考研數(shù)學(xué)歷年真題詳解

【詳解】按第一行展開,

第一章行列式

原式

1.(95,九題，6分)設(shè)A是”階矩陣，滿

ab200b

22aba

b2224

b0~\,0〃3

足(E是〃階單位陣，A'是A的3%h.ata4一他

"3%ba

00%0033

轉(zhuǎn)置矩陣，L4l<0,求L4+EI。%

【分析】由矩陣等式AA'=E求抽象矩陣

=(a2a3-她)(4。4-34)

A+E的行列式，聯(lián)想到利用此等式條件，則

有兩種方法：故正確選項為(D)

3.(99,選(4)題，3分)設(shè)A是〃?X〃矩

①將E=AA，直接代入要計算的行列式

陣，B是"X/H矩陣，則

中。

(A)當(dāng)m>n時，必有行列式IIAB昆0.

②“湊”出可利用已知矩陣等式中左端的

形式AAL再將44'=E代入計算。(B)當(dāng)加>"時，必有行列式IIA31=0.

像這種矩陣運算與行列式計算結(jié)合考查

(C)當(dāng)n>m時,必有行列式IIABIH0.

的題型，應(yīng)注意.

【詳解】根據(jù)/14r=后有(D)當(dāng)〃〉機時，必有行列式II1=0.

\A+E\=iA+AAT\=\A(E+Ar)\=iA\\E+A\=\A\\A+E\,

于是(17AI)IA+EI=0.C1

【答】應(yīng)選(B)

因為1TAI>0,故IA+EI=O【分析】四個選項在于區(qū)分行列式是否為零,

而行列式是否為零又是矩陣是否可逆的充要

2.(96,選(5)題，3分)四階行列式條件，而矩陣是否可逆又與矩陣是否滿秩相

a\00h\聯(lián)系，所以最終只要判斷AB是否滿秩即可。

本題未知AB的具體元素，因此不方便直接

0出b20

的值等于應(yīng)用行列式的有關(guān)計算方法進行求解。

0a0

%【詳解】因為AB為m階方陣，且

00

尸(AB)<min[r(A),r(S)]<min(m,n)

qa2a3a4—b、b2b3b&

當(dāng)m>n時，由上式可知，r(AB)<n<m,

(B)aaaa+bb^bb

i2?i4]1A即AB不是滿秩的，故有行列式IABI=O,因此

正確選項為(B)

(C)伍必2-*2)(。3a4-匕3仇)

'210'

(D)(“24-4々)(4逆4一仇")4.(04,填(5)題，4分)設(shè)矩陣A=120,

001

矩陣B滿足A84*=2BA*+E,其中A*為A

【答】應(yīng)選(D)

【分析】本題是根據(jù)行列式展開定理按照第

一行展開計算求解的，也可以按照拉普拉斯的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則IBI=-

9

展開定理進行計算分析，解答本題有一定的

技巧性

【分析】可先用公式A*4=IAIE進行簡化

【詳解】已知等式兩邊同時右乘A,得=>B(A-E)=2E

IB(A-E)I=I2EI

ABAtA=2BA*A+A,而IAI=3,于是有

=IBIIA-EI=4

3AB=6B+A,即(3A-6E)B=A,再兩邊取行IBI=4IA-Er'

列式有：

I3A-6EIIBI=IAI=3，而13A-6EA27,故所求行列

11,

=4=4x2=8

式為皿=--11

9

5.(05,填(5)題，4分)設(shè)均為

3維列向量，記矩陣

A=(ax,a2,ay)B=

(

%+a2+%?+2a2+4a3,at+3a2+9%

)

如果IAI=1,那么皿=2

【分析】將B寫成用A右乘另一矩陣的形式,

再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可。

【詳解】對矩陣B用分塊技巧，有

111

B=(a,a2a3)123

149

兩邊取行列式，并用行列式乘法公式，得

111

|B|=|A|123=2|川第二章矩陣

149

一、矩陣運算

所以IBI=2.'12-2"

1.(97,填(4)題，3分)設(shè)4=4r3,

-2r

3-11

6.(06,(5)題，4分)設(shè)矩陣4=,

-12_

B為三階非零矩陣，且AB=0,貝h=-3

E為單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E,則

【分析】由AB=0也可推知r(A)+r(B)<3,

IBI=

而r(B)>0。于是r(A)W2,故有IAI=0=>t=-3.

