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文檔簡介
【詳解】按第一行展開,
第一章行列式
原式
1.(95,九題,6分)設(shè)A是”階矩陣,滿
ab200b
22aba
b2224
b0~\,0〃3
足(E是〃階單位陣,A'是A的3%h.ata4一他
"3%ba
00%0033
轉(zhuǎn)置矩陣,L4l<0,求L4+EI。%
【分析】由矩陣等式AA'=E求抽象矩陣
=(a2a3-她)(4。4-34)
A+E的行列式,聯(lián)想到利用此等式條件,則
有兩種方法:故正確選項為(D)
3.(99,選(4)題,3分)設(shè)A是〃?X〃矩
①將E=AA,直接代入要計算的行列式
陣,B是"X/H矩陣,則
中。
(A)當(dāng)m>n時,必有行列式IIAB昆0.
②“湊”出可利用已知矩陣等式中左端的
形式AAL再將44'=E代入計算。(B)當(dāng)加>"時,必有行列式IIA31=0.
像這種矩陣運算與行列式計算結(jié)合考查
(C)當(dāng)n>m時,必有行列式IIABIH0.
的題型,應(yīng)注意.
【詳解】根據(jù)/14r=后有(D)當(dāng)〃〉機時,必有行列式II1=0.
\A+E\=iA+AAT\=\A(E+Ar)\=iA\\E+A\=\A\\A+E\,
于是(17AI)IA+EI=0.C1
【答】應(yīng)選(B)
因為1TAI>0,故IA+EI=O【分析】四個選項在于區(qū)分行列式是否為零,
而行列式是否為零又是矩陣是否可逆的充要
2.(96,選(5)題,3分)四階行列式條件,而矩陣是否可逆又與矩陣是否滿秩相
a\00h\聯(lián)系,所以最終只要判斷AB是否滿秩即可。
本題未知AB的具體元素,因此不方便直接
0出b20
的值等于應(yīng)用行列式的有關(guān)計算方法進行求解。
0a0
%【詳解】因為AB為m階方陣,且
00
尸(AB)<min[r(A),r(S)]<min(m,n)
qa2a3a4—b、b2b3b&
當(dāng)m>n時,由上式可知,r(AB)<n<m,
(B)aaaa+bb^bb
i2?i4]1A即AB不是滿秩的,故有行列式IABI=O,因此
正確選項為(B)
(C)伍必2-*2)(。3a4-匕3仇)
'210'
(D)(“24-4々)(4逆4一仇")4.(04,填(5)題,4分)設(shè)矩陣A=120,
001
矩陣B滿足A84*=2BA*+E,其中A*為A
【答】應(yīng)選(D)
【分析】本題是根據(jù)行列式展開定理按照第
一行展開計算求解的,也可以按照拉普拉斯的伴隨矩陣,E是單位矩陣,則IBI=-
9
展開定理進行計算分析,解答本題有一定的
技巧性
【分析】可先用公式A*4=IAIE進行簡化
【詳解】已知等式兩邊同時右乘A,得=>B(A-E)=2E
IB(A-E)I=I2EI
ABAtA=2BA*A+A,而IAI=3,于是有
=IBIIA-EI=4
3AB=6B+A,即(3A-6E)B=A,再兩邊取行IBI=4IA-Er'
列式有:
I3A-6EIIBI=IAI=3,而13A-6EA27,故所求行列
11,
=4=4x2=8
式為皿=--11
9
5.(05,填(5)題,4分)設(shè)均為
3維列向量,記矩陣
A=(ax,a2,ay)B=
(
%+a2+%?+2a2+4a3,at+3a2+9%
)
如果IAI=1,那么皿=2
【分析】將B寫成用A右乘另一矩陣的形式,
再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可。
【詳解】對矩陣B用分塊技巧,有
111
B=(a,a2a3)123
149
兩邊取行列式,并用行列式乘法公式,得
111
|B|=|A|123=2|川第二章矩陣
149
一、矩陣運算
所以IBI=2.'12-2"
1.(97,填(4)題,3分)設(shè)4=4r3,
-2r
3-11
6.(06,(5)題,4分)設(shè)矩陣4=,
-12_
B為三階非零矩陣,且AB=0,貝h=-3
E為單位矩陣,矩陣B滿足BA=B+2E,則
【分析】由AB=0也可推知r(A)+r(B)<3,
IBI=
而r(B)>0。于是r(A)W2,故有IAI=0=>t=-3.
