矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用(完整版)實(shí)用資料

矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）

哈爾濱師范大學(xué)矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）學(xué)年論文題目矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)生李小琴指導(dǎo)老師穆強(qiáng)年級(jí)2005級(jí)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系別數(shù)學(xué)系學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)07年6月矩陣的及若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用李小琴摘要：復(fù)數(shù)域上的每一階矩陣都與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式相似，本文論證了矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用.關(guān)鍵詞：若爾當(dāng)線性變換矩陣標(biāo)準(zhǔn)定義1設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù)，矩陣（1）其中主對(duì)角上的元素都是，緊鄰主對(duì)角線下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做屬于的一個(gè)若爾當(dāng)（或若爾當(dāng)塊）.當(dāng)=0時(shí)，就是所謂的冪零若爾當(dāng)矩陣.定理1設(shè)是維向量空間的一個(gè)線性變換，都是的一切互不相同的本征值，那么存在的一個(gè)基，似的關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形狀（2）這里=，而都是屬于的若爾當(dāng)塊，證設(shè)的最小多項(xiàng)式是，而在復(fù)數(shù)域上是不可約的因式分解，這里是互不相同的本征值，是正整數(shù)，又設(shè)=ker｜}，所以空間有直和分解=對(duì)于每一，令是—在上的限制，那么是子空間的一個(gè)冪零線性變換，而子空間可以分解為一循環(huán)子空間的直和：.在每一循環(huán)子空間里，取一個(gè)循環(huán)基，湊成的一個(gè)基，那么關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形狀這里是冪零若爾當(dāng)塊.令，那么=+，于是對(duì)于加上基來說，的矩陣是這里都是屬于的若爾當(dāng)塊.對(duì)于每一子空間，按以上方式選取一個(gè)基，湊起來成為的基，那么關(guān)于這個(gè)基的矩陣就是有定理所求的形式（2）.注意在矩陣（2）里，主對(duì)角上的第塊，是的矩陣.而子空間顯然由唯一確定，而出現(xiàn)在每一里的若爾當(dāng)塊里由唯一確定的，因而是由唯一確定.定義2形式如的階矩陣，其中每一都是一個(gè)若爾當(dāng)塊，叫做一個(gè)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式.例如：都是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式.定理2復(fù)數(shù)域上每一階矩陣都與一個(gè)當(dāng)爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式相似，除了各若爾當(dāng)塊排列的次序外，與相似的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式是由唯一確定的.證在一個(gè)對(duì)角線分塊矩陣?yán)?，重新排列各個(gè)小塊矩陣的次序顯然得到矩陣，在由若爾當(dāng)塊唯一性得到證明.定理3（1）設(shè)為上的維線性空間，線性變換：的特征多項(xiàng)式分解為上的一次式的積.，，這里，是弱特征空間的直和=，又，dim=,在上的限制|的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式為（2）設(shè)矩陣（，，）的特征多項(xiàng)式分解為上一次式的積.det,這時(shí)，存在正則矩陣，方陣的結(jié)束等于，構(gòu)成的若爾當(dāng)?shù)膫€(gè)數(shù)等于屬于的特征空間多項(xiàng)式的維數(shù)若爾當(dāng)塊矩陣稱為矩陣的若爾當(dāng).注意中的，其階若爾當(dāng)塊的個(gè)數(shù)又唯一確定.例1證明對(duì)，（，，），存在正則矩陣，使=和具有相等的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型.證設(shè)和具有相等的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，則存在正則矩陣，，使=，=，令=，則正則接=.反之，設(shè)已存在正則矩陣，使=，設(shè)是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，則，故的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型也是.例2求矩陣=，的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，求實(shí)矩陣使成為若爾當(dāng)矩陣.解（1），rank,故特征空間（5）的維數(shù)是3–rank(-5)=2，于是機(jī)若爾當(dāng)塊的個(gè)數(shù)為2，的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為.(2)方程（+2）=0的通解為==.例如，令=1，得=，dim=（-2）=1，（-3）=0，的通解是=，所以屬于特征值3的特征空間（3）的維數(shù)是1.故屬于特征值3的若爾當(dāng)塊是1個(gè).例如，令=1，得=，方程（-3）=的通解是例如，令，得=，=-2，=3，=+3.故若令（），則=（）=（-23+3）=，所以=，.參考文獻(xiàn)：[1]張禾瑞、郝炳新：高等代數(shù)，高等教育出版社，1999年第四版.