冪函數(shù)專練 高一數(shù)學(xué) 必修第一冊(cè)

冪函數(shù)一、冪函數(shù)的圖象與概念1、定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．2、冪函數(shù)的特征：（1）xα的系數(shù)是1；（2）xα的底數(shù)x是自變量；（3）xα的指數(shù)α為常數(shù)．只有滿足這三個(gè)條件，才是冪函數(shù)．對(duì)于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．3、五個(gè)常見冪函數(shù)的圖象排列特點(diǎn)：第一象限內(nèi)，在直線x＝1右側(cè)，其指數(shù)越大，圖象越高，即“指大圖高”.圖象規(guī)律：冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限．圖象若與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，一定交于坐標(biāo)原點(diǎn)．三點(diǎn)注意：(1)當(dāng)α＜0時(shí)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，類似于y＝x－1的圖象，且在第一象限內(nèi)，逆時(shí)針方向指數(shù)在增大；(2)當(dāng)0＜α＜1時(shí)，函數(shù)圖象傾向x軸，類似于的圖象；(3)當(dāng)α>1時(shí)，函數(shù)圖象傾向y軸，類似于y＝x3的圖象，且在第一象限內(nèi)，逆時(shí)針方向指數(shù)在增大.二、冪函數(shù)的性質(zhì)1、所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)；2、如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；3、如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)x從原點(diǎn)趨向于＋∞時(shí)，圖象在x軸上方無限接近x軸；4、在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．三、對(duì)于形如（其中m∈N*，n∈Z，m與n互質(zhì)）的冪函數(shù)1、當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；2、當(dāng)m，n都為奇數(shù)時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；3、當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，（或），是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限（或第一象限及原點(diǎn)處）四、作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)或[0，+∞)，作圖已完成；若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對(duì)稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱作出第三象限的圖象.題型一判斷是否為冪函數(shù)【例1】現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【變式1-1】下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．B．C．D．【變式1-2】下列函數(shù)中，不是冪函數(shù)的是（）A．y＝2xB．y＝x－1C．y＝D．y＝x2【變式1-3】下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)镽的冪函數(shù)是（）A．B．C．D．題型二求冪函數(shù)的解析式【例2】（多選）如果冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為（）A．B．C．D．無解【變式2-1】已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則=．【變式2-2】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的解析式是_____.【變式2-3】已知冪函數(shù)在為減函數(shù)，則___________.【變式2-4】已知冪函數(shù)（k∈N*）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，求函數(shù)f（x）的解析式．題型三冪函數(shù)定義域問題【例3】函數(shù)的定義域是.【變式3-1】函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【變式3-2】已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢．RB．C．D．【變式3-3】若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________題型四冪函數(shù)的值域問題【例4】?jī)绾瘮?shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時(shí)，集合C為（）A．B．C．D．【變式4-1】若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值域?yàn)開___________．【變式4-2】已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A．1B．C．D．【變式4-3】?jī)绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【變式4-4】已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____．題型五冪函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用【例5】?jī)绾瘮?shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【變式5-1】函數(shù)和的圖象如圖所示，有下列四個(gè)說法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果時(shí)，那么.其中正確的是（）.A．①④B．①C．①②D．①③④【變式5-2】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的大致圖象是（）A．B．C．D．【變式5-3】圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、B．、、C．、、D．、、【變式5-4】若冪函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，則（）A．；B．，；C．，；D．，．【變式5-5】函數(shù)的圖像可能是（）A．B．C．D．題型六冪函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題【例6】三個(gè)冪函數(shù)（1），（2），（3）都經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【變式6-1】若函數(shù)與圖象關(guān)于對(duì)稱，且，則必過定點(diǎn)（）A．B．C．D．【變式6-2】函數(shù)的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)（）A．B．C．D．【變式6-3】若，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【變式6-4】函數(shù)的圖象過定點(diǎn)________．【變式6-5】?jī)绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)____．題型七利用冪函數(shù)單調(diào)性解不等式【例7】若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（16，8），則的解集為（）A．（–∞，0）∪（1，+∞）B．（0，1）C．（–∞，0）D．（1，+∞）【變式7-1】已知函數(shù)，那么不等式的解集為__________．【變式7-2】若，求a的取值范圍.【變式7-3】已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的a的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式7-4】已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，求滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型八冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例8】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，記的值域?yàn)榧?，若集合，且，求?shí)數(shù)的取值范圍.【變式8-1】已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在上的值域．【變式8-2】已知函數(shù)為偶函數(shù)，且f