小升初數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題解析

小學(xué)數(shù)學(xué)典型用題小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實際問題用語言或文字?jǐn)⑹龀?，這樣所形成的題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問題（簡稱問題）。應(yīng)用題的條件和問題，組成了應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。應(yīng)用題可分為一般應(yīng)用題與典型應(yīng)用題。沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運算的應(yīng)用題，叫做一般應(yīng)用題。題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系，可以用特定的步驟和方法解答的應(yīng)用題，叫做典型應(yīng)用題。這本資料主要研究以下30典型應(yīng)用題：、歸一問題、歸總問題、和差問題、和倍問題、差倍問題

、行船問題12、列車問題13、時鐘問題14、盈虧問題15、工程問題

、方陣問題、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構(gòu)圖布數(shù)問題、倍比問題

16、正反比例問題26、幻方問題、相遇問題、追及問題

17、按比例分配18、百分?jǐn)?shù)問題

27、抽屜原則問題28、公約公倍問題、植樹問題、年齡問題

19、“牛吃草”問題29、最值問題20、雞兔同籠問題30、列方程問題1

歸一問題【含義】

在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。【數(shù)量關(guān)】【解題思路和方法】

總量÷份＝1份數(shù)量1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所幾份的數(shù)另一總量（總量÷份數(shù)）＝所份數(shù)先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例1

買5支鉛筆要0.6錢，買同樣的鉛筆16，需要多少錢？解（）買1支鉛筆多少錢？0.6÷5＝0.12元）（2買支鉛筆需要多少錢？（元）列成綜合算式（元）答：需要元。例23拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計算，5拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？

解（）1臺拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？90÷3÷3公頃））5臺拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？10×5×6（公頃）列成綜合算式公頃）答：5臺拖拉機(jī)6天耕地300公頃。例35汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的汽車運送噸鋼材，需要運幾次？解（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？100÷5÷4（噸））7輛汽車次能運多少噸鋼材？5×7＝35噸）（3噸材輛汽車需要運幾次？105÷35（次）列成綜合算式（100÷5÷4×7）（次）答：需要運次。2

歸總問題【含義】

解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等?！緮?shù)量關(guān)】1份數(shù)量×份數(shù)＝總量總量÷數(shù)量＝份數(shù)總量÷另份數(shù)＝另一每份數(shù)量【解題思路和方法】

先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例1

服裝廠原做一套衣服用布米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布米。原做套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解）這批布總共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）（2現(xiàn)在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）列成綜合算式3.2×791÷2.8＝904（套）答：現(xiàn)在可以做904套。例2《紅巖》？

小華每天讀24頁書天讀完了《紅巖》一書。小明每天6書，幾天可以讀完解）《紅巖》這本書總共多少頁？24×12（頁））小明幾天可以讀完《紅巖》？288÷36＝8天）列成綜合算式24×12÷36＝8（天）答：小明8天可以讀完《紅巖》。例3

食堂運一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，天慢慢消費完這批蔬菜。后根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？解）這批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500千克）（2這批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10＝25（天）列成綜合算式50×30÷（50＋10＝1500÷60＝25（天）

答：這批蔬菜可以吃天。3

和差問題【含義】

已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題。【數(shù)量關(guān)系】

大數(shù)＝（和＋差）÷2

小數(shù)＝（和－差）÷2【解題思路和方法】

簡單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。例1

甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6，求兩班各有多少人？解

甲班人數(shù)＝（98）÷2＝52人）乙班人數(shù)＝（98－6＝46（人）例2

答：甲班有52人，乙班有46人。長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2米，求長方形的面積。解

長＝（18＝10（厘米）寬＝（18－2）÷2＝8厘米）長方形的面積＝10×8平方厘米）答：長方形的面積為80方厘米。例3

有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解

甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（－30）＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量＝（22＋2＝12（千克）丙袋化肥重量＝（22－2＝10（千克）乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20克，丙袋化肥重10千克。例4

甲乙兩車原共裝蘋果97筐，從甲車取下筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多筐，兩車原各裝蘋果多少筐？解“從甲車取下筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（），甲與乙的和是，因此甲車筐數(shù)＝（97＋14×2＋3＝64（筐）乙車筐數(shù)＝97－64＝33（筐）答：甲車原裝蘋果64筐，乙車原裝蘋果33。4

和倍問題【含義】

已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題?！緮?shù)量關(guān)】

總和÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù)總和－較小的數(shù)＝較大數(shù)較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1例2例3

果園里有杏樹和桃樹共棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹3，求杏樹、桃樹各多少棵？解（1）杏樹有多少棵？＋1）＝62（棵）（2）桃樹有多少棵？（棵）答：杏樹有62，桃樹有186棵。東西兩個倉庫共存糧噸是西庫存糧數(shù)的倍糧多少噸？解（1）西庫存糧數(shù)＝（1.4＋1）＝200噸）（2）東庫存糧數(shù)＝480－200（噸）答：東庫存糧280噸，西庫存糧噸。甲站原有車52輛，乙站原有車32，若每天從甲站開往乙站輛，從乙站開往甲站24，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的倍？解

每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站（－24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就2倍量，兩站的車輛總數(shù)＋32）就相當(dāng)于（）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（52＋32）÷（2）＝28（輛）所求天數(shù)為（52－28）÷（28－24）（天）答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。例4

甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的少，丙比甲的3倍多，求三數(shù)各是多少？解

乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為倍量。因為乙比甲的2倍少，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的；又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的倍；這時（）就相當(dāng)于（）倍。那么，甲數(shù)＝）÷）乙數(shù)＝丙數(shù)＝答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52丙數(shù)是。5

差倍問題【含義】

已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。【數(shù)量關(guān)】【解題思路和方法】

兩個數(shù)的÷（幾倍－）＝較小的數(shù)較小的數(shù)幾倍＝較大的數(shù)簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1

果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的倍樹比杏樹多124棵多少棵？解）杏樹有多少棵？－1）＝62（棵）

