理論力學(xué)課件六

第十四章動(dòng)能定理1§14–1力的功§14–2動(dòng)能§14–3動(dòng)能定理§14–4功率·功率方程§14–5勢(shì)力場(chǎng)·勢(shì)能·機(jī)械能守恒定理§14–6動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用第十四章動(dòng)能定理2與動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理用矢量法研究不同，動(dòng)能定理用能量法研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。能量法不僅在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式運(yùn)動(dòng)的橋梁。動(dòng)能定理建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量—?jiǎng)幽芎妥饔昧Φ奈锢砹俊χg的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。動(dòng)力學(xué)14-1力的功

力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。力的功是代數(shù)量。時(shí),正功；時(shí),功為零；時(shí),負(fù)功。單位：焦耳（Ｊ）；一．常力的功3二．變力的功

力在曲線路程中作功為（自然形式表達(dá)式）（矢量式）（直角坐標(biāo)表達(dá)式）動(dòng)力學(xué)元功：4三．合力的功質(zhì)點(diǎn)M受n個(gè)力作用合力為則合力的功即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。動(dòng)力學(xué)5四．常見(jiàn)力的功

1．重力的功質(zhì)點(diǎn)系：

質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)：重力在三軸上的投影：62．彈性力的功彈簧原長(zhǎng)，在彈性極限內(nèi)k—彈簧的剛度系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時(shí)所需的力。N/m,N/cm。。彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。動(dòng)力學(xué)7作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功等于力矩的功。若m=常量,則注意：功的符號(hào)的確定。3．萬(wàn)有引力的功萬(wàn)有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。動(dòng)力學(xué)如果作用力偶，m,且力偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸

4．作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功，力偶的功設(shè)在繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上M點(diǎn)作用有力，計(jì)算剛體轉(zhuǎn)過(guò)一角度時(shí)力所作的功。M點(diǎn)軌跡已知。8正壓力，摩擦力作用于瞬心C處，而瞬心的元位移(2)圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力的功(3)滾動(dòng)摩擦阻力偶m的功

5．摩擦力的功(1)動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功N=常量時(shí),W=–f′NS,與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。動(dòng)力學(xué)若m=常量則9五．質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功

只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。

不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等于零。動(dòng)力學(xué)10六．理想約束反力的功約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。1．光滑固定面約束2．活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承3．剛體沿固定面作純滾動(dòng)4．聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）5．柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）

動(dòng)力學(xué)拉緊時(shí)，內(nèi)部拉力力的元功之和恒等等于零。11§14-2動(dòng)能物體的動(dòng)能是由于于物體運(yùn)動(dòng)而具有有的能量，是機(jī)械械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的又一一種度量。一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能能動(dòng)力學(xué)瞬時(shí)量,與速度方向無(wú)關(guān)的正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位也是J。對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)系：（為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度）柯尼希定理12（P為速度瞬心）1．平動(dòng)剛體2．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體3．平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)三．剛體的動(dòng)能13§14-3動(dòng)能定理1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理理：因此動(dòng)能定理的微分形式將上式沿路徑積分，可得動(dòng)能定理的積分形式動(dòng)力學(xué)兩邊點(diǎn)乘以，有14對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)質(zhì)點(diǎn)：：即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理可寫(xiě)成以下的形式動(dòng)力學(xué)對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定定理將上式沿路徑積積分，可可得15[例1]圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問(wèn)下落距離h時(shí)重物的速度與與加速度。(繩重不不計(jì)，，繩不不可伸伸長(zhǎng)，，盤B作純滾滾動(dòng)，，初始始時(shí)系系統(tǒng)靜靜止)動(dòng)力學(xué)學(xué)16解：取系系統(tǒng)為為研究究對(duì)象象上式求求導(dǎo)得得：動(dòng)力學(xué)學(xué)17動(dòng)能定定理的的應(yīng)用用練習(xí)習(xí)題1．圖示示的均均質(zhì)桿桿OA的質(zhì)量量為30kg，桿在鉛鉛垂位位置時(shí)時(shí)彈簧簧處于于自然然狀態(tài)態(tài)。設(shè)設(shè)彈簧簧常數(shù)數(shù)k=3kN/m，為使桿桿能由由鉛直直位置置OA轉(zhuǎn)到水水平位位置OA'，在鉛直直位置置時(shí)的的角速速度至至少應(yīng)應(yīng)為多多大？？解：研究究OA桿由動(dòng)力學(xué)學(xué)182．行星星齒輪輪傳動(dòng)動(dòng)機(jī)構(gòu)構(gòu),放在水水平面面內(nèi)。。動(dòng)動(dòng)齒輪輪半徑徑r,重P,視為均均質(zhì)圓圓盤；；曲柄柄重Q,長(zhǎng)l,作用一一力偶偶,矩為M(常量),曲柄由由靜止止開(kāi)始始轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)；求求曲曲柄的的角速速度(以轉(zhuǎn)角角的函數(shù)數(shù)表示示)和角加加速度度。動(dòng)力學(xué)學(xué)解：取整整個(gè)系系統(tǒng)為為研究究對(duì)象象根據(jù)動(dòng)能定理，得將式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)數(shù)，得得193．兩根根均質(zhì)質(zhì)直桿桿組成成的機(jī)機(jī)構(gòu)及及尺寸寸如圖圖示；；OA桿質(zhì)量量是AB桿質(zhì)量量的兩兩倍，，各處處摩擦擦不計(jì)計(jì)，如如機(jī)構(gòu)構(gòu)在圖圖示位位置從從靜止止釋放放，求求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)時(shí)，AB桿B端的速度。動(dòng)力學(xué)解：取整個(gè)系統(tǒng)為研研究對(duì)象20§14-4功率·功率方程

