拋物線綜合大題歸類 高二數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019選擇性必修第一冊）

拋物線綜合大題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】基礎(chǔ)運(yùn)算 1【題型二】常規(guī)韋達(dá)定理 2【題型三】拋物線方程特征：“點(diǎn)代入” 2【題型四】拋物線中的直線過定點(diǎn) 3【題型五】焦點(diǎn)四邊形面積最值 4【題型六】范圍最值 5【題型七】斜率計(jì)算1：等腰三角形與的等角 5【題型八】斜率計(jì)算2：原點(diǎn)直線斜率積 6【題型九】斜率計(jì)算3：斜率和定值與定點(diǎn)直線 6【題型十】斜率計(jì)算4：三斜率 7培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 8培優(yōu)第二階——能力提升練 8培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 9【題型一】基礎(chǔ)運(yùn)算【典例分析】已知動點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線：的距離相等.(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與動點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，求線段的長度.【提分秘籍】基本規(guī)律韋達(dá)定理基本題型思維：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式訓(xùn)練】已知直線l的斜率為k，且過點(diǎn)，拋物線，直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A、B．(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)直線l的傾斜角，當(dāng)tan為何值時(shí)，A、B分別與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線互相垂直？【題型二】常規(guī)韋達(dá)定理【典例分析】已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的左、右焦點(diǎn)，M為C上任意一點(diǎn)，最大值為1．(1)求橢圓C的方程；(2)直線：交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，且，求的值.【提分秘籍】基本規(guī)律聯(lián)立方程寫出韋達(dá)定理后，要注意把題中的條件轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理的形式，這個是解題的突破點(diǎn)。【變式訓(xùn)練】已知一個半徑為的圓的圓心在拋物線上，該圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與C的準(zhǔn)線l相切.過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線AB交C于A，B兩點(diǎn)，過弦AB的中點(diǎn)M作平行于x軸的直線，與直線OA，OB，l分別相交于P，Q，N三點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程.【題型三】拋物線方程特征：“點(diǎn)代入”【典例分析】已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4．(1)求拋物線的方程;(2)已知點(diǎn)在拋物線上，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值．【提分秘籍】基本規(guī)律充分利用拋物線方程的結(jié)構(gòu)特征：x，y一個二次一個一次，所以可以“設(shè)二次不舍一次”，點(diǎn)代入計(jì)算化簡【變式訓(xùn)練】1.如圖，已知拋物線C：和圓：，過拋物線C上一點(diǎn)作兩條直線與圓相切于A，B兩點(diǎn)，分別交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，圓心M到拋物線準(zhǔn)線的距離為．(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)?shù)慕瞧椒志€垂直于x軸時(shí)，求直線EF的斜率．2.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)(1)用p表示A，B之間的距離；(2)證明：的大小是與p無關(guān)的定值，并求出這個值.3.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，以拋物線上一動點(diǎn)M為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)F，若圓M的面積最小值為.(1)求p的值；(2)當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1且位于第一象限時(shí)，過M作拋物線的兩條弦MA，MB，且滿足證明：直線AB的斜率為定值．【題型四】拋物線中的直線過定點(diǎn)【典例分析】在平面直角坐標(biāo)系中，已知動圓與圓內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)曲線上存在一點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率之和為，證明：直線過定點(diǎn)．【提分秘籍】基本規(guī)律求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.【變式訓(xùn)練】已知一個邊長為的等邊三角形的一個頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線于、兩點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn)．【題型五】焦點(diǎn)四邊形面積最值【典例分析】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E（﹣1，0），圓與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，直線BE與拋物線交點(diǎn)為D．(1)求證：直線AD過焦點(diǎn)F；(2)過F作直線MN⊥AD，交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，求四邊形ANDM面積的最小值．【提分秘籍】基本規(guī)律圓錐曲線中求面積常規(guī)類型（1）(2)三角形恒過數(shù)軸上的定線段，可分為左右或者上下面積，轉(zhuǎn)化為(3)三角形恒過某定點(diǎn)，可分為左右或者上下面積，轉(zhuǎn)化為（4）四邊形面積，注意根據(jù)題中條件，直接求面積或者轉(zhuǎn)化為三角形面積求解。【變式訓(xùn)練】.已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于圓的半徑．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與，直線交于，兩點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【題型六】范圍最值【典例分析】.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線的準(zhǔn)線上的動點(diǎn)．(1)求p的值和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．【變式訓(xùn)練】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，．(1)求拋物線C的方程；(2)若P，Q為拋物線C上兩個動點(diǎn)，，E為PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)E縱坐標(biāo)的最小值．【題型七】斜率計(jì)算1：等腰三角形與的等角【典例分析】動圓M與圓外切，且與直線相切．(1)求動圓M圓心的軌跡的方程．(2)已知斜率為－1的直線l交曲線于A，B兩個不同的點(diǎn)，定點(diǎn)．求證：直線PA，PB與x軸總圍成等腰三角形．【變式訓(xùn)練】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，．(1)求C的方程：(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得恒成立（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在求出坐標(biāo)，若不存在說明理由．【題型八】斜率計(jì)算2：原點(diǎn)直線斜率積【典例分析】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線E上，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，且，A，B是拋物線E上異于O的兩點(diǎn)(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為，求證：直線AB恒過定點(diǎn)．【提分秘籍】基本規(guī)律1.對于拋物線。過點(diǎn)（0，m）作直線交拋物線于A.,B兩點(diǎn)則直線OA,OB的斜率之積為定值2.對于拋物線。過點(diǎn)（m，0）作直線交拋物線于A.,B兩點(diǎn)則直線OA,OB的斜率之積為定值【變式訓(xùn)練】已知拋物線上縱坐標(biāo)為3的一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為5．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA，OB的斜率分別為，，求．【題型九】斜率計(jì)算3：斜率和定值與定點(diǎn)直線【典例分析】已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上.(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于，記直線的斜率分別為，求證：為定值.【變式訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離.不經(jīng)過點(diǎn)S的直線l與E交于A，B.(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AS，BS的斜率之和為2，證明：直線l過定點(diǎn).【題型十】斜率計(jì)算4：三斜率【典例分析】.如圖，拋物線E：y2＝2px的焦點(diǎn)為F，四邊形DFMN為正方形，點(diǎn)M在拋物線E上，過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，交直線ND于點(diǎn)C.(1)若B為線段AC的中點(diǎn)，求直線l的斜率；(2)若正方形DFMN的邊長為1，直線MA，MB，MC的斜率分別為k1，k2，k3，則是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】如圖，已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)滿足的中點(diǎn)均在上.(1)求拋物線的方程；(2)記直線的斜率分別為，請問是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知拋物線C：與直線相切．(1)求C的方程；(2)過C的焦點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，AB的中垂線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，若，求l的方程．2．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線相交于兩點(diǎn).(1)求證：；(2)求的面積S.3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，過動點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為M，且.記動點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線交曲線于不同的兩點(diǎn)、，若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.培優(yōu)第二階——能力提升練1、已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線是否恒過點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．2．如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)F，且經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求p和m的值；(2)點(diǎn)M，N在C上，且．過點(diǎn)A作，D為垂足，證明：存在定點(diǎn)Q，使得為定值．3．已知拋物線與直線交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為．(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)P作直線m交拋物線于點(diǎn)A，B，是否存在定點(diǎn)M，使得以弦AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M．若存在，請求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為A為C上的一點(diǎn)，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)，(1)若的面積為，求的值及圓的方程(2)若直線與拋物線C交于