）桃樹有多少棵？（棵）答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。例2

爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？例3

解）兒子年齡＝（4）（歲））爸爸年齡＝＝36（歲）答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9。商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2還多12元，又知本月盈利比上月盈利多30元，求這兩個月盈利各是多少萬元？解

如果把上月盈利作為1量，則（30－12）萬元就相當(dāng)于上月盈利的（）倍，因此例4

上月盈利＝（30－12）÷）（萬元）本月盈利＝18＋30＝48（萬元）答：上月盈利是萬元，本月盈利是48萬元。糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？解

由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等剩下的數(shù)量差等于原的數(shù)量－94把幾天后剩下的小麥看作量，則幾天后剩下的玉米就3倍量，那么，－94）就相當(dāng)于－1倍，因此剩下的小麥數(shù)量＝－94）÷）＝22（噸）運出的小麥數(shù)量＝94－22＝72（噸）運糧的天數(shù)＝72÷9＝8（天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。6

倍比問題【含義】

有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。【數(shù)量關(guān)】總量÷一個數(shù)量＝數(shù)另一個數(shù)×倍數(shù)＝另一總量【解題思路和方法】

先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽千克，可以榨油多少？解）3700千克是千克的多少倍？3700÷100＝37（倍））可以榨油多少千克？（千克）列成綜合算式）＝1480（千克）答：可以榨油1480千克。例2植樹多少棵？

今年植樹節(jié)這天，某小300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全48000師生共

解）48000是名的多少倍？48000÷300＝160（倍）（2共植樹多少棵？400×160（棵）列成綜合算式400×（48000÷300）（棵）答：全縣48000名師生共植樹64000棵。例3

鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人4果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800果園共收入多少元？全縣畝果園共收入多少元？解）800是4畝的幾倍？800÷4（倍））800畝收入多少元？11111×200＝2222200元）（3）16000是800畝的幾倍？16000÷800倍）（4）16000收入多少元？2222200×20＝44444000元）答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入元。7

相遇問題【含義】【數(shù)量關(guān)】

兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行中相遇應(yīng)用題叫做相遇問題。相遇時間總路程÷（甲速＋乙）總路程＝甲速＋乙速）×相遇間【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1

南京到上海的水路長千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28米，從上海開出的船每小時行米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？解（28＋21）（小時）答：經(jīng)過8小時兩船相遇。例2

小李和小劉在周長為米的環(huán)形跑道上跑步每秒鐘跑米每秒鐘跑米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？解“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為相遇時間＝（400×2）÷）（秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。例3

甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。解“兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點米，就是說甲比乙多走的路程是（）千米，因此，相遇時間＝（3×2）÷－13）（小時）兩地距離＝（15＋13＝84（千米）答：兩地距離是米。8

追及問題

【含義】

兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關(guān)】【解題思路和方法】

追及時間追及路程÷（快速－速）追及路程（快速－慢速）×追時間簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1

好馬每天走千米，劣馬每天走75米，劣馬先走，好馬幾天能追上劣馬？解）劣馬先走12能走多少千米？75×12千米）（2好馬幾天追上劣馬？900÷－75）＝20（天）列成綜合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好馬20能追上劣馬。例2

小明和小亮在米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈40，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解

小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，200米，此時小亮跑了）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑米用秒，則跑米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是－200］＝300÷100＝3米）答：小亮的速度是每秒米。例3

我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22接到命令，以每小時30米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？解

敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是［×（22－6］千米，甲乙兩地相距千米。由此推知追及時間＝［10×（22）＋60］÷－10）＝220÷20小時）答：解放軍在時后可以追上敵人。例4

一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40米，兩車在距兩站中點米處相遇，求甲乙兩站的距離。解

這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題解決。從題中可知客車落后于貨車（千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為16×2÷（48－40＝4小時）所以兩站間的距離為（48＋40＝352千米）列成綜合算式（48＋40）×（48－40］＝88×4＝352千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。

例5

兄妹二人同時由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？解

要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為180×2÷（90－60）＝12（分鐘）家離學(xué)校的距離為90×12－180＝900（米）答：家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。例6

孫亮打算上課前分鐘到學(xué)校，他以每小時4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時上課。后算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原步行早鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。解

手表慢了分鐘，就等于晚出發(fā)分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（－5分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了（）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行米，跑步比步行少用［－（10）］分鐘。所以步行1千米所用時間為－（10－5）］＝0.25（小時）（分鐘）跑步1千米所用時間為－－（10）］＝11（分鐘）跑步速度為每小時／60（千米）答：孫亮跑步速度為每小時千米。千那跑5那4走4跑分那求分千你千分有15分分看2條5小

9

植樹問題【含義】

按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題?！緮?shù)量關(guān)】

線形植樹

棵數(shù)＝距÷棵距＋環(huán)形植樹棵數(shù)＝距÷棵距方形植樹棵數(shù)＝距÷棵距－三角形植棵數(shù)＝距÷棵距－面積植樹

棵數(shù)＝面÷（棵距×行距）【解題思路和方法】

先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例1例2例3照明燈？例4

一條河堤米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解136÷2＋1＝68＝69（棵）答：一共要栽69垂柳。一個圓形池塘周長為米，在岸邊每4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解400÷4（棵）答：一共能栽100棵白楊樹。一個正方形的運動場，每邊220米，每8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個解220×4÷8＝110－4＝106（個）答：一共可以安裝106個照明燈。給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？解）＝96÷0.24＝400塊）答：至少需要400塊地板磚。例5

一座大橋長米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解）橋的一邊有多少個電桿？＝11（個））橋的兩邊有多少個電桿？＝22（個））大橋兩邊可安裝多少盞路燈？＝44（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。10

年齡問題【含義】

這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化?！緮?shù)量關(guān)】年齡問題往往與和、和倍、差倍問題著密切聯(lián)，尤其與差倍問題的解題思路是一致的要緊緊抓住“年齡差變”這個特點?！窘忸}思路和方法】