一．功率：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時(shí)性。作用力的功率：力矩的功率：功率的單位位：瓦特（（W），千瓦（kW），１W=１J/s。動(dòng)力學(xué)21二．功率方程：由的兩邊同除以dt得動(dòng)力學(xué)分析：起動(dòng)階段（加速）：即制動(dòng)階段（減速）：即穩(wěn)定階段（勻速）：即機(jī)器穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，機(jī)械效率是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量量?jī)?yōu)劣的重要指指標(biāo)之一。一般般情況下＜１。22§14-5勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、、機(jī)械能守恒定定律一．勢(shì)力場(chǎng)1．力場(chǎng)：若質(zhì)點(diǎn)在某空空間內(nèi)的任何位位置都受到一個(gè)個(gè)大小和方向完完全由所在位置置確定的力的作作用，則此空間間稱為力場(chǎng)。動(dòng)力學(xué)重力場(chǎng)、萬(wàn)有引引力場(chǎng)、彈性力力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)場(chǎng)。質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中中受到的場(chǎng)力稱稱為有勢(shì)力(保守力),如重力、彈力等等。2．勢(shì)力場(chǎng)：在力場(chǎng)中,如果作用于質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的場(chǎng)力作功只只決定于質(zhì)點(diǎn)的的始末位置，與與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)關(guān)，這種力場(chǎng)稱稱為勢(shì)力場(chǎng)。23二．勢(shì)能在勢(shì)力場(chǎng)中,質(zhì)點(diǎn)從位置M運(yùn)動(dòng)到任選位置置M0,有勢(shì)力所作的功功稱為質(zhì)點(diǎn)在位位置M相對(duì)于位置M0的勢(shì)能，用V表示。M0作為基準(zhǔn)位置，，勢(shì)能為零，稱稱為零勢(shì)能點(diǎn)。。勢(shì)能具有相對(duì)對(duì)性。是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。等勢(shì)面：質(zhì)點(diǎn)位位于該面上任何何地方，勢(shì)能都都相等。質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能：動(dòng)力學(xué)241.重力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)系：2.彈性力場(chǎng)：取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)3.萬(wàn)有引力場(chǎng)：取與引力中心相距無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能位置有勢(shì)力的功等于于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)動(dòng)的始末位置的的勢(shì)能之差。動(dòng)力學(xué)三．有勢(shì)力的功在M1位置：

M2位置：M1→M2：25設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只受到到有勢(shì)力(或同時(shí)受到不作作功的非有勢(shì)力力)作用，則—機(jī)械能守恒定律對(duì)非保守系統(tǒng)，設(shè)非保守力的功為W12'