【分析】本題為計算方陣行列式,應(yīng)利用矩【詳解】由于B為三階非零矩陣,且AB=0,
陣運算與行列式的關(guān)系來求解可見線性方程組Ax=0存在非零解,故
【詳解】由BA=B+2E得
BA-B=2E
12-21.(96,八題,6分)設(shè)4=七一,,,其中
\A\=4t3=Onr=-3
3-11E是n階單位矩陣,J是n維非零列向量,?
二、伴隨矩陣
是J的轉(zhuǎn)置,證明:
1.(05,12題,4分)設(shè)A為n(〃22)階可
逆矩陣,交換A的第1行與第2行得矩陣B,
(1)/P=A的充要條件是聶7=1
A*,8"分別為A,B的伴隨矩陣,則
(2)當(dāng)打7'=1時,A是不可逆矩陣
(A)交換A*的第1列與第2列得B*
【分析】本題考查矩陣乘法的分配律、結(jié)合
(B)交換A,的第1行與第2行得B*律。題中J是n維列向量,則將是n階矩
(C)交換A*的第1列與第2列得—6*陣且秩為1?而夕J是一個數(shù)
【詳解】
(D)交換A*的第1行與第2行得
(1)
—B*
4=(E-g)(E-2打r)=E—2野+或夕??=E-(2-
【答】應(yīng)選(C)因此
【分析】本題考查初等變換得概念與初等矩
4=A=E-(2-夕?)&野Qe「J—l),T=0
陣的性質(zhì),只需利用初等變換與初等矩陣的
關(guān)系以及伴隨矩陣的性質(zhì)盡心分析即可
【詳解】為書寫簡捷,不妨考查A為3階矩
因為J/0,所以打TW0故A2=A的充要
陣,因為A作初等行變換得到B,所以用初
等矩陣左乘A得到B,按已知有
條件為三歲=1
'010'
100A=B(2)方法一:當(dāng)^=1時,由A=E-gr,
001
有AJ=—=O,
因為J/0故Ax=0有非零解,因此IAI=0,
說明A不可逆
方法二:當(dāng)"=1,由
A2=A^A(E-A)=0,即E-A的每一
列均為Ax=0的解,
010因為E—A=,‘。0,說明Ax=0有非零
又因IAI=-IBI,故A*100=_B*,
解,故秩(A)<n,因此A不可逆
001
方法三:用反證法。假設(shè)A可逆,當(dāng)&%=1,
所以應(yīng)選(C)
三、可逆矩陣
有4=A
于是4-以2=4-“,即A=E,這與
【答】應(yīng)選(C)
A=E—JSWE矛盾,故A時不可逆矩陣[分析】因為4,巴為初等矩陣,對A左乘
或右乘初等矩陣,相當(dāng)于對A施行了一次行
2.(01,填(4)題,3分)設(shè)矩陣A滿足或列初等變換,這里,B是由A先將第一行
加到第三行,再交換第一、二行兩次初等變
A2+A-4E=0,其中E為單位矩陣,則
換得到的,故有=6
(A-E)~'=3A+2E)
【詳解】[是交換單位矩陣的第一、二行所
【分析】本題中矩陣A的元素沒有給出,因
得初等矩陣,1是將單位矩陣的第一行加到
此用伴隨矩陣,用初等行變換求逆的方法行
不通,應(yīng)當(dāng)考慮用定義法。第三行所得初等矩陣,而B是由A先將第一
行加到第三行,然后再交換第一、二行兩次
【詳解】由題設(shè),A2+A-4E=0,
初等交換得到的,因此有勺[4=8,故正
有
確選項為(C)
A2+A-2E=2E,(A-E)(A+2E)=2E
也即(A—E>L(A+2E)=E2.(97,八題,5分)設(shè)A是〃階可逆方陣,
2將A的第,?行和第,行對換后得到的矩陣為B
故(A—E)T=g(A+2E)(1)證明B可逆;
(2)求"T
