對(duì)稱元素組合點(diǎn)群

對(duì)稱元素組合點(diǎn)群第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素組合及點(diǎn)群晶體學(xué)基礎(chǔ)第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日Outline對(duì)稱元素的組合對(duì)稱32種點(diǎn)群及其符號(hào)晶體的分類(旋轉(zhuǎn)軸)低級(jí)晶族—三斜晶系，單斜晶系，斜方晶系中級(jí)晶族—三方晶系，四方晶系，六方晶系高級(jí)晶族—等軸晶系第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合對(duì)于晶體而言，對(duì)稱元素往往不是孤立存在的。多于1種則存在組合問題。這種組合并非是任意的，必須符合對(duì)稱元素的組合定律。這種組合的數(shù)學(xué)推導(dǎo)較為復(fù)雜，現(xiàn)通過直觀的圖形加以說明。第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日例如：二次軸(L2)+對(duì)稱面(P)對(duì)稱元素的組合（1）Reflect&Rotate定理一：如果對(duì)稱面P包含對(duì)稱軸Ln，則必有n個(gè)P包含LnLn

·

P//LnnP//（P與P夾角為Ln基轉(zhuǎn)角的一半）。第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合二次軸(L2)+對(duì)稱面(P)第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合二次軸(L2)+對(duì)稱面(P)Step1:reflect第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合二次軸(L2)+對(duì)稱面(P)Step1:reflectStep2:rotate第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合二次軸(L2)+對(duì)稱面(P)Step1:reflectStep2:rotate存在第二個(gè)對(duì)稱面L2+P=L22P第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合

四次軸(L4)+對(duì)稱面(P)第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合

四次軸(L4)+對(duì)稱面(P)Step1:reflect第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合

四次軸(L4)+對(duì)稱面(P)Step1:reflectStep2:rotate1第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合

四次軸(L4)+對(duì)稱面(P)Step1:reflectStep2:rotate1Step3:rotate2第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合

四次軸(L4)+對(duì)稱面(P)Step1:reflectStep2:rotate1Step3:rotate2Step4:rotate3第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合

四次軸(L4)+對(duì)稱面(P)增加2個(gè)對(duì)稱面L4+P=L44P第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合

三次軸(L3)+對(duì)稱面(P)L3+P=L33P第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日L6+P=L66P紅鋅礦晶體：L66P對(duì)稱元素的組合第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日L2+P=L22PLn+P=LnnP對(duì)稱元素的組合綜上可得出：或?qū)懗桑篖n

·

P//LnnP//

P與P夾角為Ln基轉(zhuǎn)角的1/2L3+P=L33PL4+P=L44PL6+P=L66P第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日1個(gè)L2垂直于Ln對(duì)稱軸必有n個(gè)L2垂直于Ln；定理二Ln

·L2LnnL2

(L2與L2的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一半)例如:L4

·

L2L44L2,L3

·

L2L33L2第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日定理三1個(gè)P垂直于偶次Ln對(duì)稱軸必有對(duì)稱中心C；Ln

·

PLnP

C(n為偶數(shù))。第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日例如：具有Li42L22P對(duì)稱組合的黃銅礦晶體定理四1個(gè)L2垂直于Lni

或1個(gè)P包含于Lni對(duì)稱軸，n為奇數(shù)時(shí)，必有n個(gè)L2垂直于Lni和n個(gè)P包含于Lni，n為偶數(shù)時(shí)，必有n/2個(gè)L2垂直于Lni和n/2個(gè)P包含于Lni；Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

LninL2

nP(n=奇數(shù))Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

Lnin/2L2

n/2P(n=偶數(shù))第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

LninL2

nP(n=奇數(shù))第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日對(duì)稱元素的組合總結(jié)Ln

·

P(||)

Ln

nPLn

·

L2()

LnnL2Ln·P()=Ln

·

C

LnPC(n=偶數(shù))Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

LninL2

nP(n=奇數(shù))

Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

Lnin/2L2

n/2P(n=偶數(shù))第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日點(diǎn)群(對(duì)稱型)點(diǎn)：所有對(duì)稱元素有一個(gè)公共點(diǎn)，在對(duì)稱操作中始終不動(dòng)。群：一組對(duì)稱元素或?qū)ΨQ操作的集合。符合數(shù)學(xué)中群的概念。封閉性：C=AB結(jié)合律：(AB)C=A(BC)單位元素：AI=IA=A;BI=IB=B存在逆元素：AA-1=I第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日任何晶體的宏觀對(duì)稱性有以下十種對(duì)稱元素:晶體的32種點(diǎn)群及其符號(hào)一、晶體對(duì)稱元素的組合：晶體的對(duì)稱元素間至少有一點(diǎn)重合。晶體的全部對(duì)稱元素的集合——點(diǎn)群。第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日晶體對(duì)稱元素可能組合可以通過直觀的方法，上述對(duì)稱元素的組合定律，推導(dǎo)出點(diǎn)群。上述點(diǎn)群的推導(dǎo)比較形象和直觀，但欠嚴(yán)密性。嚴(yán)密的推導(dǎo)可利用群論進(jìn)行。對(duì)稱軸+對(duì)稱軸：Ln

·

P(||);Ln·

P()

Ln

·

P(||)·P()Ln

·

P(||)·P()·

L2Ln

n

L2

(n+1)

P（n為偶數(shù)存在C）A類組合（高次軸（n>2）不多于1個(gè)），共27個(gè)；B類組合（高次軸多于1個(gè)），共5個(gè)。組合形式Ln·

