觀測時，，代入上式：得由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

●對某觀測量進(jìn)進(jìn)行多次觀測測(多余觀測)取平均，是提高觀測成成果精度最有有效的方法。。3/7/202326合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)4.和或差函數(shù)的的中誤差

函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測時：上式可寫成：例：測定A、B間的高差，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

3/7/202327合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)觀測值函數(shù)中中誤差公式匯匯總

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

3/7/202328合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)誤差傳播播定律的的應(yīng)用用DJ6經(jīng)緯儀觀觀測三角角形內(nèi)角角時，每每個內(nèi)角角觀測4個測回取取平均，，可使得得三角形形閉合差差m15。例1：要求三角形最大閉合差m15，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？?=(1+2+3)-180解：由題意：2m=15,則m=7.5每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：3/7/202329合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)誤差傳播播定律的的應(yīng)用例2：試用中中誤差傳傳播定律律分析視視距測量量的精度度。解:(1)測量水平平距離的的精度基本公式式：求全微分分：水平距離離中誤差差：其中：3/7/202330合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)誤差傳播播定律的的應(yīng)用例2：試用中中誤差傳傳播定律律分析視視距測量量的精度度。解:(2)測量高差差的精度度基本公式式：求全微分分：高差中誤誤差：其中：3/7/202331合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)誤差傳播播定律的的應(yīng)用例3:(1)用鋼尺丈丈量某正正方形一一條邊長長為求該正方方形的周長S和面積A的中誤差差.解:(1)周長,(2)用鋼尺丈丈量某正正方形四四條邊的的邊長為為其中:求該正方方形的周長S和面積A的中誤差差.面積,周長的中中誤差為為全微分:面積的中中誤差為為全微分:3/7/202332合肥工工業(yè)大大學(xué)解:(1)周長和和面積積的中中誤差差分別別為例3:(2)用鋼尺尺丈量量某正正方形形四條條邊的的邊長長為其中:求該正正方形形的周長S和面積A的中誤誤差.(2)周長;周長的的中誤誤差為為面積得周長長的中中誤差差為全微分分:但由于于3/7/202333合肥工工業(yè)大大學(xué)▓觀測值值的算算術(shù)平平均值值(最或是是值)▓用觀測測值的的改正正數(shù)v計算觀觀測值值的中中誤誤差(即:白塞爾爾公式式)§6.6同（等等）精精度直直接觀觀測平平差3/7/202334合肥工工業(yè)大大學(xué)一.觀測值值的算術(shù)平平均值值(最或是是值、、最可可靠值值)證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：

設(shè)該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對某未知量進(jìn)行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為：x==1+2+···+nnn上式等號兩邊分別相加得和：L=3/7/202335合肥工業(yè)大學(xué)當(dāng)觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當(dāng)觀測次數(shù)無限多多時，觀測值的的算術(shù)平均值就就是該量的真值；當(dāng)觀測次數(shù)有限時時，觀測值的算術(shù)平均值最接近真值。所以，算術(shù)平平均值是最或是值。L≈X3/7/202336合肥工業(yè)大學(xué)觀測值改正數(shù)特特點(diǎn)二.觀測值的改正數(shù)數(shù)v：以算術(shù)平均值為為最或是值，并并據(jù)此計算各觀觀測值的改正數(shù)數(shù)v，符合[vv]=min的“最小二乘原則則”。Vi=L-i(i=1,2,···,n)特點(diǎn)1——改正數(shù)總和為零：對上式取和：以代入：通常用于計算檢核L=nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特點(diǎn)2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n3/7/202337合肥工業(yè)大學(xué)精度評定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號內(nèi)的部分是相等的，即在與中：精度評定——用觀測值的改正數(shù)數(shù)v計算中誤差一.計算公式(即白塞爾公式)：3/7/202338合肥工業(yè)大學(xué)證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式式根號內(nèi)內(nèi)相等對上式取取n項(xiàng)的平方方和由上兩式式得其中:3/7/202339合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)證明兩式式根號內(nèi)內(nèi)相等中誤差定義:白塞爾公式:3/7/202340合肥工業(yè)業(yè)大學(xué)解：該水平角角真值未知知，可用算術(shù)平均均值的改改正數(shù)V計算其中誤誤差：例：對某水平平角等精精度觀測測了5次，觀測測數(shù)據(jù)如如下表，，求其算術(shù)術(shù)平均值值及觀測測值的中中誤差。。算例1:次數(shù)觀測值VVV備注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245[V]=0[VV]=60764245±1.743/7/202341合肥工業(yè)大大學(xué)距離丈量精精度計算例例算例2：對某距離用用精密量距距方法丈量量六次，求求①該距離的的算術(shù)平均值；；②②觀測值的的中誤差；；③算算術(shù)平均值值的中誤差；；④算算術(shù)平均值值的相對中中誤差：：凡是相對中中誤差，都都必須用分分子為1的分?jǐn)?shù)表示示。3/7/202342合肥工業(yè)大大學(xué)§6.7不同精度直直接觀測平平差一、權(quán)的概概念權(quán)是權(quán)衡利利弊、權(quán)衡衡輕重的意意思。在測測量工作中中權(quán)是一個個表示觀測測結(jié)果可靠靠程度的相相對性指標(biāo)標(biāo)。1權(quán)的定義：：設(shè)一組不同同精度的觀觀測值為li,其中誤差為為mi(I=1,2…n)，選定任一大大于零的常常數(shù)λ，則定義權(quán)為為：稱Pi為觀測值li的權(quán)。3/7/202343合肥工業(yè)大大學(xué)1權(quán)的定義：：對于一組已已知中誤差差mi的觀測值值而言，，選定一一個大于于零的常常數(shù)λ值，就