四、初等變換和初等矩陣
1.(95,選(5)題,3分)設(shè)【分析】本題考查了初等矩陣的定義,性質(zhì)
?級初等變換的關(guān)系,將A的第行和第
a!2%3ij
行對換,相當(dāng)于左乘一初等矩陣,交換兩行,
行列式變號,其值仍不為零,從而6可逆
【詳解】(1)記E(i,j)是由n階單位矩陣的
的i行和的j行對換后得到的初等矩陣,則
B=E(i,J)A,于是有IBI=IE(i,J)IIAI=-IAIW0,故
B可逆
(2)
A[E(i,j)=AA-'E-'(z,j)=E-'=E(i,j)
3.(04,選(11)題,4分)設(shè)A是3階方
陣,將A的第1列與第2列交換得B,再把B
得第2列加到第3列得C,則滿足AQ=C的
(B)APP=B
2}可逆矩陣Q為
(C)PiP?A=B'010'
(A)100
(D)P2PfA=B101
010
(B)101
【分析】本題為矩陣運算,需要利用矩陣的
001初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系來求解。
010【詳解】因為P為初等矩陣,PA相當(dāng)于把A
的第2行加到第1行,記8=骷,所以正選
(C)100
011應(yīng)在(B),(D)之中,而3P,相當(dāng)于把B
'oir的第2列加到第1歹U,故選項(D)錯誤,于
是,正確選項為(B)
(D)100
001
【答】應(yīng)選(D)五、矩陣方程
【分析】本題考查初等矩陣的概念與性質(zhì),1.(95,填5題,3分)設(shè)三階方陣A,B滿
對A作兩次初等列變換,相當(dāng)于右乘兩個相
足關(guān)系式:A-'BA^()A+BA,且
應(yīng)的初等矩陣,而Q即為此兩個初等矩陣的
乘積
【詳解】由題意,有-00
3-300
A=
'01O-0O-0-0,則B=020
4[o01
A100=B,B011=c1
00-—
001001_7_
于是【分析】解這種矩陣的題型,應(yīng)先進行化簡
-
-01o-noo--011后再計算,但注意的是:左乘與右乘矩陣時
是有區(qū)別的,請不要輕易地犯這種低級錯誤。
A100011=A100=c,
[o01.
_001_001【詳解】在已知等式ATBA=6A+BA兩邊
可見應(yīng)選(D)
右乘以TTL得
4.(06,(12)題,4分)設(shè)A為3階矩陣,
將A的第2行加到第1行得B,再將B的第
A-'B=6E+B
1列的一1倍加到第2列得C,記
0-于是
P=。10則
-1
001-20o--300
B=6(A-JE)T=6030=020
(A)C=P''AP006001
(B)C=PAP-'
2.(00,十題,6分)設(shè)矩陣A的伴隨矩陣
(C)C=PTAP
(D)C=PAPT
-100o-而
0100-1000■-i-100o-
A=,且
101001000100
0-308(A-£尸=-2010=2010
334
ABA''=BA''+3E,其中E為4階單位矩00--010-
L44.--3.
陣,求矩陣B
【分析】本題為求解矩陣方程問題,B相當(dāng)因此
于是未知矩陣,其一般原則是先化簡,再計
-100o--2000-
6000
01000200
算,根據(jù)題設(shè),等式可先右乘A,再左乘A*,0600
B=32010―'2020—
6060
盡量不去計算人7431
01000030-1
-3.44.
