必修四平面向量知識點梳理

必修四平面向量知識點梳理第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日知識網(wǎng)絡(luò)平面向量加法、減法數(shù)乘向量坐標(biāo)表示兩向量數(shù)量積零向量、單位向量、共線向量、相等向量向量平行的充要條件平面向量基本定理兩向量的夾角公式向量垂直的充要條件兩點的距離公式向量的概念解決圖形的平行和比例問題解決圖形的垂直和角度,長度問題向量的初步應(yīng)用第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日向量定義：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：長度為0的向量，記作0.（2）單位向量：長度為1個單位長度的向量.（3）平行向量：也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量.（4）相等向量：長度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：長度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日幾何表示

:有向線段向量的表示字母表示坐標(biāo)表示:(x，y)若A(x1,y1),B(x2,y2)則AB=

(x2－x1,y2－y1)一、平面向量概念第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日向量的模（長度）1.設(shè)a=(x

,y),則2.若表示向量a的起點和終點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)，則一、平面向量概念第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.向量的加法運算ABC

AB+BC=三角形法則OABC

OA+OB=平行四邊形法則坐標(biāo)運算:則a+b=重要結(jié)論：AB+BC+CA=0設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)ACOC一、平面向量概念第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日2.向量的減法運算1）減法法則：OAB2）坐標(biāo)運算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)則a－b=

3.加法減法運算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交換律：2）結(jié)合律：BA(x1－x2,y1－y2)OA－OB=一、平面向量概念第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日練習(xí)第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日120oADBCO`第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日120oADBCO`return第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.實數(shù)λ與向量a的積定義：坐標(biāo)運算：其實質(zhì)就是向量的伸長或縮短！λa是一個向量.它的長度|λa|=|λ||a|；它的方向若a=(x

,y),則λa=

λ(x

,y)=

(λx

,λy)(2)當(dāng)λ＜0時,λa的方向與a方向相反.(1)當(dāng)λ≥0時,λa的方向與a方向相同；一、平面向量概念第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日則存在唯一實數(shù)，使得結(jié)論:

設(shè)表示與非零向量同向的單位向量.定理1:兩個非零向量平行(方向相同或相反)一、平面向量概念第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日向量垂直充要條件的兩種形式:二、平面向量之間關(guān)系向量平行(共線)充要條件的兩種形式:第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日（3）兩個向量相等的充要條件是兩個向量的坐標(biāo)相等.

即:

那么

三、平面向量的基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日1、平面向量數(shù)量積的定義：2、數(shù)量積的幾何意義：OABθB1(四)數(shù)量積4、運算律:3、數(shù)量積的坐標(biāo)運算第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日5、數(shù)量積的主要性質(zhì)及其坐標(biāo)表示：第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日①②OBA綜上所述：原命題成立第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日CNDBMOA解:第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日CNDBMOA第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日例3、已知a=(3,-2)

，b=(-2,1)，

c=(7,-4)，用a、b表示c。解：c=ma+nb

(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7m=1-2m+n=-4n=-2

c=a-2b第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日OABP另解:可以試著將第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日

說明：(1)

本題是個重要題型：設(shè)O為平面上任一點，則：

A、P、B三點共線

或令

=1t，

=t，則

A、P、B三點共線

(其中

+=1)

(2)

當(dāng)t=時，常稱為△OAB的中線公式(向量式)．第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日例5.設(shè)AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a

b)，求證：A、B、D三點共線。分析要證A、B、D三點共線，可證AB=λBD關(guān)鍵是找到λ解：∵BD=BC+CD=2a+8b+3(a

b)=a+5b∴AB=2BD∴

A、B、D三點共線AB∥BD且AB與BD有公共點B第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日例6.設(shè)非零向量不共線，若試求k.

解：∵∴由向量共線的充要條件得：即又∵不共線∴由平面向量的基本定理第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日解：設(shè)頂點D的坐標(biāo)為（x，y）

例8．已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求頂點D的坐標(biāo)．第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日例9.已知A(－2，1)，B(1，3)，求線段AB中點M和三等分點坐標(biāo)P，Q的坐標(biāo).解：(1)求中點M的坐標(biāo)，由中點公式可知M(－，2)(2)因為

=(1，3)－(－2，1)=(3，2)第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日例10.設(shè)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)滿足(1)λ為何值時,點P在直線y=x上?(2)設(shè)點P在第三象限,求λ的范圍.解:(1)設(shè)P(x,y)，則

(x－2,y－3)=(3,1)+λ(5,7),

所以x=5λ+5，y=7λ+4.解得λ=(2)由已知5λ+5<0,7λ+4<0,所以λ<－1.第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日

例11（1）已知=（4，3），向量是垂直于的單位向量，求.第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD。（1）求證：AB⊥AC；（2）求點D和向量AD的坐標(biāo)；（3）求證：AD2=BD·DC解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0AB⊥AC第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)AD⊥BC∴AD·BC=05(x-2)+5(y-4)=0又B、D、C共線∴5×(x+1)-5(y+2)=0x+y-6=0x=D(,)x-y-1=0y=AD=(,-)第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日（3）AD=(,-)BD=(,)DC=(,)|AD|=+=BD·DC=+=∴AD=BD·DC22例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD。（1）求證：AB⊥AC；（2）求點D和向量AD的坐標(biāo)；（3）求證：AD2=BD·DC第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b上的投影為（）

A. B. C. D.

解析設(shè)a和b的夾角為θ，|a|cosθ=

C第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日解：第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日解：∵∴同理可得

∴θ=120°第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日[解][答案]C第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日ABC第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日ABCP第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日[解析]第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日【例23】已知向量a=(cosx,sinx),

b=(cos,-sin)，且x∈[].(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.第四十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日解＞0∴|a+b|=2cosx.