可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。

例1例2

爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解＝7倍）（35+1）÷（5+1（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的7，明年爸爸的年齡是亮亮的。母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解）母親比女兒的年齡大多少歲？＝30（歲））幾年后母親的年齡是女兒的倍？30÷（4）（年）列成綜合算式（37－7（4－1）－7＝3年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。33年前父子的年齡和歲的年齡是兒子年齡4多少歲？解

今年父子的年齡和應(yīng)該比年前增加（3×2）歲，今年二人的年齡和為＋3×2（歲）把今年兒子年齡作為1量，則今年父子年齡和相當(dāng)于）倍，因此，今年兒子年齡為55÷（4）＝11（歲）今年父親年齡為＝44（歲）答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。例4

甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4”。乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)將是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解：這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將某一年。列表分析：過去某一今

將某一年年

年甲

□

△歲61歲

歲乙

4歲□歲△歲表中兩個“□”表示同一個數(shù)，兩個“△”表示同一個數(shù)。因為兩個人的年齡差總相等：□＝△－□＝61△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比大3個年齡差，因此二人年齡差為（61－4＝19（歲）甲今年的歲數(shù)為△＝61－19＝42（歲）乙今年的歲數(shù)為□＝42－19＝23（歲）答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是歲。11

行船問題

【含義】

行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關(guān)】（順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝船速（順?biāo)伲嫠俣龋?＝水速順?biāo)伲剿佟?－水速＝逆速＋水速×2逆水速＝速×2－水速＝順?biāo)伲佟?【解題思路和方法】

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1程需用幾小時？

一只船順?biāo)星仔栌?小時，水流速度為每小時千米，這只船逆水行這段路解

由條件知，順?biāo)伲酱伲伲剑贋槊啃r15米，所以，船速為每小時320÷8－15＝25（千米）船的逆水速為－15＝10千米）船逆水行這段路程的時間為（小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。例2

甲船逆水行千米需18時，返回原地需小時；乙船逆水行同樣一段距離需小時，返回原地需多少時間？解由題意得

甲船速＋水速＝＝36甲船速－水速＝可見（36－20）相當(dāng)于水速的倍，所以，

水速為每小時（36－20（千米）又因為，乙船速－水速＝360÷15，所以，

乙船速為360÷15＝32（千米）乙船順?biāo)贋椋?0（千米）所以，

乙船順?biāo)叫?60千米需要（小時）答：乙船返回原地需要小時。例3

一架飛機(jī)飛行在兩個城市之間，飛機(jī)的速度是每小576千米，風(fēng)速為每小24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時？解

這道題可以按照流水問題解答。（1）兩城相距多少千米？（576）×3＝1656（千米））順風(fēng)飛回需要多少小時？1656÷）（小時）

12

列成綜合算式［－24）×3］÷（576＋24）＝2.76（小時）答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要2.76小時。列車問題【含義】【數(shù)量關(guān)】

這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度?；疖囘^橋過橋時間＝（車長＋長）÷車速火車追及追及時間＝（車長＋乙車長＋距）÷（甲車－乙車速）火車相遇相遇時間＝（車長＋乙車長＋距）÷（甲車＋乙車速）【解題思路和方法】

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1

一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解

火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。）火車鐘行多少米？900×3＝2700米））這列火車長多少米？＝300米）列成綜合算式＝300（米）答：這列火車長300米。例2的長度是多少米？

一列長米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用2分5秒鐘時間，求大橋解

火車過橋所用的時間是分5秒＝125，所走的路程是（）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為例3

8×125－200＝800（米）答：大橋的長度是800米。一列長米的慢車以每秒17的速度行駛，一列140米的快車以每秒米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解

從追上到追過，快車比慢車要多行225＋140）米，而快車比慢車每秒多行－17）米，因此，所求的時間為例4

＋140（22－17）（秒）答：需要73。一列長米的列車以每秒22的速度行駛，有一個扳道工人以每秒米的速度迎面走，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？解

如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。＋3（秒）答：火車從工人身旁駛過需要鐘。

例5

一列火車穿越一條長的隧道用了秒，以同樣的速度通過一條長米的大橋用了58。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解

車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋冢?8－58）秒的時間內(nèi)行駛了（）米的路程，因此，火車的車速為每秒（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）進(jìn)而可知，車長和橋長的和為（）米，因此，車長為25×58－1250（米）答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。13

時鐘問題【含義】

就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60等。時鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關(guān)】

分針的速是時針的12倍，二者的速差為11/12。通常按追及問題對待，也可以按差倍問題計算?！窘忸}思路和方法】

變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1解

從時針指向點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走）4整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為20÷（1－1/12）≈（分）答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2

四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解

鐘面上有格，它的是格，因而兩針成直角的時候相差15（包括分針在時針的前或后15兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4＋15）格。再根據(jù)鐘分針比時針多走（－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。（5×4－15）÷（1－1/12≈6（分）（5×4＋15）÷（1－1/12≈（分）答：4點分及點38時兩針成直角。例3

六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解

六點整的時候，分針在時針后），分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（5×6）÷（1－1/12）≈（分）答：6點分的時候分針與時針重合。14

盈虧問題

【含義】

根據(jù)一定的人數(shù)定的物品分配中有或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。【數(shù)量關(guān)】

一般地說在兩次分配中，如果次盈，一次虧，則：參加分配人數(shù)＝（盈＋虧）÷配差如果兩次盈或都虧，則有：參加分配人數(shù)＝（大盈－小盈÷分配差參加分配人數(shù)＝（大虧－小虧÷分配差【解題思路和方法】

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1

給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分個就余11；若每人分4就少個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解

按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1有小朋友多少人？）÷（4）＝12（人）（2有多少個蘋果？3×12＋11＝47（個）答：有小朋友人，有個蘋果。例2

修一條公路，如果每天260米，修完全長就得延8天；如果每天300，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解

題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為（260×8－300×4）÷（300－260）（天）這條路全長為（22＋4＝7800（米）答：這條路全長7800。例3

學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下人；如果每輛車坐人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解15

本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有）有多少車？（30）÷（45－40）（輛））有多少人？＋30（人）答：有6車，有人。工程問題【含義】