[2]有馬哲、淺枝陽(yáng)：線性代數(shù)講解，四川人民出版社，1987年版.MatrixAndJordanSummary:EachrankmatrixesofpluralareawithiftheJordanbeastandardformlikeness,thistextargumentmatrixesofifJordanbestandardtypeandinbriefapplied.Keyword:TheJordanthelinetransformationmatrixstandard學(xué)年論文（設(shè)計(jì)）成績(jī)表論文題目矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用作者李小琴指導(dǎo)教師穆強(qiáng)職稱講師指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)該論文具體論述了矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式的定義、定理、性質(zhì)及應(yīng)用。語(yǔ)言表達(dá)流暢，論證充分全面，邏輯嚴(yán)密，結(jié)構(gòu)層次清楚，實(shí)用性較強(qiáng)。論文整體水平高，有獨(dú)立分析問題、解決問題的能力。此文是一篇合格的年業(yè)論文。指導(dǎo)教師簽字等級(jí)的最終仍是最大化自己的利益。此外，在測(cè)試博弈論的行為實(shí)驗(yàn)學(xué)上，納什也是一名先驅(qū)。他曾展開討價(jià)還價(jià)和聯(lián)盟形成的實(shí)驗(yàn)，并曾敏銳地指出，在其他實(shí)驗(yàn)者的囚徒困境實(shí)驗(yàn)里，反復(fù)讓一對(duì)參與者重復(fù)實(shí)驗(yàn)實(shí)際上將單步策略問題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)大的多步策略問題。這一思想初次提示了在重復(fù)博弈理論中串謀的可能性，這日常生活中的一切，均可從博弈得到解釋，大到美日貿(mào)易戰(zhàn)，小到今天早上你突然生病?？赡茏x者會(huì)認(rèn)為，貿(mào)易爭(zhēng)端用博弈論來分析是可以的，但對(duì)自己生病也可以用博弈論來理解就有點(diǎn)不可思議，因?yàn)樽约壕鸵粋€(gè)人，和誰(shuí)進(jìn)行游戲？實(shí)際上，并非只有一個(gè)人，還有一個(gè)叫做“自然”（Nature）的參與者。“自然”可以理解為無所不能的上帝，上帝現(xiàn)在有兩種策略，讓人生病或不生病。人一旦生病，就不得不根據(jù)生病的信息判斷上帝的策略，然后采取對(duì)應(yīng)的策略。上帝采取讓人生病的策略，人就采取吃藥的策略來對(duì)付；上帝采取不讓人生病的策略，人就采取不予理睬的策略。這正是一場(chǎng)人和上帝進(jìn)行博弈的游戲。“自然”是研究單人博弈的重要假定。再比如一個(gè)農(nóng)夫種莊稼也是同自然進(jìn)行博弈的一個(gè)過程。自然的策略可以是：天旱、多雨、風(fēng)調(diào)雨順。農(nóng)夫?qū)?yīng)的策略分別是：防旱、防澇、放心地休息。當(dāng)然，“自然”究竟采用哪種策略并不確定，于是農(nóng)夫只有根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷或氣象預(yù)報(bào)來確定自己的行動(dòng)。如果估計(jì)今年的旱情較重，就可早做防旱準(zhǔn)備；如果估計(jì)水情嚴(yán)重，就早做防澇準(zhǔn)備；如果估計(jì)是風(fēng)調(diào)雨順，農(nóng)夫就可以悠哉游哉了。生活中更多的游戲不是單人博弈，而是雙人或多人的博弈。比如，某一天你覺得應(yīng)該是你太太的生日，但又不能肯定：如果是太太的生日的話，你可以送一束花，太太會(huì)特別高興；你不送花，太太會(huì)埋怨你忘了她的生日；如果不是太太的生日的話，你可以送太太一束花，太太感到意外的驚喜；你不送花，結(jié)果生活同往常一樣。長(zhǎng)沙學(xué)院CHANGSHAUNIVERSITY畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）資料長(zhǎng)沙學(xué)院教務(wù)處二○○七年十月制目錄第一部分畢業(yè)論文一、畢業(yè)論文第二部分外文資料翻譯一、外文資料原文二、外文資料翻譯第三部分過程管理資料一、畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）課題任務(wù)書二、本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）開題報(bào)告三、本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）中期報(bào)告四、畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）指導(dǎo)教師評(píng)閱表五、畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）評(píng)閱教師評(píng)閱表六、畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）答辯評(píng)審表本科生畢業(yè)論文資料第一部分畢業(yè)論文（2021屆）本科生畢業(yè)論文淺談分塊矩陣的應(yīng)用2021年5月長(zhǎng)沙學(xué)院本科生畢業(yè)論文淺談分塊矩陣的應(yīng)用系（部）：信息與計(jì)算科學(xué)系專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號(hào)：2005031110學(xué)生姓名：陳濤指導(dǎo)教師：蘭艷副教授2021年5月長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)摘要分塊矩陣可以用來降低較高級(jí)數(shù)的矩陣級(jí)數(shù)，使矩陣的結(jié)構(gòu)更清晰明朗,從而使一些矩陣的相關(guān)計(jì)算簡(jiǎn)單化，而且還可以用于證明一些與矩陣有關(guān)的問題.本文重點(diǎn)就分塊矩陣應(yīng)用于矩陣的秩和一些相關(guān)矩陣方面的證明問題，以及求逆矩陣和方陣行列式的計(jì)算問題上進(jìn)行了分析，通過引用了大量的實(shí)例說明了對(duì)矩陣進(jìn)行適當(dāng)分塊可以使高等代數(shù)中的許多計(jì)算與證明問題迎刃而解，所以分塊矩陣作為高等代數(shù)中的一個(gè)重要概念，我們需要透徹的了解分塊矩陣并能很好學(xué)會(huì)在何時(shí)應(yīng)用矩陣分塊，從而研究它的性質(zhì)及應(yīng)用是非常必要的。