【分析】本題為計算方陣行列式，應(yīng)利用矩【詳解】由于B為三階非零矩陣，且AB=0,

陣運算與行列式的關(guān)系來求解可見線性方程組Ax=0存在非零解，故

【詳解】由BA=B+2E得

BA-B=2E

12-21.(96,八題，6分)設(shè)4=七一,,，其中

\A\=4t3=Onr=-3

3-11E是n階單位矩陣，J是n維非零列向量，?

二、伴隨矩陣

是J的轉(zhuǎn)置，證明：

1.(05,12題，4分)設(shè)A為n(〃22)階可

逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,

(1)/P=A的充要條件是聶7=1

A*,8"分別為A,B的伴隨矩陣，則

(2)當(dāng)打7'=1時，A是不可逆矩陣

(A)交換A*的第1列與第2列得B*

【分析】本題考查矩陣乘法的分配律、結(jié)合

(B)交換A,的第1行與第2行得B*律。題中J是n維列向量，則將是n階矩

(C)交換A*的第1列與第2列得—6*陣且秩為1?而夕J是一個數(shù)

【詳解】

(D)交換A*的第1行與第2行得

(1)

—B*

4=(E-g)(E-2打r)=E—2野+或夕？?=E-(2-

【答】應(yīng)選(C)因此

【分析】本題考查初等變換得概念與初等矩

4=A=E-(2-夕?)&野Qe「J—l),T=0

陣的性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣的

關(guān)系以及伴隨矩陣的性質(zhì)盡心分析即可

【詳解】為書寫簡捷，不妨考查A為3階矩

因為J/0,所以打TW0故A2=A的充要

陣，因為A作初等行變換得到B,所以用初

等矩陣左乘A得到B,按已知有

條件為三歲=1

'010'

100A=B(2)方法一：當(dāng)^=1時，由A=E-gr,

001

有AJ=—=O,

因為J/0故Ax=0有非零解，因此IAI=0,

說明A不可逆

方法二：當(dāng)"=1,由

A2=A^A(E-A)=0,即E-A的每一

列均為Ax=0的解，

010因為E—A=,‘。0,說明Ax=0有非零

又因IAI=-IBI,故A*100=_B*,

解，故秩(A)<n,因此A不可逆

001

方法三：用反證法。假設(shè)A可逆，當(dāng)&%=1,

所以應(yīng)選(C)

三、可逆矩陣

有4=A

于是4-以2=4-“，即A=E,這與

【答】應(yīng)選(C)

A=E—JSWE矛盾,故A時不可逆矩陣［分析】因為4,巴為初等矩陣，對A左乘

或右乘初等矩陣，相當(dāng)于對A施行了一次行

2.(01,填(4)題，3分)設(shè)矩陣A滿足或列初等變換，這里，B是由A先將第一行

加到第三行，再交換第一、二行兩次初等變

A2+A-4E=0,其中E為單位矩陣，則

換得到的，故有=6

(A-E)~'=3A+2E)

【詳解】［是交換單位矩陣的第一、二行所

【分析】本題中矩陣A的元素沒有給出，因

得初等矩陣，1是將單位矩陣的第一行加到

此用伴隨矩陣，用初等行變換求逆的方法行

不通，應(yīng)當(dāng)考慮用定義法。第三行所得初等矩陣，而B是由A先將第一

行加到第三行，然后再交換第一、二行兩次

【詳解】由題設(shè)，A2+A-4E=0,

初等交換得到的，因此有勺［4=8,故正

有

確選項為(C)

A2+A-2E=2E,(A-E)(A+2E)=2E

也即(A—E>L(A+2E)=E2.(97,八題，5分)設(shè)A是〃階可逆方陣，

2將A的第，?行和第，行對換后得到的矩陣為B

故(A—E)T=g(A+2E)(1)證明B可逆；

(2)求"T

四、初等變換和初等矩陣

1.(95,選(5)題，3分)設(shè)【分析】本題考查了初等矩陣的定義，性質(zhì)