工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)】

解答工程題的關(guān)鍵是把工作總看作“”，這樣工作效率就是工作時的倒數(shù)（它示單位時間內(nèi)完成工總量的幾分之幾）進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、作效率、工作時間三者之間的關(guān)列出算式。工作量＝作效率×工作時間

工作時間工作量÷工作效率工作時間總工作量÷（甲工作率＋乙工作效率）【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1需要幾天完成？

一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要天完成，現(xiàn)在兩隊合作，解

題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“”。由于甲隊獨做需天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（＋1/15）。由此可以列出算式：（1/10＋1/15）＝1÷1/6（天）答：兩隊合做需要6天完成。例2

一批零件，甲獨6小時完成，乙獨8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24，求這批零件共有多少個？解

設(shè)總工作量為1每小時完成1/6小時完成1/8乙每小時多完二人合做時每小時完成（＋1/8）。因為二人合做需要［1÷＋1/8］小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24零件，所以（1每小時甲比乙多做多少零件？［1÷＋1/8］（個）（2這批零件共有多少個？（1/6－1/8）＝168（個）答：這批零件共有168個。解二

上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為∶3由此可知，甲比乙多完成總工作量的－3/4＋3所以，這批零件共有24÷1/7＝168個）例3

一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做小時完成，丙獨做小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解

必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)，則甲乙丙三人的工作效率分別是60÷12＝560÷10＝660÷15因此余下的工作量由乙丙合做還需要（60－5×2）÷（6）＝5小時）答：還需要小時才能完成。例4

一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開個進(jìn)水管時，需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開進(jìn)水管時，需要時才能注滿水池；現(xiàn)在要用小時將水池注滿，至少要打開多少個進(jìn)水管？

解

注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2時內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進(jìn)水管每小時注水量為1，則4個進(jìn)水管小時注水量為（）個進(jìn)水管15時注水量為（1×2×15），從而可知每小時的排水量為（1×2×15－1×4×5（15）＝1即一個排水管與每個進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為1×4×5－1×5＝15又因為在2小時內(nèi)，每個進(jìn)水管的注水量為所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進(jìn)水管？（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（個）答：至少需要9個進(jìn)水管。16

正反比例問題【含義】兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用?！緮?shù)量關(guān)】

判斷正比或反比例關(guān)系是解這應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比問題去解決，而且比簡捷?！窘忸}思路和方法】性質(zhì)去解應(yīng)用題。

解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1

修一條公路，已修的是未修的1/3，再修米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解

由條件知，公路總長不變。原已修長度∶總長度＝1∶＋3∶4現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶＋2∶3比較以上兩式可知當(dāng)作份米相當(dāng)長為300÷（4）×12＝3600（米）答：這條公路總長3600。例2解

張晗做道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系

設(shè)分鐘可以做應(yīng)用題

則有＝91∶例3就可以看完？

＝91×4＝13答：分鐘可以做應(yīng)用題。孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天頁天看完，如果每天頁，幾天解

書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)天可以看完，就有∶36＝∶15＝24×15＝10答：10天就可以看完。例4

一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。A

252036B16解

由面積÷寬＝長可知，當(dāng)長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，∶36＝20∶B＝20∶16解這兩個比例，得所以，大矩形面積為＋36＋25＋20＋16＝162答：大矩形的面積是16217

按比例分配問題【含義】

所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)】份數(shù)＝比前后項之和

從條件看已總量和幾部分量的比從問看求幾個部分量各是多少

總【解題思路和方法】

先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1

學(xué)校把植樹棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班一班有人有，三班有45，三個班各植樹多少棵？解

總份數(shù)為一班植樹560×47/140＝188棵）二班植樹560×48/140＝192棵）

例2多少厘米？

三班植樹560×45/140＝180棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、棵、棵。用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形角形三條邊的比是3∶4∶5條邊的長各是解＋460×3/12厘米）60×4/12＝20（厘米）60×5/12＝25（厘米）答：三角形三條邊的長分別是15厘米、厘米、25厘米。例3

從前有個牧民，臨死前留下遺言，要只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)1/2二兒子分總數(shù)的1/3三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解

如果用總數(shù)乘以分率的方法解答然得不到符合題意的整數(shù)解果用按比例分配的方法解，則很容易得到＝9∶2＋2＝1717×9/1717×2/17答：大兒子分得只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4間共多少人？

某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比，第一車間比第二車間人，三個車人

數(shù)

人

一共多少人？對應(yīng)的份數(shù)

－8

＋2118

解80÷（12－8）×＋12＋21）（人）答：三個車間一共820人。百分?jǐn)?shù)問題【含義】

百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ帧⒓s分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表率數(shù)的分子母必須是自然數(shù)百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)分?jǐn)?shù)有一個專門的記在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%【數(shù)量關(guān)】

掌握“百數(shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“較量”三者之間的量關(guān)系：百分?jǐn)?shù)＝較量÷標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量＝較量÷百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】（1（2（3

一般有三種基本類型：求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。

例1分之幾？

倉庫里有一批化肥，用去千克，剩下千克，用去的與剩下的各占原重量的百解）用去的占720÷（720＋6480）剩下的占6480÷＋6480）答：用去了10%，剩下幾？較量幾？之幾？

例2解例3解例4

紅旗化工廠有男職工人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比所以）÷525＝0.2＝20%或者1－420÷525＝0.2答：男職工人數(shù)比女職工少20%。紅旗化工廠有男職工人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此（525－420＝0.25＝25%或者＝0.25答：女職工人數(shù)比男職工多25%。紅旗化工廠有男職工人，有女職525，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分解）男職工占＋525＝44.4%）女職工占525÷＋525＝0.556答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占例5

百分?jǐn)?shù)又百分率，百分率在工業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣，常見的分率有：增長率＝長數(shù)÷原基數(shù)×100%合格率＝格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)100%出勤率＝際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤數(shù)×100%出勤率＝際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤數(shù)×100%缺席率＝席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)100%發(fā)芽率＝芽種子數(shù)÷試驗種子數(shù)×100%成活率＝活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)100%出粉率＝粉重量÷小麥重量×100%出油率＝的重量÷油料重量×100%廢品率＝品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)×100%命中率＝中次數(shù)÷總次數(shù)×100%烘干率＝干后重量÷烘前重量100%及格率＝格人數(shù)÷參加考試人×100%

