高中數(shù)學(xué)函數(shù)圖像考點(diǎn)解析和例題梳理

函數(shù)的圖像

高考要求：

1.掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點(diǎn)法和圖象變換法.

2.會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題.

3.用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題.

4.掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力.

知識(shí)點(diǎn)歸納a

1.作圖方法：描點(diǎn)法和利用基本函數(shù)圖象變換作圖；作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定

義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(甚至變

化趨勢(shì))；④描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象。

2.三種圖象變換：平移變換、對(duì)稱變換和伸縮變換等等；

3.識(shí)圖：分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性、周期性等等方面.

4.平移變換：(1)水平平移：函數(shù)y=/(x+a)的圖像可以把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸

方向向左(a>0)或向右伍<0)平移IaI個(gè)單位即可得到；

(2)豎直平移：函數(shù)y=/(x)+a的圖像可以把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸方向向上

(a>0)或向下(a<0)平移IaI個(gè)單位即可得到.

左移6右移A

①y=f(x)—>y=f(x+h);②y=f(x)—?y=f(x-h);

上移〃F移

③y=f(x)y=f(x)+h;?y=f(x)Ty=f(x)-h.

5.對(duì)稱變換：(1)函數(shù)y=/(-x)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱即可得

到；

(2)函數(shù)y=-/(X)的圖像可以將函數(shù)y=/a)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱即可得到；

(3)函數(shù))，=-/(-%)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可得到；

(4)函數(shù)y=/T(x)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱得至U.

珊y軸

①y=f(x)-y二一f(x);②y=f(x)->y=f(-x);

直線x=a直線產(chǎn)X

③y=f(x)Ty=f(2a-x);④y=f(x)fy=「tx);

原點(diǎn)

⑤y=f(x)—>y=-f(-x).

6.翻折變換：(1)函數(shù))，=l/(x)l的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像的x軸下方部分沿x

軸翻折到x軸上方，去掉原x軸下方部分，并保留y=/(x)的x軸上方部分即可得到；

(2)函數(shù)y=/(Ixl)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像右邊沿y軸翻折到y(tǒng)軸左邊替代

原)，軸左邊部分并保留y=/(x)在y軸右邊部分即可得到.

7.伸縮變換：(1)函數(shù)y=af(x)(a＞0)的圖像可以將函數(shù)y=f(x)的圖像中的每一點(diǎn)橫

坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(?！?)或壓縮(0＜。＜1)為原來的。倍得到：

(2)函數(shù)y=/(ax)(a＞0)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫

坐標(biāo)伸長(zhǎng)(a＞1)或壓縮(0＜。＜1)為原來的,倍得到.

a

XXO)xyx@

①y=f(x)-y=f(工);②y=f(x)fy=3f(x).

CD

以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方

法是本節(jié)的重點(diǎn).

運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線.要把表列在關(guān)

鍵處，要把線連在恰當(dāng)處.這就要求對(duì)所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢(shì)等作一

個(gè)大概的研究.而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)用

圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變

換.這也是個(gè)難點(diǎn).

題型講解*

1.作函數(shù)圖象的一個(gè)基本方法

例1函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖像如下圖：則函數(shù)y=/(x)-g(x)的圖像可能是

(A)

解：?.?函數(shù)y=/(x)-g(x)的定義域是函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的定義域的交集

(-8,0)U(0,+8)，圖像不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故可以排除C、D。

由于當(dāng)x為很小的正數(shù)時(shí)〃功＞0且8(勸＜0,故f(x)-g(x)＜0。

，選A.

例2說明由函數(shù)y=2'的圖像經(jīng)過怎樣的圖像變換得到函數(shù)y=2~x-3+1的圖像.

解：方法一：

(1)將函數(shù)y=2''的圖像向右平移3個(gè)單位，得到函數(shù)y=2'T的圖像；

(2)作出函數(shù)y=2，T的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像，得到函數(shù)y=2-*-3的圖像；

(3)把函數(shù)y=2-'T的圖像向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=2-*T+i的圖像.

方法二：

(1)作出函數(shù)y=2"的圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像，得到y(tǒng)=20'的圖像：

(2)把函數(shù)y=2-*的圖像向左平移3個(gè)單位，得到y(tǒng)=2-7的圖像;

(3)把函數(shù)y=277的圖像向上平移i個(gè)單位，得到函數(shù)＞=2-，-3+1的圖像.

例3設(shè)曲線。的方程是y=V—x,將。沿x軸、y軸正方向分別平移入sQwO)個(gè)

單位長(zhǎng)度后得到曲線G，

(1)寫出曲線G的方程；

(2)證明曲線C與G關(guān)于點(diǎn)A(；,；)對(duì)稱；

t2

(3)如果曲線C與G有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明：5=L

解(1)曲線C1的方程為y=(x—f)3—(x—f)+s；

(2)證明：在曲線C上任意取一點(diǎn)4a，H)，設(shè)冬(X2,%)是用關(guān)于點(diǎn)4的對(duì)稱點(diǎn)，則

有土產(chǎn)=；,曰產(chǎn)=：.xx=t-x2,yi=s-yi代入曲線C的方程，得乙,出的方程:

S-%=Q-》2)3-(，一工2)

即％=。2TP一(%2一,)+$可知點(diǎn)與%,九)在曲線G上.