?級初等變換的關(guān)系，將A的第行和第

a!2%3ij

行對換，相當(dāng)于左乘一初等矩陣，交換兩行，

行列式變號，其值仍不為零，從而6可逆

【詳解】(1)記E(i,j)是由n階單位矩陣的

的i行和的j行對換后得到的初等矩陣，則

B=E(i,J)A,于是有IBI=IE(i,J)IIAI=-IAIW0,故

B可逆

(2)

A［E(i,j)=AA-'E-'(z,j)=E-'=E(i,j)

3.(04,選(11)題，4分)設(shè)A是3階方

陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B

得第2列加到第3列得C,則滿足AQ=C的

(B)APP=B

2}可逆矩陣Q為

(C)PiP?A=B'010'

(A)100

(D)P2PfA=B101

010

(B)101

【分析】本題為矩陣運算，需要利用矩陣的

001初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系來求解。

010【詳解】因為P為初等矩陣，PA相當(dāng)于把A

的第2行加到第1行，記8=骷，所以正選

(C)100

011應(yīng)在(B),(D)之中，而3P，相當(dāng)于把B

'oir的第2列加到第1歹U，故選項(D)錯誤，于

是，正確選項為(B)

(D)100

001

【答】應(yīng)選(D)五、矩陣方程

【分析】本題考查初等矩陣的概念與性質(zhì)，1.(95,填5題，3分)設(shè)三階方陣A,B滿

對A作兩次初等列變換，相當(dāng)于右乘兩個相

足關(guān)系式：A-'BA^()A+BA,且

應(yīng)的初等矩陣，而Q即為此兩個初等矩陣的

乘積

【詳解】由題意，有-00

3-300

A=

'01O-0O-0-0，則B=020

4[o01

A100=B,B011=c1

00-—

001001_7_

于是【分析】解這種矩陣的題型，應(yīng)先進行化簡

-

-01o-noo--011后再計算，但注意的是：左乘與右乘矩陣時

是有區(qū)別的，請不要輕易地犯這種低級錯誤。

A100011=A100=c,

[o01.

_001_001【詳解】在已知等式ATBA=6A+BA兩邊

可見應(yīng)選(D)

右乘以TTL得

4.(06,(12)題，4分)設(shè)A為3階矩陣，

將A的第2行加到第1行得B,再將B的第

A-'B=6E+B

1列的一1倍加到第2列得C,記

0-于是

P=。10則

-1

001-20o--300

B=6(A-JE)T=6030=020

(A)C=P''AP006001

(B)C=PAP-'

2.(00,十題，6分)設(shè)矩陣A的伴隨矩陣

(C)C=PTAP

(D)C=PAPT

-100o-而

0100-1000■-i-100o-

A=,且

101001000100

0-308(A-￡尸=-2010=2010

334

ABA''=BA''+3E,其中E為4階單位矩00--010-

L44.--3.

陣，求矩陣B

【分析】本題為求解矩陣方程問題，B相當(dāng)因此

于是未知矩陣，其一般原則是先化簡，再計

-100o--2000-

6000

01000200

算，根據(jù)題設(shè)，等式可先右乘A,再左乘A*,0600

B=32010―'2020—

6060

盡量不去計算人7431

01000030-1

-3.44.

【詳解1】由AA*=A*ATAIE,知

六、矩陣得秩

IA*1=1AI"-1,因此有

1.（96,填5題，3分）設(shè)A是4X3矩陣,

8TA*I=IA|3,于是|A|=2'102'

且A得秩r(A)=2,而8=020,則r

在等式ABA-'=BA-'=3E兩邊先右-103

乘A,再左乘A*,得(AB)=2

【分析】本題是基本題型，考查的是矩陣的

(2E—A*)B=6E,

秩

于是102

1000_-60?！娟RI￥】因為忸|=020=10聲0,說明

01000600

8=6(2E-=6-103

-101060H1

3可逆，故秩4人3）=秩r（A）=2

030-603

%b]C]