關(guān)鍵詞：分塊矩陣，矩陣分塊，計(jì)算，證明I長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)ABSTRACTTheoryaboutblockmatrixcouldbeusedtodeclinehigh-ordermatrixandmakeit'sstructureclearertosimplifysomecalculationrelatedtomatrix,italsocouldbeusedtoprovesomeproblemsaboutmatrix.Inthispaper,itfocusesonanalysingblockmatrixwhichcouldbeappliedtoproveproblemsabouttheinverseofmatrixandgettherankofmatrixandcalculatethesquarematrixmatrix.Byquotinganumberofexamples,wecouldgetthatit'sconvenienttosolvemanyproblemsaboutcalculationandprovementbyusingblockmatrices.Obviously,blockmatrixisaveryimportantconceptinhighalgebra,So,itisnecessarytoresearchandcomprehendtheblockmatrix'spropertyandapplicationforus,Keywords:partitionedmatrix,blockmatrix,caculate,proveII長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)目錄摘要........................................................ⅠABSTRACT......................................................Ⅱ第1章緒論.................................................1第2章分塊矩陣及其性質(zhì).......................................32.1分塊矩陣................................................32.1.1分塊矩陣的定義.................................................32.1.2運(yùn)算規(guī)則.......................................................32.2分塊矩陣的性質(zhì)及其推論..................................3第3章分塊矩陣在證明方面的應(yīng)用...............................93.1分塊矩陣在矩陣的秩的相關(guān)證明中的應(yīng)用....................93.1.1分塊矩陣在矩陣乘積秩的證明中的應(yīng)用..............................93.1.2分塊矩陣在其他相關(guān)矩陣秩的證明上的應(yīng)用.........................103.2分塊矩陣在線性相關(guān)性及矩陣的分解中的應(yīng)用................123.2.1關(guān)于矩陣列(行)向量線性相關(guān)性...................................123.2.2矩陣的分解.....................................................13第4章分塊矩陣在計(jì)算方面的應(yīng)用..............................154.1分塊矩陣在求逆矩陣方面的應(yīng)用...........................154.2分塊矩陣在行列式計(jì)算式方面的應(yīng)用.......................184.2.1矩陣A或B可逆時(shí)行列式|H|的計(jì)算................................184.2.2矩陣A=B,C=D時(shí)行列式|H|的計(jì)算...............................21結(jié)論........................................................23參考文獻(xiàn)......................................................24致謝........................................................25III長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)第1章緒論在數(shù)學(xué)名詞中，矩陣（英文名Matrix）是用來表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等方面的各種有關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù).這個(gè)定義很好地解釋了Matrix代碼是制造世界的數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ).數(shù)學(xué)上，矩陣就是方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣.把它用在解線性方程組上既方便，又直觀.例如對(duì)于方程組a1x+b1y+c1z=d1(1.1)a2x+b2y+c2z=d2(1.2)a3x+b3y+c3z=d3(1.3)我們可以構(gòu)成一個(gè)矩陣：?a1??a2??a3b1b2b3c1c2c3d1?d2??(1.4)d3??因?yàn)檫@些數(shù)字是有規(guī)則地排列在一起，形狀像矩形，所以數(shù)學(xué)家們稱之為矩陣，通過矩陣的變化，就可以得出方程組的解來.數(shù)學(xué)上，一個(gè)m*n矩陣乃一m行n列的矩形陣列.矩陣由數(shù)組成，或更一般的，由某環(huán)中元素組成.矩陣常見于線性代數(shù)、線性規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)分析，以及組合數(shù)學(xué)等[1].矩陣作為數(shù)學(xué)工具之一有其重要的實(shí)用價(jià)值，它常見于很多學(xué)科中，如：線性代數(shù)、線性規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)分析，以及組合數(shù)學(xué)等[1]，在實(shí)際生活中，很多問題都可以借用矩陣抽象出來進(jìn)行表述并進(jìn)行運(yùn)算，如在各循環(huán)賽中常用的賽況表格等,矩陣的概念和性質(zhì)相對(duì)矩陣的運(yùn)算較容易理解和掌握，對(duì)于矩陣的運(yùn)算和應(yīng)用，則有很多的問題值得我們?nèi)パ芯?