【優(yōu)選】常微分方程數(shù)值解PPT文檔

其中r為甲獨立生存的增長率：a反映捕食者對食餌的捕食能力。

d為乙無甲的死亡率；b反映食餌對捕食者的供養(yǎng)能力。

初值為x（0）=x0y（0）=y0……（2）

2；試用數(shù)值解討論以下問題：[（1）無解析解]

設(shè)r=1，d=0.5,a=0.1b=0.02,

x0=25,y0=2

求模型(1)在(2)下的數(shù)值解,畫出函數(shù)x(t),y(t)圖形以及相圖(x,y),觀察x(t),y(t)的周期變化,近似地確定爭的周期和x,y的最大、小值,近似計算x,y在一周期內(nèi)的平均值.

與(掠俘問題討論過的理論值)比較.3:導(dǎo)彈跟蹤問題：

某軍的一導(dǎo)彈基地（位于坐標(biāo)原點（0，0））發(fā)現(xiàn)基地正北方向120km處海面（位于坐標(biāo)原點（0，120））上有敵艦一艘正以90km/h的速度向正東方向行駛，該基地立即發(fā)射導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艦,導(dǎo)彈速度為450km/h，自動導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任意時刻都能對準(zhǔn)敵艦，試問導(dǎo)彈在何時何處擊中敵艦？

（1）假設(shè)：在t時刻導(dǎo)彈位于P(x(t),y(t)),敵艦位于M(90t,H)(其中H=120)（2）：建模：三:歐拉方法和龍格--庫塔方法.

常微分方程初值問題的提法是:設(shè)有一階方程

和初始條件:

B:(6)式的計算：因為（6）式為隱式，無法用它直接計算yn+1:(6)式通常用迭代法計算即先由向前歐拉公式（5）產(chǎn)生初值:d為乙無甲的死亡率；A:引言：向前歐拉公式（5）計算簡單，但精度只有1階；C:對于這四種歐拉方法：通常用向前歐拉公式（5）和改進的歐拉公式（8）。局部誤差是假定前一步?jīng)]有誤差，這一步的近似值與精確值的差。如果A:設(shè)一種單步法（14）具有局部誤差精度為p階；B:(7)式也需要象向后歐拉公式一樣進行迭代求yn+1；ts=t0:k:tk;再把它代入梯形公式（7）右端，作為校正，即：D:缺點：需要迭代，計算量大。如果A:設(shè)一種單步法（14）具有局部誤差精度為p階；2:龍格--庫塔方法:

(1):思想:歐拉方法的基本思想用差商代替導(dǎo)數(shù);

由微分中值定理:x0表示函數(shù)的初值；C:對于這四種歐拉方法：通常用向前歐拉公式（5）和改進的歐拉公式（8）。（2）：如果yn有誤差n，而以后得的yn+k(k=1,2,……）的誤差不超過n，則稱該方法是穩(wěn)定的。（6）：用歐拉方法解微分方程組（和高階微分方程）

A:例掠俘問題的方程組；B：幾何意義：C:誤差估計：局部截斷誤差精度為2階。A:引言：向前歐拉公式（5）計算簡單，但精度只有1階；（1）假設(shè)：在t時刻導(dǎo)彈位于P(x(t),y(t)),敵艦位于M(90t,H)(其中H=120)得到數(shù)值解及圖形和相圖：（1）不妨設(shè)a=b=0,否則可作代換ts=t0:k:tk;常微分方程初值問題的提法是:設(shè)有一階方程

和初始條件:如果A:設(shè)一種單步法（14）具有局部誤差精度為p階；（2）：如果yn有誤差n，而以后得的yn+k(k=1,2,……）的誤差不超過n，則稱該方法是穩(wěn)定的。gtext('x2(t)');gtext('x1(t)');梯形公式精度提高，但迭代太繁；4階龍格--庫塔公式收斂；C:對于這四種歐拉方法：通常用向前歐拉公式（5）和改進的歐拉公式（8）。B:先由向前歐拉公式（5）計算yn+1的預(yù)測值；C:對于這四種歐拉方法：通常用向前歐拉公式（5）和改進的歐拉公式（8）。(5):龍格--庫塔公式的MATLAB實現(xiàn)(MATLAB5.當(dāng)局部截斷誤差為0()時，我們稱具有p階精度。C:誤差估計：假設(shè)yn沒有誤差，則由（不考慮累積誤差）B:(6)式的計算：因為（6）式為隱式，無法用它直接計算yn+1:(6)式通常用迭代法計算即先由向前歐拉公式（5）產(chǎn)生初值:C:誤差估計：局部截斷誤差精度為1階。

