2023年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)試題及答案-北京卷

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（文史類(lèi)）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知，集合，則（A）（B）（C）（D）（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（A）2（B）（C）（D）（4）若滿(mǎn)足QUOTE則的最大值為（A）1（B）3（C）5（D）9（5）已知函數(shù)，則（A）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（B）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（C）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（D）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（6）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（A）60（B）30（C）20（D）10（7）設(shè)為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（8）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限約為，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為.則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）（A）（B）（C）（D）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).若，則_________．（10）若雙曲線(xiàn)的離心率為，則實(shí)數(shù)=__________．（11）已知，，且，則的取值范圍是__________．（12）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0)，O為原點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)________．（13）能夠說(shuō)明“設(shè)是任意實(shí)數(shù)．若，則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為_(kāi)_____________________________．（14）某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：（?。┠袑W(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；（ⅱ）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；（ⅲ）教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)．①若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_(kāi)_________．②該小組人數(shù)的最小值為_(kāi)_________．三、解答題：共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（15）（本小題13分）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)足．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求和：．（16）（本小題13分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，（17）（本小題13分）某大學(xué)藝術(shù)專(zhuān)業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30），[30,40），......，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)；（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．（18）（本小題14分）如圖，在三棱錐中，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上一點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）當(dāng)平面時(shí)，求三棱錐的體積．（19）（本小題14分）已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)交橢圓于不同的兩點(diǎn)，過(guò)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn).求證：△與△的面積之比為4:5．（20）（本小題13分）已知函數(shù)（Ⅰ）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（文史類(lèi)）一、選擇題（1）C（2）B（3）C（4）D（5）B（6）D（7）A（8）D二、填空題（9）（10）2（11）（12）6（13）-1，-2，-3（14）6，12三、解答題（15）解：（Ⅰ）設(shè)的公差為，據(jù)已知，得，所以.所以（Ⅱ）設(shè)的公比為，因?yàn)?，所以，所以因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1公比為的等比數(shù)列，所以是首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列，所以求和：．（16）解：（Ⅰ）所以，最小正周期為（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因?yàn)樗运?，?dāng)，即時(shí)，取最小值，所以，得證（17）解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)小于70的頻率為（Ⅱ）設(shè)樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)為，則由頻率和為1得解得（Ⅲ）因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)不小于70的人數(shù)共有（人）所以，分?jǐn)?shù)不小于70的人中男女各占30人所以，樣本中男生人數(shù)為30+30=60人，女生人數(shù)為100-60=40人所以，總體中男生和女生的比例為（18）（Ⅰ）證明：，又平面平面，平面，又平面，（Ⅱ）證明：，是的中點(diǎn)，,由（Ⅰ）知平面平面，平面平面