其中當(dāng)矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相當(dāng)大時(shí),矩陣的計(jì)算和證明中會(huì)是一很煩瑣的過程,因此這時(shí)我們得有一個(gè)新的矩陣處理工具，來使這些問題得到更好的解決，矩陣分塊的思想由此產(chǎn)生，對(duì)級(jí)數(shù)較高矩陣的處理是矩陣的相關(guān)內(nèi)容中重要的一部分,分塊矩陣形象的揭示了一個(gè)復(fù)雜或是特殊矩陣的內(nèi)部本質(zhì)結(jié)構(gòu).本文即是通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)和學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)后總結(jié)并探討分塊矩陣在各方面的應(yīng)用，以計(jì)算和證明兩大方面為主.在已有的相關(guān)文獻(xiàn)中，分塊矩陣的一些應(yīng)用如下：（1）從行列式的性質(zhì)出發(fā),推導(dǎo)出分塊矩陣的若干性質(zhì),并舉例說明這些性質(zhì)在行列式計(jì)算和證明中的應(yīng)用.1長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)（2）分塊矩陣在線性代數(shù)中是一個(gè)基本工具，研究許多問題都要用到它.借助分塊矩陣的初等變換可以發(fā)現(xiàn)分塊矩陣在計(jì)算行列式、求逆矩陣及矩陣的秩方面的應(yīng)用.?AB?如：設(shè)M=?是一個(gè)四分塊n階矩陣，其中A、B、C、D分別是r?r、??CD?(n-r)?(n-r)階矩陣，若A可逆，可證M=AD－CA-1B，另r?(n-r)、(n-r)?r、若D可逆,則可證得M=D-BD-1C．（3）通過論述證明矩陣的分塊在高等代數(shù)中的應(yīng)用,包括用分塊矩陣證明矩陣乘積的秩的定理問題,用分塊矩陣求逆矩陣問題,用分塊矩陣求矩陣的行列式問題,用分塊矩陣求矩陣的秩的問題,利用分塊矩陣證明一個(gè)矩陣是零矩陣問題.如用分塊矩陣證明矩陣乘積的秩的定理：已知秩(AB)≤秩(A),且秩(AB)≤秩(B),可證得秩(AB)≤min{秩(A),秩(B)}.（4）利用分塊矩陣求高階行列式.如設(shè)A、C、都是n階矩陣,其中A≠0,并且AC=CA,則可求得ACBD=AD-BC.（5）給出利用分塊矩陣計(jì)算行列式的H=ADCB方法，可分幾方面討論，當(dāng)矩陣A或B可逆時(shí)；當(dāng)矩陣A=B,C=D時(shí)；當(dāng)A與C或者B與C可交換時(shí)；當(dāng)矩陣H被分成兩個(gè)特殊矩陣的和時(shí)行列式的計(jì)算.（6）分塊矩陣有非常廣泛的應(yīng)用，特別利用分塊矩陣證明矩陣秩的性質(zhì)顯得非常簡(jiǎn)潔，而且方法也比較統(tǒng)一，有其獨(dú)特的優(yōu)越性.本文將通過對(duì)分塊矩陣性質(zhì)的研究，比較系統(tǒng)的總結(jié)討論分塊矩陣在計(jì)算與證明方面的應(yīng)用，從而確認(rèn)分塊矩陣為處理很多代數(shù)問題可以帶來很大的便利.2長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)第2章分塊矩陣及其性質(zhì)2.1分塊矩陣2.1.1分塊矩陣的定義用縱線與橫線將矩陣A劃分成若干較小的矩陣：?A11A12A1t??A?AA21222t?(2.1)?????AAAs2st??s1其中每個(gè)小矩陣Aij(i=1,s;j=1,t.)叫做A的一個(gè)子塊；分成子塊的矩陣叫做分快矩陣[2].2.1.2運(yùn)算規(guī)則(1)(Aij)st±(Bij)st(2)(Aij)TstT=(Aij+Bij)st=(Aji)ts(3)(Aij)st(Bij)tp(4)k(Aij)st=(Cij)sp，Cij=∑AikBkj(i=1,...s,j=1,...t)k-1t=k(Aij)st(k是數(shù)量)在用規(guī)則1）時(shí)，A與B的分塊方法須完全相同；用性質(zhì)3）時(shí)，A的列的分法與B的行的分法須相同.2.2分塊矩陣的性質(zhì)及其推論在行列式計(jì)算中,我們經(jīng)常用到下面三條性質(zhì)[3]:(1)若行列式中某行有公因子,則可提到行列式號(hào)外面;(2)把行列式中的某行乘上某一個(gè)非零數(shù),加到另一行中去,其值不變;(3)把行列式中的某兩行互換位置,其值變號(hào);利用矩陣的分塊,我們可以把行列式的三條性質(zhì)在分塊矩陣中進(jìn)行廣.性質(zhì)1設(shè)方陣A是由如下分塊矩陣組成3長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)?A1A2A3?A=?B1B2B3?(2.2)????C1C2C3??其中A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3都是s?t矩陣,又M是任一s級(jí)方陣.對(duì)于矩陣?A1B=??MB1??C1A2MB2C2A3?MB3??(2.3)C3??則B=MA證明設(shè)Es為s級(jí)單位矩陣,則0??A1?Es0???B=?0M0??B1?0Es??0???C1于是EsB=00A2B2C2A3??Es?0B3?=??C3??0??0M00?0??AEs??0M00A=EsMEsA=MAEs性質(zhì)2設(shè)矩陣A是由如下分塊矩陣組成?A1A2A3?A=?B1B2B3?(2.4)????C1C2C3??其中A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3都是s?t矩陣,又M是任一s階方陣.對(duì)于矩陣A1A2A3???2.5B+MCB+MCB+MCD=?()23?1???C1C2C3??則A=D證明由?Es?0???0??B?1??0Es0B2A1+C1MC0?0??Es??A2+C24?A1A2?BB2?1??C1C2MCA3?B3??=C3??A3?B3+MC???C3?長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)其中Es是s級(jí)單位矩陣,對(duì)上式兩邊同時(shí)取行列式得A=D性質(zhì)3設(shè)方陣A和A'寫成如下形式?B1B2B3??A1A2A3??,A'=?AAA?BBBA=?23?123?1?????C1C2C3???C1C2C3??其中A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3都是s×t矩陣，則?|A|,當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)|A'|=??-|A|，當(dāng)s為奇數(shù)時(shí)證明A可由A'中的B1,B2,B3與A1,A2,A3相應(yīng)的兩行對(duì)換而得到,而對(duì)換行列式的兩行,行列式反號(hào),故當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)|A'|=A當(dāng)s為奇時(shí)|A'|=-A可以證明,對(duì)于一般分塊矩陣也具有類似性質(zhì).