19“牛吃草”問題【含義】“牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。【數(shù)量關(guān)】

草總量＝有草量＋草每天生長×天數(shù)?！窘忸}思路和方法】

解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。例1天可以把草吃完？解

一塊草地頭牛20天可以把草吃完頭牛10可以把草吃完。問多少頭5草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛天可以把草吃完”，就是5內(nèi)的草總量要天吃完的話，得有多少頭牛？量為，按以下步驟解答：

設(shè)每頭牛每天吃草（1求草每天的生長量因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即）；另一方面天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以1×10×20＝原有草量＋天內(nèi)生長量同理1×15×10＝原有草量＋天內(nèi)生長量由此可知（20－10）天內(nèi)草的生長量為1×10×20－1×15×10因此，草每天的生長量為50÷（20－10）＝5（2求原有草量原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長量＝1×15×10－5×10（3求5內(nèi)草總量5內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長量＝＋5×5＝125（4求多少頭牛吃完草因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125÷5＝25（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例2

一只船有一個漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有淘水，要小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？解

這是一道變相吃草題不同的是一問給出了人當(dāng)數(shù)求時間。設(shè)每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1求每小時進(jìn)水量因為，3時內(nèi)的總水量＝1×12×3原有水量＋3時進(jìn)水量10小時內(nèi)的總水量＝＝原有水量＋10小時進(jìn)水量所以，（10－3小時內(nèi)的進(jìn)水量為1×5×10－1×12×3＝14因此，每小時的進(jìn)水量為14÷（10）

（2求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小時進(jìn)水量＝36－2×3（3求人幾小時淘完人每小時淘水量為每小時漏進(jìn)水為2實際上船中每小時減少的水量所以17淘完水的時間是（17）＝2小時）答：人2小時可以淘完水。20

雞兔同籠問題【含義】

這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題?！緮?shù)量關(guān)】第一雞兔同籠問題假設(shè)全都雞，則有兔數(shù)＝（際腳數(shù)－2×雞總數(shù)）÷（4－2）假設(shè)全都兔，則有雞數(shù)＝雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）（4－2）第二雞兔籠問題：假設(shè)全都雞，則有兔數(shù)＝雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4）假設(shè)全都兔，則有雞數(shù)＝雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之）÷）【解題思路和方法】

解答此類題目一般都用假設(shè)法以先假設(shè)都是雞可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。例1

長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？解

假設(shè)只全為兔，則雞數(shù)＝－94）÷）＝23（只）兔數(shù)＝35－23＝12（只）也可以先假設(shè)35只全為雞，則兔數(shù)＝（94）÷）＝12（只）雞數(shù)＝35－12＝23（只）答：有雞23，有兔只。例22菠菜要施肥1克5畝白菜要施肥克，兩種菜16，施9千克，求白菜有多少畝？

解

此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題?！懊慨€菠菜施肥千克”與“每只雞有兩個腳”相對應(yīng)每畝白菜施肥3÷5）千克”與“每只兔有只腳”相對應(yīng)畝”與“雞兔總數(shù)”相對應(yīng)，千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對應(yīng)。假設(shè)16全都是菠菜，則有白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）答：白菜地有10。例3

李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45，作業(yè)本每本3元，日記本每本0.70。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？解

此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設(shè)45本全都是日記本，則有作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）日記本數(shù)＝45－15＝30（本）答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。例4（第二雞兔同籠問題）雞兔共有只，雞的腳比兔的腳多只，問雞與兔各多少只？解例5各多少人？解

假設(shè)100只全都是雞，則有兔數(shù)＝（2×100－80）÷）＝20（只）雞數(shù)＝－20＝80（只）答：有雞80，有兔只。有100個饃100個和尚吃，大和尚一人3饃，小和3人吃1個饃，問大小和尚假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（）個，比實際多吃（3×100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（－1/3個。因此，共有小和尚（3×100－100－1/3＝75（人）共有大和尚－75＝25（人）答：共有大和尚25，有小和尚75人。21

方陣問題【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題?！緮?shù)量關(guān)】（1）方陣每邊數(shù)與四周數(shù)的關(guān)系：四周人數(shù)（每邊人數(shù)－1每邊人數(shù)四周人數(shù)÷4（2方陣總?cè)说那蠓ǎ簩嵭姆疥嚳側(cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×邊人數(shù)空心方陣總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)－（內(nèi)邊人數(shù)）內(nèi)邊人數(shù)外邊人數(shù)－層數(shù)×2）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

【解題思路和方法】

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。例1

在育才小學(xué)的運動會上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？解＝484人）答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。例2例3生共多少人？

有一個層中空方陣，最外邊一層有10，求全方陣的人數(shù)。解－（10－3×2）＝84（人）答：全方陣人。有一隊學(xué)生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)52，最內(nèi)層人數(shù)人，這隊學(xué)解（1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝＝14（人））中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝（人））中空方陣的總?cè)藬?shù)＝－6×6（人）答：這隊學(xué)生共160人。例4

一堆棋子，排列成正方形，多4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？解）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝＝13（只））縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝＋1）÷2（只））原有棋子數(shù)＝－9＝40（只）答：棋子有40。例5

有一個三角形樹林，頂點上1棵樹，以下每排的樹都比前一排1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？解

第一種方法：1＝15（棵）第二種方法：＋1）×5÷2＝15（棵）21

答：這個三角形樹林一共有15棵樹。方陣問題【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。【數(shù)量關(guān)】（1）方陣每邊數(shù)與四周數(shù)的關(guān)系：四周人數(shù)（每邊人數(shù)－1）×4每邊人數(shù)四周人數(shù)÷）方陣總?cè)藬?shù)的求法：實心方陣總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×邊人數(shù)