【詳解1】由AA*=A*ATAIE,知
六、矩陣得秩
IA*1=1AI"-1,因此有
1.(96,填5題,3分)設(shè)A是4X3矩陣,
8TA*I=IA|3,于是|A|=2'102'
且A得秩r(A)=2,而8=020,則r
在等式ABA-'=BA-'=3E兩邊先右-103
乘A,再左乘A*,得(AB)=2
【分析】本題是基本題型,考查的是矩陣的
(2E—A*)B=6E,
秩
于是102
1000_-60?!娟RI¥】因為忸|=020=10聲0,說明
01000600
8=6(2E-=6-103
-101060H1
3可逆,故秩4人3)=秩r(A)=2
030-603
%b]C]
2.(98,選4題,3分)設(shè)矩陣a2b2c2
【詳解2】lA1=2(同解1)。由A4*=1AIE,
a3AQ
得
Xa
Z4、~3)一3二
-100O-儲滿株的0則稠fefe------=
q-a2瓦-瓦一。2
01000200
A=|A(AX=2(A*)T=2-1010=加魚攵他;y-h_z-。
3人13勾74與一與C2一。3
0-00-0-
88.-4(4A)相交于一
點(B)重合
可見A-E為可逆矩陣,于是由(C)平行但不重
合(D)異面
(A-E)BA-'=3E,有B=3(A-E)TA
。;+6:。0力=1,2,3)交于一點地充要條件
【答】應(yīng)選(A)
【分析】本題綜合運用了線性代數(shù)于空間解是
析幾何兩個知識點,主要考查對滿秩方陣、
(A)%0,見線性相關(guān)
二向量共線的條件及三向量共面的條件等概
念的理解及應(yīng)用,作為選擇題本題首先可由
(B)名,&2,火線性無關(guān)
兩直線不共線,排除選項(B)和(C),根據(jù)對稱
性,不難觀察到點
(C)秩廠(囚,4,%)=秩/■(?,,?2)
(%—+43,"1-02+〃3,。1—。2+,3)同時滿
(D)4線性相關(guān),%,4線性無關(guān)
足兩個方程,故應(yīng)選(A)
?14C|
[1
【詳解】設(shè)矩陣abc是滿秩的,所
222【答】應(yīng)選(D)
byCj
_?3【分析】三條直線交于一點的充要條件是方
以通過行初等變換后得矩陣
a^x+bly+ci=0
"1一a2仇一b,Cj一C-)程組<+打)'+。2=0有惟一解
a-ab-bc-c仍是滿秩的,于
232323a3x+b3y+c3=0
%byc
3【詳解】由題設(shè),三條直線相交于一點,即
是兩直線的方向向量線性方程組
S[={。1—一〃2,q—‘2}a{x+y+Cj=0
<a2x+b2y+c2=0
S={42—。3也一4,。2—。3}
2a3x+b3y+c3=0
線性無關(guān),可見此兩直線既不平行,又不重
有惟一解,其充要條件為秩7(%,%,%)=
合。又(苗,4,《)、(%,4,,3)分別為兩直線
秩7(%,。2)=2
上的點,其連線向量為:
(A),(C)必要但非充分;(B)既非充分又
S,={6!,-a,b-b,c-c],滿足
2i2}2非必要;只有(D)為充要條件,故應(yīng)選(D)
S=S,+S,可見S1,S,S3共面,因此
3222.(98,十一題,4分)設(shè)A是n階矩陣,
5,,S2必正交,即兩直線肯定相交若存在正整數(shù)k,使線性方程組=0有解
第三章向量向量a,且Ak~'xH0,證明:向量組
一、向量組地線性相關(guān)問題
a,Aa,---,Ak~'a線性無關(guān)
【分析】向量組a,Aa,…,Ak-'a是線性無關(guān)
的,則當(dāng)4)a+4A,cx+…+A''a=0
時,必有4=4=4T=。成立
a3x+b3y+c3=0其中【詳解】設(shè)有常數(shù)4,4,…,4T,使得
(A)為充分但非必要條件:若向量組
4a+4Aa+…+4_/1&=0
a”…,%,可由向量組片,…,/”線性表示,
則有Ai(4)a+4Aa+…+4_1設(shè)一匕)=0
則一定可推導(dǎo)出口,…,力“線性無關(guān),因為若
從而
片,…,見線性相關(guān),則廣(囚,大,
由題設(shè)屋一打力。,所以4=0
于是名,…,a“必線性相關(guān),矛盾。但反過來
類似地可以證明4=4=-=4.T=O,因
不成立,如當(dāng)01=1時,
此向量組a,Aa,…,4"以是線性無關(guān)的a,=(1,0/,1=(0,均為單個非零向量
是線性無關(guān)的,但《并不能用I線性表示
3.(00,選4題,3分)設(shè)n維列向量組
(B)為既非充分又非必要條件。如當(dāng)m=l
(m<n)線性無關(guān),則n維列向量