同時(shí),這些性質(zhì)不僅對(duì)行成立,對(duì)列也同樣成立.下面舉例說明這些性質(zhì)在行列式計(jì)算和證明中的應(yīng)用.推論1設(shè)A,B都是n階方陣,則有AB=AB(2.6)證明作2n階行列式C=AB0AE由拉普拉斯展開定理得C=ABE=AB又由性質(zhì)2并應(yīng)用于列的情況,有AB0AE=AB-AB0-EBAE=0-BAE=(-1)1+2++n+(n+1)++2nA-B=AB推論2設(shè)A,B都是n階方陣,則有ABBA=A+BA-B(2.7)證明根據(jù)定性質(zhì)2并應(yīng)用于列的情況,有5長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)ABBA=A+BB+ABA=A+B0BA+B=A+BA-B例1計(jì)算2n階行列式a0000b0a00b000ab0000ba000b00a0b0000aD=?a00?0a0?解令A(yù)=?00a????0000??000b??0000?0????0?B=??????0b00???0a???b000??a0ab00ba0b00a000a0-b00a則D=ABBA00b-ba0=A+BA-B=a-b-b0=(a+b)n(a-b)n=(a2-b2)n推論3設(shè)A,B,C,D都是n階方陣,其中A≠0,并且AC=CA,則有ACBD=AD-CB(2.8)-1?AB?證明根據(jù)性質(zhì)2,因?yàn)锳存在,并注意到AC=CA,用-CA乘矩陣??的CD??-1第一行后加到第二行中去得?A-CA-1B??-1??0D-CAB?從而ACBD=A06-CA-1BD-CAB-1長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)=AD-CA-1B=AD-ACA-1BAD-CAA-1B=AD-CB例2計(jì)算行列式3112P=243410230114解設(shè)P=ACBD其中?31??12??10??23?,,,CA=?BD===????????24??34??01??14?由計(jì)算知A=10≠0且AC=CA所以P=AD-CB=611518=53把行列式的性質(zhì)在分塊矩陣中進(jìn)行推廣之后，我們又由這三個(gè)新的性質(zhì)得到了三個(gè)結(jié)論.設(shè)A,B,C,D都是n級(jí)方陣則有AB=AB(2.6)ABBAAC=A+BA-B(2.7)BD=AD-CB(2.8)結(jié)論(2.6)告訴我們，兩個(gè)方陣的乘積的行列式等于這兩個(gè)方陣的行列式的乘積.結(jié)論(2.7)則說明，當(dāng)一個(gè)行列式可以分成四個(gè)級(jí)數(shù)相等的方陣A,B,B,A時(shí)（即7ABBA），長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)那么我們可以轉(zhuǎn)換為求A+BA-B，這樣我們就把求2n級(jí)的行列式轉(zhuǎn)換成了求n級(jí)的行列式.結(jié)論(2.8)同樣也說明那個(gè)當(dāng)一個(gè)行列式可以分成四個(gè)級(jí)數(shù)相等的方陣A,B,C,D時(shí)（即ACBD），我們可以轉(zhuǎn)換為求AD-CB，同樣將一個(gè)2n級(jí)的行列式轉(zhuǎn)換成了n級(jí)的行列式.這樣的處理能給我們的計(jì)算帶來很大的方便.例1和例2就是很好的印證.但并不是任何矩陣都能做到這樣，因此我們?cè)诮庑辛惺接?jì)算題時(shí)應(yīng)首先觀察其特點(diǎn)，一但發(fā)現(xiàn)有以上行列式的特點(diǎn),即可用之.8長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)第3章分塊矩陣在證明方面的應(yīng)用3.1分塊矩陣在矩陣的秩的相關(guān)證明中的應(yīng)用3.1.1分塊矩陣在矩陣乘積秩的證明中的應(yīng)用定理1秩(AB)≤秩(A),且秩(AB)≤秩(B),則秩(AB)≤min{秩A,秩B}[4]證明令Cm?s=Am?n?Bn?s，A=(a1,a2an),C=(γ1,γ2γs)則?b11b12?b?21b22???bn1bn2b1s?b2s????bns?(γ1,γ2γs)=(a1,a2an)∴γ1=b11a1+b21a2++bn1anγ2=b12a1+b22a2++bn2anγs=b1sa1+b2sa2++bnsan∴γ1,γ2γs(1)可由a1,a2an(2)線性表示∴秩(I)≤秩(II),即秩(C)=秩(AB)≤秩(A)令?n1??β1??n??β?C=?2?，Ｂ=?2?????????n?m??βn?所以?n1??a11?n??a?2?=?21???????nm??am1即a12a22am2a1n?a2n????amn??β1??β??2??????βn?9長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)η1=a11β1+a21φ2++an1βnη2=a12β1+a22β2++an2βnηs=am1β1+am2β2++amnβn∴η1,η2ηm(3)可由β1,β2βn(4)線性表示∴秩(III)≤秩(IV),即秩(C)=秩(AB)≤秩(B)即秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}定理2設(shè)A、B都是n級(jí)矩陣，若AB=0則秩(A)+秩(B)≤n[5].證明對(duì)B分塊如下:B=(B1B2Bn)由于AB=0即(AB1AB2ABn)=0即ABi=0(i=1,2,,n)說明B的各列Bi都是AX=0的解.從而秩(B1B2Bn)≤基礎(chǔ)解系=n-秩(A)即秩(A)+秩(B)≤n3.1.2分塊矩陣在其他相關(guān)矩陣秩的證明上的應(yīng)用例1設(shè)A、B都是n階矩陣,求證:秩(AB+A+B)≤秩(A)+秩(B)[6]證明因?yàn)??AAB+A+B?AB+A??OB??-E?(2)+(1)??A?OB??(1)?(-B-E)+(2)??A?O所以10O?B??長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)?E-E??A?OE??O???AB+A+B??B??E?E?-B-E??AO?=??E?OB???因?yàn)?E-E??E?OE?，?E???-B-E?都可逆?E?所以?A秩??OAB+A+B??AO??=秩?OB?B???而?A秩??OAB+A+B??≥秩[AB+A+B]B??AO?秩??=秩A+秩BOB??所以秩(AB+A+B)≤秩(A)+秩(B)例2設(shè)A為m?n矩陣,As是從A中取s行得到的矩陣,則秩(As)≥秩(A)+s-m[7]證明不妨設(shè)As是A的前行,而后m-s行構(gòu)成的的矩陣為B,則?A??A??0?A=?s?