空心方陣總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)－（內(nèi)邊人數(shù)）內(nèi)邊人數(shù)外邊人數(shù)－層數(shù)×2（3若將空心陣分成四個相等的矩計算，則：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)－層數(shù)）×數(shù)×4【解題思路和方法】

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。例1

在育才小學(xué)的運動會上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？解＝484人）答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。例2例3學(xué)生共多少人？

有一個層中空方陣，最外邊一層有10，求全方陣的人數(shù)。解－（10－3×2）＝84（人）答：全方陣人。有一隊學(xué)生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)52，最內(nèi)層人數(shù)人，這隊解（1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝＝14（人））中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝（人））中空方陣的總?cè)藬?shù)＝－6×6（人）答：這隊學(xué)生共160人。例4

一堆棋子，排列成正方形，多4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？解）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝＝13（只））縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝＋1）÷2（只））原有棋子數(shù)＝－9＝40（只）答：棋子有40。例5

有一個三角形樹林，頂點上1棵樹，以下每排的樹都比前一排1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？解

第一種方法：1＝15（棵）第二種方法：＋1）×5÷2＝15（棵）答：這個三角形樹林一共有15棵樹。22

商品利潤問題【含義】率等方面的問題?！緮?shù)量關(guān)】

這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損利潤＝售－進(jìn)貨價

【解題思路和方法】

利潤率＝售價－進(jìn)貨價）÷進(jìn)價×100%售價＝進(jìn)價×＋利潤率）虧損＝進(jìn)價－售價虧損率＝進(jìn)貨價－售價）÷進(jìn)貨價×100%簡單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1

某商品的平均價格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？解

設(shè)這種商品的原價為1，則一月份售價為（，二月份的售價為（1（110%，所以二月份售價比原價下降了－（1）×（1－10%）＝1%答：二月份比原價下降了。例2

某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原按期望盈利30%價，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？解

要知虧還是盈，得知實際售52比成本少多少或多多少元，進(jìn)而需知成本。因52是原價的80%所以原價為）元；又因為原價是按期望盈利定的，所以成本為）＝50（元）可以看出該店是盈利的，盈利率為（52－50）÷50＝4%答：該店是盈利的，盈利率是。例3

成本0.25元的作業(yè)本1200，按期望獲利潤定價出售，當(dāng)銷售80%，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤是預(yù)定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？解

問題是要計算剩下的作業(yè)本每冊實際售價是原定價的百分之幾題意可知冊的原定價是0.25×＋40%），所以關(guān)鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）剩下的作業(yè)本每冊盈利7.20÷［1200×（1－80%］（元）又可知（0.25＋0.03）÷［0.25×＋40%）］答：剩下的作業(yè)本是按原定價的八折出售的。例4

某種商品，甲店的進(jìn)貨價比乙店的進(jìn)貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%利潤定價，結(jié)果乙店的定價比甲店的定價貴元，求乙店的定價。解

設(shè)乙店的進(jìn)貨價為1，則甲店的進(jìn)貨價為＝0.9甲店定價為（1乙店定價為（1由此可得

乙店進(jìn)貨價為6÷（1.20－1.17）（元）乙店定價為200×1.2元）答：乙店的定價是240元。23

存款利率問題

【含義】

把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)?！緮?shù)量關(guān)】

年（月）率＝利息÷本金÷存年（月）數(shù)×100%利息＝本×存款年（月）數(shù)×（月）利率本利和＝金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數(shù)］【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1

李大強(qiáng)存入銀行，月利，到期后連本帶利共取1488，求存款期多長。解

因為存款期內(nèi)的總利息是（－1200元，所以總利率為（1488－1200

又因為已知月利率，所以存款月數(shù)為（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）答：李大強(qiáng)的存款期是30月即兩年半。例2

銀行定期整存整取的年利率是：二年期三年期8.28%，五年期。如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？解

甲的總利息＋＋7.92%×2）＝1584＝4461.47元）乙的總利息10000×9%×5＝4500元）4500－4461.47＝38.53（元）答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。24

溶液濃度題【含義】

在生產(chǎn)和生活中經(jīng)常會遇到溶液濃度問題問題研究的主要是溶或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度?！緮?shù)量關(guān)】【解題思路和方法】

溶液＝溶＋溶質(zhì)濃度＝溶÷溶液×100%簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1

爺爺有16%的糖水克，）把它稀釋糖水，需加水多少克？若要把它變30%的糖水，需加糖多少克？解）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30克）（2需要加糖多少克？50×（1－16%－30%＝10（克）答：（1需要加水克，）需要加糖克。

例2各多少克？

要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成糖水600克，需要30%和糖水解

假設(shè)全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會多出）＝30（克）這是因為30%的糖水多用了想在保證總重量克不變的情況下的溶掉分30%的溶液減少糖（30%－15%克）以需要“換掉”的溶液（即“換上”溶液）100×（30÷15）（克）由此可知，需要15%的溶液克。需要溶液600－200＝400（克）答：需要15%的糖水溶液200克，需要糖水400克。

所例3

甲容器有濃度為12%的鹽水克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。解

由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各5克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會知所求的濃度。下面列表推算：甲容器

乙容器原

有

鹽水500

水鹽＝60第一次把甲中一鹽水＝250

鹽水500＝750半倒入乙中后

鹽60÷2

鹽第而次把乙中一鹽水250＝625

鹽水＝375半倒入甲中后第三次使甲乙中鹽水同樣多

鹽30＋15鹽水鹽－9＝36

鹽30÷2鹽水500鹽－3625

由以上推算可知，乙容器中最后鹽水的百分比濃度為24÷500答：乙容器中最后的百分比濃度是。構(gòu)圖布數(shù)問題【含義】

這是一種數(shù)學(xué)游戲，也是現(xiàn)實生活中常用的數(shù)學(xué)問題。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中”問題的關(guān)鍵是要符合所給的條件?！緮?shù)量關(guān)】

根據(jù)不同目的要求而定?！窘忸}思路和方法】

通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。例1十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。