L2()；Lni

·

L2()第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日晶體對(duì)稱元素可能組合A類組合（高次軸（n>2）不多于1個(gè)），共27個(gè)；(1)對(duì)稱軸+對(duì)稱軸：只考慮垂直組合

高次軸不多于1個(gè)，所以只考慮Ln

和L2組合Ln

和L2平行，按對(duì)稱軸選取原則，只選取的是高次軸，沒有組合。Ln

和L2斜交時(shí)，出現(xiàn)多個(gè)Ln，非A類組合。含10個(gè)“單獨(dú)存在”的對(duì)稱元素。第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日晶體對(duì)稱元素可能組合:對(duì)稱軸+對(duì)稱軸可以推到出4個(gè)新組合。Ln

·

L2()

LnnL2Lni

·

L2()

LninL2

nP(n=奇數(shù))Lni

·

L2()

Lnin/2L2

n/2P(n=偶數(shù))可以推到出3個(gè)新組合。第一種情況：第二種情況：第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日晶體對(duì)稱元素可能組合(2)對(duì)稱軸Ln與垂直它的對(duì)稱面的組合?？梢酝频匠?個(gè)新組合。Ln·P()=Ln

·

C

LnPC(n=偶數(shù))第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日晶體對(duì)稱元素可能組合(3)對(duì)稱軸Ln與包含它的對(duì)稱面的組合?？梢酝频匠?個(gè)新組合。Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

LninL2

nP(n=奇數(shù))

Lni

·

P(||)=Lni

·

L2()

Lnin/2L2

n/2P(n=偶數(shù))第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日晶體對(duì)稱元素可能組合(4)對(duì)稱軸Ln與包含它的對(duì)稱面以及垂直它的對(duì)稱面的組合。可以推到出3個(gè)新組合。Ln

·

P(||)·P()Ln

·

P(||)·P()·

L2Ln

n

L2

(n+1)

PLn

n

L2

(n+1)

P（n為奇數(shù)）Ln

n

L2

(n+1)

PC（n為偶數(shù)）第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日B類組合（高次軸多于1個(gè)），共5個(gè)。3L2

4

L3

視為B類組合的原始形式，與L2、與對(duì)稱心、與包含的對(duì)稱面、與包含的對(duì)稱面且有垂直L2的組合時(shí)，可得到4個(gè)新的組合：3L44L36L2、

3L44L33PC

、

3L4i

4L36L2、

3L44L36L29PC第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日10種對(duì)稱元素只能組成32種不同的點(diǎn)群；晶體的宏觀對(duì)稱只有32個(gè)不同類型。晶體32種點(diǎn)群組合匯總第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日國際（Hermann-Mauguin）符號(hào)熊夫利（Schoenflies）符號(hào)

C，D，S，T，O

i，s，v，h，d晶體點(diǎn)群的符號(hào)以字母T,O,C,D,S代表四面體、八面體、回轉(zhuǎn)群、雙面群和反群。i,s,v,h,d代表對(duì)稱中心、對(duì)稱面、通過主軸對(duì)稱面、與主軸垂直對(duì)稱面，以及等分兩副軸的交角的對(duì)稱面。第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日晶體點(diǎn)群的熊夫利符號(hào)——不動(dòng)操作，只含一個(gè)元素，表示沒有任何對(duì)稱性的晶體只包含一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)群——4個(gè)

——下標(biāo)表示是幾重旋轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)群——表示對(duì)稱軸Ln第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日群群加上中心反演

群群加上反演面群群加上與n重軸垂直的反演面，共4個(gè)群群加上含有n重軸的反演面，共4個(gè)——表示Ln與垂直的對(duì)稱面P的組合——表示Ln與平行的對(duì)稱面P的組合第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日晶體點(diǎn)群的熊夫利符號(hào)雙面群包含一個(gè)n重旋轉(zhuǎn)軸和n個(gè)與之對(duì)應(yīng)的二重軸的點(diǎn)群

——4個(gè)——表示Ln與垂直的L2的組合第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日Dnh群Dn群加上與n重軸垂直且過二重軸的反演面，共4個(gè)群群加上通過n重軸及兩根二重軸角平分線的反演面，共2個(gè)群只包含旋轉(zhuǎn)反演軸的點(diǎn)群。其中共2個(gè)——表示Ln

n

L2

(n+1)

PC的組合——表示對(duì)稱軸、對(duì)稱面和L2的組合第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日群——正四面體點(diǎn)群,含有24個(gè)對(duì)稱操作群——立方點(diǎn)群的24個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng)操作群——正四面體點(diǎn)群的12個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng)操作群群加上中心反演群——立方點(diǎn)群,含有48個(gè)對(duì)稱操作

第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日4/mmm1234m2m3簡(jiǎn)寫:m3m點(diǎn)群國際符號(hào)

包括3個(gè)字符，1個(gè)字符代表1個(gè)軸向?qū)ΨQ元素全寫旋轉(zhuǎn)軸：數(shù)字n;倒反軸：n;鏡面：m;既有旋轉(zhuǎn)軸又有鏡面，nm如：如：第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日點(diǎn)群國際符號(hào)第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日晶體的對(duì)稱分類晶族(crystalcategory)的劃分 根據(jù)高次軸的有無及多少而將晶體劃分為三個(gè)晶族1.晶族（crystalcategory）：3個(gè)晶族低級(jí)晶族：無高次軸