=?s?=???B??0??B?又顯然有秩(A+B)≤秩(A)+秩(B)于是?A??0?秩(A)≤秩?s?+秩??=秩(As)+m-s?0??B?證畢.利用分塊矩陣證明矩陣秩的問題，一般采用兩種方法，一是利用已知矩陣作為元素來拼成高級(jí)數(shù)的矩陣來證明，如例1；另一種方法是將已知矩陣拆成低級(jí)數(shù)的矩陣來證明，如例2.這兩種方法在證明矩陣的秩的問題時(shí)都是很有效的，很大一部分相關(guān)矩陣秩的問題都可以用分塊矩陣來證明.11長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)3.2分塊矩陣在線性相關(guān)性及矩陣的分解中的應(yīng)用分塊矩陣在線性相關(guān)性及矩陣的分解中的有著廣泛的應(yīng)用，欲透徹掌握達(dá)到運(yùn)用自如卻非易事.其基礎(chǔ)知識(shí)抽象，解題方法技巧性強(qiáng)，稍有不慎就會(huì)陷入困境.作為線性代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容和工具的矩陣，我們大家往往容易忽視它重要的一點(diǎn)---矩陣分塊的作用.本節(jié)就談?wù)勊诰€性相關(guān)性及矩陣的分解證明中的應(yīng)用.3.2.1關(guān)于矩陣列(行)向量線性相關(guān)性命題1[8]矩陣A的列線性無關(guān)的充分必要條件是AX=0只有零解.證明令A(yù)=(A1,A2,Ak),其中Ai(i=1,2???,k),是A的列向量，且a1A1+a2A2++akAk=0(ai為實(shí)數(shù)i=1,2,???,k)即(A1,A2,,Ak)也即?a1??a??2?=0?????ak??a1??a?A?2?=0?????ak?若A1,A2,Ak線性無關(guān),則有a1=a2=?=ak=0,AX=0只有零解，反之亦成立.例3矩陣B列線性無關(guān),BC=A求證:C列線性無關(guān)的充要條件是A列線性無關(guān).證明充分性.要使CX=0,即B(AX)=0，記AX=Y,則BY=0,∵B列無關(guān)，須Y=0,即AX=0,又A列無關(guān)，須X=0，從而C列無關(guān).必要性.要使AY=0，兩邊左乘B，則BAY=0，即CY=0，∵C列無關(guān)，∴Y=0，從而A列無關(guān).推論設(shè)Ank≠0，(1)A的列線性相關(guān)(即γ(A)<k)的充要條件是存在Bkm≠0,使AB=0;(2)Ank的行線性相關(guān)(即γ(A)<n)的充要條件是存在C≠0,使CA=0.證明（1）(?)設(shè)有Bkm≠0，B=(b1,b2,,bm),bi為B的列向量,i=1,2,,m,且12長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)bj≠0，使AB=0，即（Ab1,Ab2,,Abm）≠0，∵bj≠0，而啊bj=0,由命題1，A的列線性相關(guān).(?)設(shè)A的列線性相關(guān).由命題1，存在b≠0使Ab=0，作B=（b,0,,0），則B≠0，故AB=0.類似可證(2).3.2.2矩陣的分解命題2[9]設(shè)γ(Ank)=γ,（1）?Mnγ,Nγk,γ(M)=γ(N)=βγ,使則A=MN;（2）?Rnk,Skk,γ(R)=γ(S)=γ,使則A=RS;（3）?Rnn,Snk,γ(R)=γ(S)=γ,使A=RS.?IγPAQ=??00?0??nk0?-1Q0??證明Pnn,Qkk,P≠0,Q≠0,使∴A=P（1）將P-1與Q-1作如下分塊:P-1-1?Iγ?0??Nγk?=(Mnγ,L)，Q=???H?-1則?IγA=(M,L)??00??N?=MN???0??H??I（2）令Pnn=P-1?γ?0?Iγ令Pnn=P-1??00??Iγ，∵?00??nn?0??Iγ=?0??nk?00??Iγ?0??nk?00??0?kk0??IγS，=kk?00??nk?0?Q-1即得,?0?kkA=RS（3）因?yàn)?Iγ?0?0??Iγ=?0??nk?00?0??nn?Iγ?0?130??Iγ,Snk=?0??0?nk0?-1Q0??長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)即得,ARS.矩陣的列（行）向量相關(guān)與無關(guān)性的問題很顯然都會(huì)涉及到利用矩陣分塊，因?yàn)榫仃嚨牧校ㄐ校┒伎煽醋魇蔷仃嚨淖訅K，對(duì)于處理矩陣的分解問題也是一樣，在線性代數(shù)中還有很多問題都可類似的通過分塊矩陣來解決.14長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)第4章分塊矩陣在計(jì)算方面的應(yīng)用4.1分塊矩陣在求逆矩陣方面的應(yīng)用命題1[10]?AB?設(shè)P=??是一個(gè)四分塊方陣，其中B為r階方陣,C為k階方陣,當(dāng)CD??B與(C-DB-1A)都是可逆矩陣時(shí)，則P是可逆矩陣，并且P-1?-(C-DB-1A)-1DB-1=?-1-1-1-1-1?B+BA(C-DBA)DB?-1-1-1?-BA(C-DBA)??0=?-1?BC-1??.0?C-1??0?(C-DB-1A)-1特例(1)當(dāng)A=0，D=0，B與C都可逆時(shí)，有P-1(2)當(dāng)A=0，D≠0，B與C都可逆時(shí)，有P-1?-C-1DB-1=?B-1??0=?-1?BC-1(3)當(dāng)A≠0，D=0，B與C都可逆時(shí)，有P?X證明設(shè)P可逆，且P-1=??Z-1??-B-1AC-1?Y?，其中Y為k階方陣，Z為r階的方陣.則應(yīng)有?W?Y?W???AB??CD?=E??0?，Er??P-1?XP=??Z即?XA+YC?ZA+WC?XB+YD??Ek=?ZB+WD???0于是得到下面的等式?XA+YC=Ek??XB+YD=0??ZA+WC=0?ZB+WD=E?r(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)因?yàn)锽可逆，用B-1右乘(4.2)式可得15長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)X=YDB-1代入(4.1)式得Y-(C-DB-1A)-1則X=-(C-DB-1A)-1DB-1.用B右乘(4.4)式可得Z=(Er-WD)B-1=B-1-WDB-1代入(4.3)式得W=B-1A(C-DB-1A)-1則可得Z=B-1+B-1A(C-DB-1A)-1DB-1.所以P-1?X=??ZY?W???-(C-DB-1A)-1DB-1?-1-1-1-1-1?B+BA(C-DBA)DB??.-B-1A(C-DB-1A)-1?(C-DB-1A)-1?AB?命題2設(shè)Q=?是一個(gè)四分塊方陣，其中A為r階方陣，D為k階方陣，當(dāng)??CD?A與（D-CA-1B）都是可逆矩陣時(shí)，則Q是可逆矩陣,并且?AB?Q-1=???CD?-1?A-1+A-1B(D-CA-1B)-1CA-1=?