解

符合題目要求的圖形應(yīng)是一個五角星。4×5÷2＝10因為五角星的5邊交叉重復(fù)，應(yīng)減去一半。例2

九棵樹苗子，要栽十行子，每行三棵子，請你想法子。解例3解

符合題目要求的圖形是兩個倒立交叉的等腰三角形，一個三角形的頂點在另一個三角形底邊的中線上。九棵樹苗子，要栽三行子，每行四棵子，請你想法子。符合題目要求的圖形是一個三角形，每邊栽棵樹，三個頂點上重復(fù)應(yīng)減去，正好棵。4×3＝9例4

把12拆成1到7這七個數(shù)中三個不同數(shù)的和，有幾種寫法？請設(shè)計一種圖形，填入這七個數(shù)，每個數(shù)只填一處，且每條線上三個數(shù)的和都等于。解

共有五種寫法，即12＝1＋4＋6＋7＋4＋6＋4在這五個算式中，4出現(xiàn)三次，其余的1、2、3、5、7出現(xiàn)兩次，因此，4應(yīng)位于三條線的交點處，其余數(shù)都位于兩條線的交點處。據(jù)此，我們可以設(shè)計出以下三種圖形：26

幻方問題【含義】

把自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方是三級幻方?！緮?shù)量關(guān)】

每行、每、每條對角線上各數(shù)和都相等，這個“”叫做“和”。三級幻方幻和＝五級幻方幻和＝【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數(shù)的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。例1

把1，9這九個數(shù)填入九個方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的和相等。解

幻和的3倍正好等于這九個數(shù)的和，所以幻和為＋2＋4＋6＝15九個數(shù)在這八條線上反復(fù)出現(xiàn)構(gòu)成幻和時，每個數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個數(shù)要用到四次（即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對角線這四條線上），四角的四個數(shù)各用到三次，其余的四個數(shù)各用到兩次。看，用到四次的“中心數(shù)”地位重要，宜優(yōu)先考慮。設(shè)“中心數(shù)”為Χ，因為Χ出現(xiàn)在四條線上，而每條線上三個數(shù)之和等15，所以（1＋4）＋－1Χ＝15×4即45＋3Χ所以Χ＝5接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數(shù)的位置，它們

294

753

618

例2

分別在四個角，再確定其余四個奇數(shù)的位置，它們分別在中行、中列，進(jìn)一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。把，9這九個數(shù)填到九個方格中，使每行、每列、以及對角線上的各數(shù)之和都相等。解

只有三行，三行用完了所給的數(shù)，所以每行三數(shù)之和為（2＋3＋4＋5＋10＝18假設(shè)符合要求的數(shù)都已經(jīng)填好，那么三行、三列、兩條對角線共行上的三個數(shù)之和都等于，我們看18寫成哪三個數(shù)之和：

最大數(shù)是10：18＋6＝10＋3最大數(shù)是9：18＝9＋7＝9＋6＋3＝9＋5最大數(shù)是8：＋7＝8＋6最大數(shù)是7：＋6

剛好寫成8個算式。首先確定正中間方格的數(shù)。第二橫行、第二豎行、兩個斜行都用到正中間方格的數(shù)，共用了四次。觀察上述8個算式，只有用了，所以正中間方格中應(yīng)填6。94

26

78

然后確定四個角的數(shù)。四個角的數(shù)都用了三次，而上述個算式中只有9、5被用了三次，所以9、7、3填在四個角上。但還應(yīng)兼顧兩條對角線上三個數(shù)的和都為185

10

327

最后確定其它方格中的數(shù)。如圖。抽屜原則問題【含義】

把只蘋果放進(jìn)兩個抽屜中現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2蘋果放進(jìn)一個抽屜，剩下的一個放進(jìn)另一個抽屜；要么3蘋果都放進(jìn)同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數(shù)學(xué)中的抽屜原則問題?！緮?shù)量關(guān)】

基本的抽原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放個抽中，那么少有一個屜中放著2個或更多的物體（素）。抽屜原則以推廣為：如果有m個抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素通俗地說如果元素的個數(shù)是抽個數(shù)的k倍多一些，那么至少一個抽屜要放（k）個或更多的元素【解題思路和方法】）改造抽屜，指出元素；）把元素放入（或取出）抽屜；）說明理由，得出結(jié)論。例1解

育才小學(xué)有個年出生的學(xué)生，那么其中至少有幾個學(xué)生的生日是同一天的？由于1999是潤年，全年共366，可以看“抽屜”，個年出生的學(xué)生看作367個“元素”。367個“元素”放進(jìn)個“抽屜”中，至少有一個“抽屜”中放有個或更多的“元素”。這說明至少有2個學(xué)生的生日是同一天的。

例2

據(jù)說人的頭發(fā)不超過20萬跟，如果陜西省萬人，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)一樣多嗎？解

人的頭發(fā)不超過20萬根，可看作20萬個“抽屜”人可看作3645萬個“元素”，把3645個“元素”放到萬個“抽屜”中，得到……5

根據(jù)抽屜原則的推廣規(guī)律，可知k＋1＝183例3

答：陜西省至少有183人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。一個袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅個，白9個，黃8個，藍(lán)2。某人閉著眼睛從中取出若干個，試問他至少要取多少個球，才能保證至少4個球顏色相同？解

把四種顏色的球的總數(shù)（＋3）

看作個“抽屜”，那么，至少要?。ǎ?個球才能保證至少有4個球的顏色相同。答；他至少要取12個球才能保證至少有4個球的顏色相同。28

公約公倍問題【含義】【數(shù)量關(guān)】

需要用公約數(shù)、公倍數(shù)解答的應(yīng)用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題。絕大多數(shù)用最大公約數(shù)、最小倍數(shù)解答?！窘忸}思路和方法】

先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法”。例1

一張硬紙板長60厘米，厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少？解例2

硬紙板的長和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長。和的最大公約數(shù)是4。答：正方形的邊長是4厘米。甲、乙、丙三輛汽車在環(huán)形馬路上同向行駛，甲車行一周要36分鐘，乙車行一周要30分鐘，丙車行一周要48分鐘，三輛汽車同時從同一個起點出發(fā)，問至少要多少時間這三輛汽車才能同時又在起點相遇？解