2.（98,選4題，3分）設(shè)矩陣a2b2c2

【詳解2】lA1=2(同解1)。由A4*=1AIE,

a3AQ

得

Xa

Z4、~3）一3二

-100O-儲滿株的0則稠fefe------=

q-a2瓦-瓦一。2

01000200

A=|A(AX=2(A*)T=2-1010=加魚攵他；y-h_z-。

3人13勾74與一與C2一。3

0-00-0-

88.-4(4A）相交于一

點(B)重合

可見A-E為可逆矩陣，于是由(C)平行但不重

合（D）異面

(A-E)BA-'=3E,有B=3(A-E)TA

。；+6：。0力=1,2,3）交于一點地充要條件

【答】應(yīng)選（A）

【分析】本題綜合運用了線性代數(shù)于空間解是

析幾何兩個知識點，主要考查對滿秩方陣、

（A）%0,見線性相關(guān)

二向量共線的條件及三向量共面的條件等概

念的理解及應(yīng)用，作為選擇題本題首先可由

（B）名,&2，火線性無關(guān)

兩直線不共線，排除選項（B）和（C）,根據(jù)對稱

性，不難觀察到點

（C）秩廠（囚,4，%）=秩/■（?,,?2）

（%—+43，"1-02+〃3，。1—。2+，3）同時滿

（D）4線性相關(guān)，%,4線性無關(guān)

足兩個方程，故應(yīng)選（A）

?14C|

[1

【詳解】設(shè)矩陣abc是滿秩的，所

222【答】應(yīng)選（D）

byCj

_?3【分析】三條直線交于一點的充要條件是方

以通過行初等變換后得矩陣

a^x+bly+ci=0

"1一a2仇一b,Cj一C-）程組<+打）'+。2=0有惟一解

a-ab-bc-c仍是滿秩的，于

232323a3x+b3y+c3=0

%byc

3【詳解】由題設(shè)，三條直線相交于一點，即

是兩直線的方向向量線性方程組

S[={。1—一〃2，q—‘2}a{x+y+Cj=0

<a2x+b2y+c2=0

S={42—。3也一4，。2—。3}

2a3x+b3y+c3=0

線性無關(guān)，可見此兩直線既不平行，又不重

有惟一解，其充要條件為秩7（%,%，%）=

合。又（苗,4,《）、（％,4,，3）分別為兩直線

秩7（%,。2）=2

上的點，其連線向量為：

（A）,（C）必要但非充分；（B）既非充分又

S,={6!,-a,b-b,c-c],滿足

2i2}2非必要；只有（D）為充要條件，故應(yīng)選（D）

S=S,+S,可見S1,S,S3共面，因此

3222.（98,十一題，4分）設(shè)A是n階矩陣，

5,,S2必正交，即兩直線肯定相交若存在正整數(shù)k,使線性方程組=0有解

第三章向量向量a,且Ak~'xH0,證明：向量組

一、向量組地線性相關(guān)問題

a,Aa,---,Ak~'a線性無關(guān)

【分析】向量組a,Aa,…,Ak-'a是線性無關(guān)