-(D-CA-1B)-1CA-1?-1-A-1B(D-CA-1B)-1??-1-1(D-CAB)?0?-1?D?-A-1BD-1??D-1?0?.-1?D??A-1特例（1）當(dāng)B=0，C=0，A與D都可逆時(shí)，有Q=??0?A-1（2）當(dāng)B≠0，C=0，A與D都可逆時(shí)，有Q=??0-1-1?A-1（3）當(dāng)B=0，C≠0，A與D都可逆時(shí)，有Q=?-1-1?-DCA此結(jié)論參考命題1.16長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)7-410??3?-2-590-1???例1設(shè)M=?00-100?，求M-1.??00040???000-6??0??00??-100?37-410?????，?040?.00解令A(yù)=?，，C=?BD==????????-2-5??90-1????00???00-6??則很容易求得0??-107??5?01/40，D-1=?A-1=?????-2-3??0-1/6??0?且7??5-A-1BD-1=-???-2-3??-410??90-1????-100??040??43-5/4-7/6???=?-191/21/2?????00-6??由命題2可得，743-5/4-7/6??5?-2-3-191/2?1/2?-A-1BD-1??0-100??=?0-1D???0001/40???000-1/6??0?0012?0035??0000?的逆矩陣.?2000?3400??M-1?A-1=??O?0?0?例2求矩陣M=?4??0??0?400??00??000??12???，?00?.解設(shè)A=?，，CBD===?35?????????000????034???00??則B-100??1/4-52???0?-11/20C，=?=????3-1???0-3/81/4??17長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)由命題一可得：01/400??0?0?001/20-1?C??00-3/81/4?.?=?0O???-52000???00??3-10??OM-1=?-1?B本節(jié)主要講述了欲求一個(gè)矩陣的逆矩陣，先將該矩陣分成四小塊A、B、C、D，在根據(jù)該四小塊的具體情況推導(dǎo)出了求這個(gè)矩陣的逆矩陣的公式.這里我們重點(diǎn)的區(qū)別A、B、C、D中那些可逆那些不可逆,再具體運(yùn)用.4.2分塊矩陣在行列式計(jì)算式方面的應(yīng)用在線性代數(shù)中,分塊矩陣是一個(gè)十分重要的概念,它可以使矩陣的表示簡(jiǎn)單明了,使矩陣的運(yùn)算得以簡(jiǎn)化.而且還可以利用分塊矩陣解決某些行列式的計(jì)算問題.而事實(shí)上,利用分塊矩陣方法計(jì)算行列式,時(shí)常會(huì)使行列式的計(jì)算變得簡(jiǎn)單,并能收到意想不到的效果[11].本節(jié)給出利用分塊矩陣計(jì)算行列式的幾種方法.引理設(shè)矩陣?A1?OH=????OA??A1???或H=?????As??AA2OO?A2O????As?O其中A1,A2,,As均為方陣，則H=A1A2As.4.2.1矩陣A或B可逆時(shí)行列式|H|的計(jì)算命題1A、B分別為m與n階方陣.證明:(1)當(dāng)A可逆時(shí),有ACDB=AB-CA-1D(4.5)(2)當(dāng)B可逆時(shí),有ACDB=A-DB-1CB(4.6)18長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)證明根據(jù)分塊矩陣的乘法,有?E?-CA-1?0??AD??AD?=????-1?E??CB??0B-CAD?由引理知，兩邊取行列式即得(4.5).(2)根據(jù)分塊矩陣的乘法,有?E??0-DB-1??E??AD??A-DB-1C?CB?=?C???0??B?兩邊取行列式即得(4.6).此命題可以用來解決一些級(jí)數(shù)較高的矩陣求逆問題，但在利用命題1時(shí),要特別注意條件有矩陣A或B可逆，否則此命題不適用，下面給出此命題的應(yīng)用.推論1設(shè)A,B,C,D分別是m,n,n?m和m?n矩陣.證明EmCACDBDEn=B-CD(4.7)=A-DC(4.8)證明只需要在命題1的(4.5)中令A(yù)=Em,即得(4.7);在(4.6)中令B=En,即得(4.8).推論2C,D分別是n?m和m?n矩陣.證明EmCDEn=En-CD=Em-DC(4.9)證明在推論1的(4.7)中,令B=En,在(4.8)中,令A(yù)=Em,即得(4.9).例3計(jì)算下面2n階行列式aH2n=dadcbb(a≠0)c解令19長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)c?d??a??b???????????A=??,B=??，C=??，D=????????a?b??????c??d?為n階方陣.由于a≠0,故A為可逆方陣.又易知?b-ca-1d?B-CA-1D=?????從而由命題1中(1)得H2n=??b-ca-1d??-1?b-cad??ADCB=AB-CA-1D=an(b-ca-1d)n=(ab-cd)n.例4計(jì)算行列式a01111a11b2000,(ai≠0,i=1,2,,n);(1)1110a200010an0001a1a2a3ancDB(2)00b1b3bnAC解(1)設(shè)Q=，其中???，C=(1,1,,1)T，D=(1,1,,1).??an??a1?A=(a0),B=????a2因?yàn)閍i≠0,i=1,2,,n所以B是可逆矩陣.又易知20長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)n??A-DBC=?a0-∑1/ai?i=1??-1從而由命題1中的結(jié)論(4.2)得ACDB=A-DB-1CBn??=a1a2an?a0-∑1/ai?i=1??（2）設(shè)Q=EnCDB，其中B=（c），C=(b1,b2,,bn)，D=(a1,a2,an)T由于CD=(b1,b2,,bn)(a1,a2,an)T=∑aibii=1n從而由推論1知,Q=EnCDB=B-CD=c-∑aibi.i=1n4.2.2矩陣A=B,C=D時(shí)行列式|H|的計(jì)算命題2A,C是兩個(gè)n階方陣.則ACCA=|A+C||A-C|證明根據(jù)行列式的性質(zhì)和定理，有ACCA=A+CCC+AA=A+C0CA-C=A+CA-C.例1計(jì)算行列式.0x0zyyz0xzyx0D=xyz21長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)解這道題看似簡(jiǎn)單,但如果方法選擇不好,做起來并不輕松.這里設(shè)?0x??y，CA=?=??z?x0??z??y?