反過來，同樣證明，在曲線G上的點(diǎn)角的對(duì)稱點(diǎn)在曲線c上.

因此，曲線。與G關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱.

(3)證明：因?yàn)榍€。與G有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

y=x3-x

???方程組彳,有且僅有一組解，

y=(九一/)一(xT)+s

消去y,整理得3a2-3產(chǎn)x+(F-1-s)=0,這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè)根,

...A=9?一⑵（/_/一s）=0,即得f（產(chǎn)一4/-45）=0,

t3

因?yàn)?，wO,所以s=---1.

4

例4(1)試作出函數(shù)y=x+，的圖像；

X

(2)對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)x,三個(gè)數(shù)—V中最大者記為y,試判斷y是否是x的函

數(shù)？若是，作出其圖像，討論其性質(zhì)(包括定義域、值域、單調(diào)性、最值)；若不是，說明

為什么？

解(1):f(x)=x+-,：./(x)為奇函數(shù)，從而可以作出x〉0時(shí)/(%)的圖像，又?；x〉0

x

時(shí)，/(%)>2,

；.x=l時(shí)，/(x)的最小值為2,圖像最低點(diǎn)為(1,2),

又(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上是增函數(shù),

同時(shí)/(x)=x+』>x(x>0)即以y=x為漸近線,

x

于是x>0時(shí)，函數(shù)的圖像應(yīng)為下圖①，/(x)圖象為圖②:

(2)y是x的

函數(shù)，作出

gi(x)=x,g2(x)=-x,g3(x)=IT

的圖像可知，/(x)的圖像是圖③中實(shí)線部分.定義域?yàn)镽；值域?yàn)閇1,+8)；單調(diào)增區(qū)間為

[―1,0),[1,+8);單調(diào)減區(qū)間為(—8,—1),[0,1);當(dāng)工=±1時(shí)，函數(shù)有最小值1;函數(shù)無最大

值.

練習(xí):

1.卜列每組兩個(gè)函數(shù)的圖象中，正確的是()

2.已知函數(shù)f(x)=(x-l)/a(a>O,awl),在同一坐標(biāo)系中,丫=廣1儀)與丫=2卜山的圖象只可能是()

3.在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=(9)，的圖象只可能是

a

4.已知函數(shù)丫=2及與丫=2*2+6(則下列圖象正確的是()

5.函數(shù)y=Jll—，|的圖象是()

6.函數(shù)y=(3x-l)/(x+2)的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)(-2,3)對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)(2廠3)對(duì)稱

C.關(guān)于直線x=-2對(duì)稱D.關(guān)于直線y=-3對(duì)稱

7.若第一個(gè)函數(shù)y=f(x),它的反函數(shù)是第二個(gè)函數(shù)，乂第三個(gè)函數(shù)圖象與第二個(gè)函數(shù)的圖象

關(guān)于直線x+y=O對(duì)稱，那么第三個(gè)函數(shù)的圖象是()

A.y=-r1(x)B.y=-F1(-x)C.y=-f(x)D.y=-f(-x)

8.設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)丫=幻-1)與丫=4(17<)的圖象關(guān)于()對(duì)稱

A.直線x=0B.直線x=lC.點(diǎn)(0,0)D.點(diǎn)(1,0)

9.在以下四個(gè)按對(duì)應(yīng)圖象關(guān)系式畫出的略圖中，不乖聊的是()

|x|

A.y=|log2x|B.y=2C.y=log0.5x,D.y=|x-S

10.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖，則y=f(l-x)的圖象是

11.下列命題中：①函數(shù)y=f(x)的圖象與x=f(y)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；②若f(x)=-f(-x),

則f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③若f(x)=f(-x)則f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④y=f(x)的圖象與y=

-f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其中真命題是()

(A)②③(B)②③④(C)①②③(D)全都是

12.把函數(shù)y=cosx的圖象向右平移1/2個(gè)單位，再把圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的1/2,

所得圖象的解析式為;

13.畫出下列函數(shù)的圖象：⑴y=lg|x+l|;(2)y=(x+2)/(x+3).

14.若函數(shù)y=log2|ax-l|圖象的對(duì)稱軸是x=2,則非零實(shí)數(shù)a的值為

15.函數(shù)y=f(|x-m|)的圖象與y=f(|x|)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

16.將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位，再把圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼奈锼脠D

象的解析式為.

17.如下圖所示，向高為H的水瓶

(8)(C)(D)

A,8,C,。同時(shí)以等速注水，注滿為止;

(1)若水深/?與注水時(shí)間f的函數(shù)圖象是下圖中的a,則水瓶的形狀是一

(2)若水量u與水深〃的函數(shù)圖像是下圖中的6,則水瓶的形狀是

(3)若水深〃與注水時(shí)間r的函數(shù)圖象是下圖中的c,則水瓶的形狀是_；

(4)若注水時(shí)間f與水深〃的函數(shù)圖象是下圖中的d,則水瓶的形狀是一.

18.已知f(x)=ax3