的，則當(dāng)4）a+4A,cx+…+A''a=0

時，必有4=4=4T=。成立

a3x+b3y+c3=0其中【詳解】設(shè)有常數(shù)4,4,…，4T，使得

（A）為充分但非必要條件：若向量組

4a+4Aa+…+4_/1&=0

a”…,%，可由向量組片,…,/”線性表示，

則有Ai（4）a+4Aa+…+4_1設(shè)一匕）=0

則一定可推導(dǎo)出口，…，力“線性無關(guān)，因為若

從而

片，…,見線性相關(guān),則廣（囚,大,

由題設(shè)屋一打力。，所以4=0

于是名,…,a“必線性相關(guān)，矛盾。但反過來

類似地可以證明4=4=-=4.T=O,因

不成立，如當(dāng)01=1時，

此向量組a,Aa,…,4"以是線性無關(guān)的a,=（1,0/,1=（0,均為單個非零向量

是線性無關(guān)的，但《并不能用I線性表示

3.（00,選4題，3分）設(shè)n維列向量組

（B）為既非充分又非必要條件。如當(dāng)m=l

（m<n）線性無關(guān)，則n維列向量

時，考慮a=（1,01，4=（0,1［均線性無

組封，…,凡線性無關(guān)的充分必要條件為

美,但用并不能山?線性表示，必要性不成

（A）向量組%，…,a,“可由向量組

立;又如O=（1,0尸,4=（0,0尸，片可由%

片,…，底線性表示

線性表示，但4并不線性無關(guān)，充分性也不

（B）向量組…,以可由向量組

成立

（C）為充分但非必要條件，若向量組

3,…,a,“線性表示

%,…,火,與向量組…，凡等價，由

（C）向量組%,…,a,“與向量組

必,,線性無關(guān)秩，

4,…,我等價

r（4,…，夕?“）=加，因此

（D）矩陣A=（?「??,《“）與矩陣

4,…,我線性無關(guān)，充分性成立；當(dāng)m=l

B=（四,…，氏）等馀

時，考慮《=（1,0尸,女=（0,1尸均線性無

（］

關(guān)，但與與片并不是等價的，必要性不成立

【答】應(yīng)選（D）

故剩下（D）為正確選項.事實上，矩陣

【分析】向量組4,…,4線性相關(guān)Q向量

A=（a”與矩陣8=（4,…,4）等

組的秩”片，…，乩）=m，由定理“若

價

%,…,％可山口|,…,4線性表出，則<=>r（A）=r（5）<=>

區(qū)）4「（/71,..?,夕）”r（月）=m,因此是向

【詳解】用排除法

量組用，…,凡線性無關(guān)的充要條件

量組線性相關(guān)

(B)A的列向量組線性相關(guān)，B的列向

4.(03,選4題,4分)設(shè)向量組I縱

量組線性相關(guān)

(C)A的行向量組線性相關(guān)，B的行向

可由向量組n：4,4,…,4線性表示，則

量組線性相關(guān)

(A)當(dāng)r<s忖，向量組II必線性相關(guān)(D)A的列向量組線性相關(guān)，B的列向

(B)當(dāng)r>s時，向量組II必線性相關(guān)量組線性相關(guān)

(C)當(dāng)r<s時，向量組I必線性相關(guān)

(D)當(dāng)r>s時，向量組I必線性相關(guān)

【答】應(yīng)選(A)

【分析】A,B的行或列向量組是否線性相關(guān),

【答】應(yīng)選(D)可從A,B是否行(或列)滿秩或Ax=0(Bx

【分析】本題為一般教材上均有的比較兩組=0)是否有非零解進行分析討論

【詳解1】設(shè)A為mXn矩陣，B為nXs矩

向量個數(shù)的定理：若向量組I：%,%，…，?

陣，則由AB=0知，

r(A)+r(B)<n

可由向量組H：4,乩，…,及線性表示，則當(dāng)

又A,B為非零矩陣，必有r(A)>0,r(B)>0.可

r>s時，向量組I必線性相關(guān)，或其逆否命題:見r(A)<n,r(B)<n,即A的列向量組線性相關(guān),

B的行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選(A)

若向量組I：aa^---,a可由向量組

vr【詳解2】AB=0知，B的每一列均為Ax=

0的解，而B為非零矩陣，即Ax=0存在非

n：/,尾,…，耳線性表示，且向量組I線性

零解，可見A的列向量組線性相關(guān)。

無關(guān)，則必有可見正確選項為(D)。

同理，由AB=0知，于是有87

本題也可通過舉反例用排除法找到答案

【詳解】用排除法：如的列向量組線性相關(guān)，從而B的行向量組線

性相關(guān)，故應(yīng)選(A)

6.(05,選11題，4分)設(shè)4,4是矩陣A

%=0%+0?尾，但直，⑸線性無關(guān)，排

的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別

除(A)；

為名,。2,則%,A(?+%)線性無關(guān)的充分

必要條件是

(A)4,O(B)4H0

由片線性表示，但/線性無關(guān)，排除(B)；

(o4=°(D)4=0

%=C田'=C\'則必可由

VVVVV7

【答】應(yīng)選(B)

4,尾線性表示，但名線性無關(guān)，排除(C)

【分析】本題綜合考查了特征值、特征向量

故正確選項為(D)和線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，討論一組抽

象向量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求

5.(04,選(12)題，4分)設(shè)A,B為滿足其秩即可

AB=0的任意兩個非零矩陣，則必有：【詳解】按特征值特征向量定義，有

(A)A的列向量組線性相關(guān)，B的行向

A(a,+%)=+^ai=4al+4a2

%,4（6+。2）線性無