時,考慮a=(1,01,4=(0,1[均線性無
組封,…,凡線性無關(guān)的充分必要條件為
美,但用并不能山?線性表示,必要性不成
(A)向量組%,…,a,“可由向量組
立;又如O=(1,0尸,4=(0,0尸,片可由%
片,…,底線性表示
線性表示,但4并不線性無關(guān),充分性也不
(B)向量組…,以可由向量組
成立
(C)為充分但非必要條件,若向量組
3,…,a,“線性表示
%,…,火,與向量組…,凡等價,由
(C)向量組%,…,a,“與向量組
必,,線性無關(guān)秩,
4,…,我等價
r(4,…,夕?“)=加,因此
(D)矩陣A=(?「??,《“)與矩陣
4,…,我線性無關(guān),充分性成立;當(dāng)m=l
B=(四,…,氏)等馀
時,考慮《=(1,0尸,女=(0,1尸均線性無
(]
關(guān),但與與片并不是等價的,必要性不成立
【答】應(yīng)選(D)
故剩下(D)為正確選項.事實上,矩陣
【分析】向量組4,…,4線性相關(guān)Q向量
A=(a”與矩陣8=(4,…,4)等
組的秩”片,…,乩)=m,由定理“若
價
%,…,%可山口|,…,4線性表出,則<=>r(A)=r(5)<=>
區(qū))4「(/71,..?,夕)”r(月)=m,因此是向
【詳解】用排除法
量組用,…,凡線性無關(guān)的充要條件
量組線性相關(guān)
(B)A的列向量組線性相關(guān),B的列向
4.(03,選4題,4分)設(shè)向量組I縱
量組線性相關(guān)
(C)A的行向量組線性相關(guān),B的行向
可由向量組n:4,4,…,4線性表示,則
量組線性相關(guān)
(A)當(dāng)r<s忖,向量組II必線性相關(guān)(D)A的列向量組線性相關(guān),B的列向
(B)當(dāng)r>s時,向量組II必線性相關(guān)量組線性相關(guān)
(C)當(dāng)r<s時,向量組I必線性相關(guān)
(D)當(dāng)r>s時,向量組I必線性相關(guān)
【答】應(yīng)選(A)
【分析】A,B的行或列向量組是否線性相關(guān),
【答】應(yīng)選(D)可從A,B是否行(或列)滿秩或Ax=0(Bx
【分析】本題為一般教材上均有的比較兩組=0)是否有非零解進行分析討論
【詳解1】設(shè)A為mXn矩陣,B為nXs矩
向量個數(shù)的定理:若向量組I:%,%,…,?
陣,則由AB=0知,
r(A)+r(B)<n
可由向量組H:4,乩,…,及線性表示,則當(dāng)
又A,B為非零矩陣,必有r(A)>0,r(B)>0.可
r>s時,向量組I必線性相關(guān),或其逆否命題:見r(A)<n,r(B)<n,即A的列向量組線性相關(guān),
B的行向量組線性相關(guān),故應(yīng)選(A)
若向量組I:aa^---,a可由向量組
vr【詳解2】AB=0知,B的每一列均為Ax=
0的解,而B為非零矩陣,即Ax=0存在非
n:/,尾,…,耳線性表示,且向量組I線性
零解,可見A的列向量組線性相關(guān)。
無關(guān),則必有可見正確選項為(D)。
同理,由AB=0知,于是有87
本題也可通過舉反例用排除法找到答案
【詳解】用排除法:如的列向量組線性相關(guān),從而B的行向量組線
性相關(guān),故應(yīng)選(A)
6.(05,選11題,4分)設(shè)4,4是矩陣A
%=0%+0?尾,但直,⑸線性無關(guān),排
的兩個不同的特征值,對應(yīng)的特征向量分別
除(A);
為名,。2,則%,A(?+%)線性無關(guān)的充分
必要條件是
(A)4,O(B)4H0
由片線性表示,但/線性無關(guān),排除(B);
(o4=°(D)4=0
%=C田'=C\'則必可由
VVVVV7
【答】應(yīng)選(B)
4,尾線性表示,但名線性無關(guān),排除(C)
【分析】本題綜合考查了特征值、特征向量
故正確選項為(D)和線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念,討論一組抽
象向量的線性無關(guān)性,可用定義或轉(zhuǎn)化為求
5.(04,選(12)題,4分)設(shè)A,B為滿足其秩即可
AB=0的任意兩個非零矩陣,則必有:【詳解】按特征值特征向量定義,有
(A)A的列向量組線性相關(guān),B的行向
A(a,+%)=+^ai=4al+4a2
%,4(6+。2)線性無
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