要求多少時間才能在同一起點相遇，這個時間必定同時是36、30、48的倍數(shù)。因為問至少要多少時間，所以應(yīng)的最小公倍數(shù)。最小公倍數(shù)是720答：至少要720分鐘（即12小時）這三輛汽車才能同時又在起點相遇。例3

一個四邊形廣場長分別為米米米要在四角和四邊植樹，若四邊上每兩棵樹間距相等，至少要植多少棵樹？解

相鄰兩樹的間距應(yīng)是60、72、96的公約數(shù)，要使植樹的棵數(shù)盡量少，須使相鄰兩樹的間距盡量大，那么這個相等的間距應(yīng)是60、72、96、84這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。所以，至少應(yīng)植樹（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）答：至少要植26樹。

例4

一盒圍棋子4個4個地數(shù)多1個5個5個地數(shù)多1個6個6個地數(shù)還多1個。又知棋子總數(shù)在150到200之間，求棋子總數(shù)。解

如果從總數(shù)中取出個，余下的總數(shù)便4的公倍數(shù)。因的最小公倍數(shù)是60，又知棋子總數(shù)在150到200之間，所以這個總數(shù)為＝181個）答：棋子的總數(shù)是181個。29【含義】

最值問題科學(xué)的發(fā)展觀認(rèn)為，國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展既要講求效率，又要節(jié)約能，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價取得最大的效益。這類應(yīng)用題叫做最值問題。【數(shù)量關(guān)】

一般是求大值或最小值。【解題思路和方法】

按照題目的要求，求出最大值或最小值。例1

在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需3分鐘，爐上只能同時放兩塊餅，現(xiàn)在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？解

先將兩塊餅同時放上烤3分鐘后都熟了一面，這時將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過第二塊餅過3分鐘取出熟了的第二塊餅過第三塊餅放入第一塊餅烤另一面烤分鐘即可。這樣做，用的時間最少，為鐘。答：最少需要9分鐘。例2

在一條公路上有五個卸煤場，每相鄰兩個之間的距離都是10千米，已知1號煤場存煤100噸，2煤場存煤噸，5號煤場存煤，其余兩個煤場是空的?，F(xiàn)在要把所有的煤集中到一個煤場里，每噸煤運1千米花費，集中到幾號煤場花費最少？解

我們采用嘗試比較的方法解答。集中到1號場總費用為1×200×10＋1×400×40＝18000元）集中到2號場總費用為1×100×10＋1×400×30＝13000元）集中到3號場總費用為1×100×20＋1×200×10＋1×400×10（元）集中到4號場總費用為1×100×30＋1×200×20＋1×400×10（元）集中到5號場總費用為1×100×40＋1×200×30＝10000元）經(jīng)過比較，顯然，集中到5煤場費用最少。答：集中到5號煤場費用最少。例3

北京和上海同時制成計算機(jī)若干臺運外地10

重慶

武漢臺，上?？烧{(diào)運外地4臺?，F(xiàn)決定給重慶調(diào)運，給武漢調(diào)運臺，

北京

800

400若每臺運費如右表，問如何調(diào)運才使運費最?。可虾?/p>

500300解

北京調(diào)運到重慶的運費最高，因此，北京往重慶應(yīng)盡量少調(diào)運。這樣，把上海的臺全都調(diào)往重慶，再從北京調(diào)往重慶臺，調(diào)往武漢6臺，運費就會最少，其數(shù)額為500×4＋800×4＋400×6（元）答：上海調(diào)往重慶臺，北京調(diào)往武漢6臺，調(diào)往重慶4臺，這樣運費最少。

30

列方程問題【含義】

把應(yīng)用題中的未知數(shù)用字母Χ代替，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式——方程，通過解這個方程而得到應(yīng)用題的答案，這個過程，就叫做列方程解應(yīng)用題?！緮?shù)量關(guān)】

方程的等兩邊數(shù)量相等?！窘忸}思路和方法】

可以概括為“審、設(shè)、列、解、驗、答”六字法。（1審：認(rèn)真審題，弄清應(yīng)用題中的已知量和未知量各是什么，問題中的等量關(guān)系是什么。（2設(shè)：把應(yīng)用題中的未知數(shù)設(shè)為Χ。（3列；根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)和題目中的已知條件，按照等量關(guān)系列出方程。（4解；求出所列方程的解。（5驗：檢驗方程的解是否正確，是否符合題意。（6答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。同學(xué)們在列方程解應(yīng)用題時，一般只寫出四項內(nèi)容，即設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、答語。設(shè)未知數(shù)時要在Χ后面寫上單位名稱中已知數(shù)和未知數(shù)都不帶單位名稱的Χ值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。檢驗的過程不必寫出，但必須檢驗。例1

甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30，求兩班各有多少人？解

第一種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（－Χ）人。找等量關(guān)系：甲班人數(shù)＝乙班人數(shù)×人。列方程：－ΧΧ解方程得Χ＝40

從而知－Χ第二種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（Χ－30）人。列方程Χ－30）＋Χ解方程得Χ＝40

從而得知2Χ－30＝50例2

答：甲班有50，乙班有人。雞兔35只，共有94腳，問有多少兔？多少雞？解

第一種方法：設(shè)兔為Χ只，則雞為（－Χ）只，兔的腳數(shù)為4Χ個，雞的腳數(shù)為（35－Χ）個。根據(jù)等量關(guān)系“兔腳數(shù)＋雞腳數(shù)＝”可列出方程Χ＋2（35Χ）＝94

解方程得Χ＝12

則35－第二種方法：可按“雞兔同籠”問題解答。假設(shè)全都是雞，則有所以

兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－雞兔總數(shù)）÷（4）兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）雞數(shù)＝35－12＝23（只）例3每次運多少袋？

答：雞是只，兔是12只。倉庫里有化肥袋，兩輛汽4次可以運完，已知甲汽車每次125袋，乙汽車

解

第一種方法乙兩車一次共可運的袋數(shù)甲車一次運的袋數(shù)求。940÷4（袋）第二種方法里減去甲