定積分的近似計(jì)算課件

實(shí)驗(yàn)二定積分的近似計(jì)算數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1定積分計(jì)算的基本公式是牛頓－萊布尼茲公式。但當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時，如何計(jì)算？這時就需要利用近似計(jì)算。特別是在許多實(shí)際應(yīng)用中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式，而是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時只能用近似方法計(jì)算定積分。本實(shí)驗(yàn)主要研究定積分的三種近似計(jì)算算法：矩形法、梯形法和拋物線法。同時介紹Matlab

計(jì)算定積分的相關(guān)函數(shù)。

問題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康亩ǚe分的近似計(jì)算2矩形法梯形法拋物線法

數(shù)值積分的常見算法主要內(nèi)容

Matlab

求積分函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad符號積分函數(shù)：int3矩形法n

充分大，x

充分小

通常我們?nèi)∽簏c(diǎn)法右點(diǎn)法中點(diǎn)法點(diǎn)可以任意選取，常見的取法有：

左端點(diǎn),右端點(diǎn)和中點(diǎn)。定積分的近似：5步長節(jié)點(diǎn)矩形法左點(diǎn)法右點(diǎn)法中點(diǎn)法fuluA.m6矩形法舉例例：用不同的矩形法計(jì)算下面的定積分(取n=100)，

并比較這三種方法的相對誤差。左點(diǎn)法：右點(diǎn)法：中點(diǎn)法：解：h=1/n=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100(i=0,1,2,...,100)7定積分幾何意義9

曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來近似整個曲邊梯形的面積：梯形法10

如果我們n

等分區(qū)間[a,b]，即令：則==>梯形公式梯形法梯形公式與中點(diǎn)公式有什么區(qū)別

?

fuluB.m112n

等分區(qū)間[a,b]，得用拋物線代替該直線，計(jì)算精度是否會更好？

計(jì)算每個節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值：拋物線法

在區(qū)間[x0,x2]上，用過以下三點(diǎn)的拋物線來近似原函數(shù)f(x)。13設(shè)過以上三點(diǎn)的拋物線方程為：則在區(qū)間[x0,x2]上，有y=

x2+x

+

=p1(x)

拋物線法14同理可得：相加即得：拋物線法15==>例：用拋物線法計(jì)算下面定積分(取n=100)，并計(jì)算相對誤差解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)拋物線法相對誤差：17矩形法梯形法拋物線法

數(shù)值積分的常見算法Matlab函數(shù)

Matlab

求積分函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad符號積分函數(shù)：int18trapz(x,y)

x

為分割點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）組成的向量，

y為被積函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值組成的向量。

trapztrapz梯形法19quad(f,a,b,tol)f=f(x)為被積函數(shù)，[a,b]為積分區(qū)間，tol

為計(jì)算精度將自變量看成是向量不用自己分割積分區(qū)間可以指定計(jì)算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函數(shù)運(yùn)行的時間越長此處的函數(shù)

f是數(shù)值形式，應(yīng)該使用數(shù)組運(yùn)算，即：

.*

./

.\

.^

quad

quad拋物線法21解：>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,1e-10)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,1e-16)函數(shù)表達(dá)式一定要用單引號括起來！涉及的運(yùn)算一定要用數(shù)組運(yùn)算！例：用quad

計(jì)算定積分：quad舉例22dblquad(f,a,b,c,d,tol)

tol

為計(jì)算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f可以是：

字符串；inline

定義的內(nèi)聯(lián)函數(shù)；函數(shù)句柄

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，

[c,d]

是第二積分變量

的積分區(qū)間按字母順序，大寫字母排在小寫字母的前面dblquad拋物線法計(jì)算二重積分：dblquad23例：計(jì)算二重積分>>

dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y

分別是第一和第二積分變量>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被積函數(shù)f(x,y)

的另一種定義方法：匿名函數(shù)>>

dblquad(@(y,x)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)下面的命令運(yùn)行結(jié)果和上面的一樣嗎？dblquad舉例25int(f,a,b)

計(jì)算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]。int(f)

計(jì)算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的不定積分。int(f,v,a,b)

計(jì)算函數(shù)f

關(guān)于自變量v

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]int(f,v)

計(jì)算函數(shù)

f

關(guān)于自變量

v

的不定積分findsym(f,1)int符號積分：int26>>

x=1:0.001:2;>>

y=exp(x.^(-2));>>

trapz(x,y)梯形法：拋物線法：>>

quad('exp(x.^(-2))',1,2,10e-10)符號積分法：>>

syms

x>>

int('exp(x^(-2))',x,1,2)例：用Matlab函數(shù)近似計(jì)算定積分?jǐn)?shù)值實(shí)驗(yàn)29拋物線法：>