D:幾何意義：（3）：梯形公式：

A:方法：B:(7)式也需要象向后歐拉公式一樣進行迭代求yn+1；C:誤差估計：局部截斷誤差精度為2階。D:缺點：需要迭代，計算量大。（4）：改進的歐拉公式：A:引言：向前歐拉公式（5）計算簡單，但精度只有1階；梯形公式精度提高，但迭代太繁；結(jié)合兩者得改進的歐拉公式。B:先由向前歐拉公式（5）計算yn+1的預(yù)測值；再把它代入梯形公式（7）右端，作為校正，即：C:對于這四種歐拉方法：通常用向前歐拉公式（5）和改進的歐拉公式（8）。（5）：實例：（6）：用歐拉方法解微分方程組（和高階微分方程）

A:例掠俘問題的方程組；

B:例：C:解高階微分方程，只需先把它化為方程組2:龍格--庫塔方法:

(1):思想:歐拉方法的基本思想用差商代替導(dǎo)數(shù);

由微分中值定理:(2):2階龍格--庫塔公式:

可以證明2階龍格--庫塔公式就是改進的歐拉公式.(3):4階龍格--庫塔公式為:(4):龍格--庫塔公式為也可以推廣至解微分方程組和高階方程.(5):龍格--庫塔公式的MATLAB實現(xiàn)(MATLAB5.0)2階,3階用[t,x]=ode23(‘f’,ts,x0,options);4階,5階用[t,x]=ode45(‘f’,ts,x0,options);參數(shù)意義:其中f是由待解方程寫成的m文件名;其中ts=[t0,tf];ts=[t0,t1,t2,……，tf];ts=t0:k:tk;t0表示自變量的初值，tf為終值；x0表示函數(shù)的初值；options用于設(shè)定誤差限，確省時誤差限（相對誤差為0。001，相對誤差0.000001）程序為：options=odeset(‘reltol’,rt,’abstol’,at)

rt,at分別設(shè)定相對絕對誤差；

用于解n個未知函數(shù)的方程組時，m文件中的待解方程組應(yīng)以X的向量形式給出，x0亦然。四：計算實際例：

把模型（1）改寫成矩陣形式1：對于給定數(shù)據(jù)r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x10=25,x20=2,t的終值經(jīng)試驗確定為15，以便于觀察編制程序如下：functionxdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=diag(r-a*x(2),-d+b*x(1))*x;ts=0:0.1:15;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x]plot(t,x);grid;gtext('x1(t)');gtext('x2(t)');plot(x(:,1),x(:,2));grid;得到數(shù)值解及圖形和相圖：五：任務(wù)：解導(dǎo)彈跟蹤問題；(todaodan.m)六：數(shù)值解的收斂性及穩(wěn)定性：1：數(shù)值方法收斂的定義：用一種數(shù)值方法解方程（3），對于任意固定的xn=x0+nh,近似解和精確解分別記作yn,y(xn)，若當(dāng)時h0（必然n），有yny(xn)，則稱該數(shù)值方法收斂。2:局部誤差與整體誤差：局部誤差是假定前一步?jīng)]有誤差，這一步的近似值與精確值的差。當(dāng)局部截斷誤差為0()時，我們稱具有p階精度。3：單步法的統(tǒng)一格式：4：單步法的收斂性與整體誤差定理：如果A:設(shè)一種單步法（14）具有局部誤差精度為p階；B:對y滿足利普希茨條件，即L>0,證明：5：結(jié)論：向前歐拉公式收斂；改進歐拉公式收斂；4階龍格--庫塔公式收斂；它們的整體誤差為6：穩(wěn)定性：

（1）：由于每一步均有舍入誤差，希望這種誤差不會傳播；

（2）：如果yn有誤差n，而以后得的yn+k(k=1,2,……）的誤差不超過n，則稱該方