,則有動(dòng)力學(xué)四．機(jī)械能守恒恒定律機(jī)械能：系統(tǒng)的的動(dòng)能與勢(shì)能的的代數(shù)和。這樣的系統(tǒng)成為為保守系統(tǒng)。[例1]長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。26解：由于水平方向向不受外力，且初始靜止，故故質(zhì)心C鉛垂下降。由于約束反力不不作功,主動(dòng)力為有勢(shì)力力，因此可用機(jī)械能能守恒定律求解解。由機(jī)械能守恒定律：將代入上式，化簡(jiǎn)后得動(dòng)力學(xué)初瞬時(shí)：任一瞬時(shí)：27§14-6動(dòng)力學(xué)普遍定理理及綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定定理、動(dòng)量矩定定理和動(dòng)能定理理。動(dòng)量定理和動(dòng)量量矩定理是矢量量形式，動(dòng)能定定理是標(biāo)量形式式，他們都可應(yīng)應(yīng)用研究機(jī)械運(yùn)運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定定理還可以研究究其它形式的運(yùn)運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化問(wèn)問(wèn)題。動(dòng)力學(xué)普遍定理理提供了解決動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一一般方法。動(dòng)力力學(xué)普遍定理的的綜合應(yīng)用，大大體上包括兩方方面的含義：一是能根據(jù)問(wèn)題題的已知條件和和待求量，選擇擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬笄蠼?，包括各種種守恒情況的判判斷，相應(yīng)守恒恒定理的應(yīng)用。。避開(kāi)那些無(wú)關(guān)關(guān)的未知量，直直接求得需求的的結(jié)果。二是對(duì)對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)問(wèn)題，能根據(jù)需需要選用兩、三三個(gè)定理聯(lián)合求求解。求解過(guò)程中,要正確進(jìn)行運(yùn)運(yùn)動(dòng)分析,提供正確的運(yùn)運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方方程。動(dòng)力學(xué)28舉例說(shuō)明動(dòng)力力學(xué)普遍定理理的綜合應(yīng)用用：[例1]兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長(zhǎng)為l，在C處光滑鉸接，，置于光滑水水平面上；設(shè)設(shè)兩桿軸線始始終在鉛垂面面內(nèi)，初始靜靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的的速度。動(dòng)力學(xué)29討論動(dòng)量守恒恒定理＋動(dòng)能能定理求解。。計(jì)算動(dòng)能能時(shí)，利用平平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。。動(dòng)力學(xué)解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以不拆開(kāi)。研究對(duì)象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。代入動(dòng)能定理理：30[例2]均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜斜面。斜面傾傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動(dòng)動(dòng)，系統(tǒng)初始始靜止。求：：滑塊的加速速度。動(dòng)力學(xué)解：選系統(tǒng)為為研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：由動(dòng)能定理：對(duì)ｔ求導(dǎo)，得31[例3]重150N的均質(zhì)圓盤與與重60N、長(zhǎng)24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接接。系統(tǒng)由由圖示位置無(wú)無(wú)初速地釋放放。求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低低位置B'點(diǎn)時(shí)的速度及及支座A的約束反力。。解：（1）取圓盤為研研究對(duì)象，圓盤平動(dòng)。動(dòng)力學(xué)32（2）用動(dòng)能定理理求速度。取系統(tǒng)研究。。初始時(shí)T1=0，最低位置時(shí)：：代入數(shù)據(jù)，得動(dòng)力學(xué)33（3）用動(dòng)量矩定定理求桿的角角加速度。由于所以＝0。動(dòng)力學(xué)桿質(zhì)心C的加速度：盤質(zhì)心加速度度：（4）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)定理求支座座反力。研究整個(gè)系統(tǒng)統(tǒng)。代入數(shù)據(jù)，得得34相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩守守恒定理+動(dòng)能定理+動(dòng)量矩定理+質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理?？捎脤?duì)積分形式的的動(dòng)能定理求導(dǎo)計(jì)計(jì)算，但要注意需取取桿AB在一般位置進(jìn)行分析析。動(dòng)力學(xué)

[例4]

基本量計(jì)算(動(dòng)量,動(dòng)量矩,動(dòng)能)35[例５]質(zhì)量為m的桿置于兩個(gè)半徑為r，質(zhì)量為的實(shí)心圓柱上，圓柱放在水平面上，求當(dāng)桿上加水平力時(shí)，桿的加速度。設(shè)接觸處都有摩擦，而無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。動(dòng)力學(xué)