由命題2知D=ACCyx+zA=A+CA-Cx+z-yyx-zx-z-y==[y2-(x+z)2][y2-(x-z)2]=(x+y+z)(-x+y-z)(x+y-z)(-x+y+z)行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容,本節(jié)就行列式的計(jì)算問題具體就形如H=ACDA,B,C,D分別是m,n,n?m和m?n矩陣）的類型的行列式計(jì)算進(jìn)行了分析，B其中將一個(gè)行列式分塊成A,B,C,D后，又細(xì)分為幾種情況進(jìn)行了討論，依據(jù)不同的情況給出了不同的計(jì)算方法，在計(jì)算行列式時(shí)可根據(jù)這幾種不同的情況具體問題具體對(duì)待，從而簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算過程.在這一部分可見，利用分塊矩陣計(jì)算行列式主要是靠分塊矩陣來改變?cè)瓉砭仃嚨募?jí)數(shù)從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算過程，快速解決問題的目的.22長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)結(jié)論本文通過大量的例題對(duì)分塊矩陣在計(jì)算與證明兩方面的應(yīng)用進(jìn)行了總結(jié)分析，在證明方面，涉及了矩陣秩的相關(guān)問題以及矩陣列(行)向量線性相關(guān)性等問題，在證明線性相關(guān)問題上，利用分塊矩陣可以很清晰地描述線性方程組的解與其相關(guān)內(nèi)容，對(duì)一些具體的解與矩陣行（列）向量組線性相關(guān)性之間的關(guān)系給出了結(jié)論；在計(jì)算方面利用分塊矩陣這一工具我們主要解決了求逆矩陣與求高級(jí)行列式的問題，在求逆矩陣方面，本文著重論述了將一個(gè)高級(jí)矩陣進(jìn)行矩陣分塊分成二級(jí)矩陣后，通過討論四子塊的各自特點(diǎn)來求原矩陣逆矩陣的快捷方法，并且給出了求解具有特殊性質(zhì)行列式的方法.通過本文的論述，充分體現(xiàn)了分塊矩陣在代數(shù)計(jì)算與證明方面所具有的一定的優(yōu)越性，也給出了分塊矩陣和矩陣分塊在代數(shù)學(xué)中所具有的重要地位，當(dāng)然在對(duì)分塊矩陣的應(yīng)用的論述上本文并不是所有類型的證明與計(jì)算都進(jìn)行了討論，所以在應(yīng)用的完整性上還有待改進(jìn)，并可以繼續(xù)進(jìn)行研究探討.23長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)參考文獻(xiàn)[1]百度百科.矩陣[EB].://baike.baidu/view/10337.htm#2,2021-02-21.[2]國(guó)家工科數(shù)學(xué)教育基地.線性代數(shù)[EB].://26:8090/xxds/neirongtiyao.htm,2021-02,08.[3]林瑾瑜.分塊矩陣的若干性質(zhì)及其在行列式計(jì)算中的應(yīng)用[J].廣東廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2006,15(2):109-112.[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編.高等代數(shù)（第三版）[M].高等教育出版社.2007:181-186.[5]張敏.分塊矩陣的應(yīng)用[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，1(1):120.[6]孔慶蘭.分塊矩陣的應(yīng)用[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào),2006，23(5)：25-26.[7]劉力.分塊矩陣在證明矩陣秩的性質(zhì)上的應(yīng)用[J].滄州師范專科學(xué)校學(xué)報(bào),2006,22(4):40-41.[8]李玉梅.分塊矩陣的幾個(gè)重要應(yīng)用[J].懷化師專學(xué)報(bào)，2000，19(4)：77-78.[9]LiuXianghua,TheApplicationOfABlock-Matrix[J].2001.21(3):122-124.[10]嚴(yán)坤妹.分塊矩陣的應(yīng)用[J].福建廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2006，(5)：71-73.[11]王蓮花,李念偉,梁志新.分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)卷），2005，14(3):12-15.24長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)致謝本文是在導(dǎo)師蘭艷教授的悉心指導(dǎo)下完成的，導(dǎo)師在學(xué)業(yè)上的諄諄教誨和身體力行、在生活上的默默關(guān)心和無私幫助將使我受益終身，在此謹(jǐn)向?qū)煴硎局孕牡母兄x！導(dǎo)師對(duì)科學(xué)事業(yè)的獻(xiàn)身精神以及高度的敬業(yè)精神，為學(xué)生們樹立了良好的風(fēng)范，也是我今后所追求的目標(biāo).“登泰山始懂尊冠五岳，遇導(dǎo)師才知德高智睿”，師恩浩瀚，溢于言表!課題的順利進(jìn)行，還得益于四年來各位同門的支持和幫助，在此特別感謝唐思湘、劉鑫、梁春虎、梁向杭、汪一文在文獻(xiàn)查閱與思路啟發(fā)上給予的莫大幫組，為研究工作的順利進(jìn)行奠定了基礎(chǔ).感謝本課題組的兄弟文晉、劉斌、李岳文、李秋鵬等提供的友好合作和無私幫助，永遠(yuǎn)難忘在一起拼搏的日日夜夜.最后謹(jǐn)向所以幫助和支持過我的領(lǐng)導(dǎo)、老師、同學(xué)及親友們表示最誠(chéng)摯的謝意.學(xué)生簽名：日期：25長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）資料第二部分外文資料翻譯-26-長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）資料第三部分過程管理資料-27-長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)附件四：2021屆畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）課題任務(wù)書系(部)：信息與計(jì)算科學(xué)系專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)-28-長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)留，一份交系部存檔。-29-長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)長(zhǎng)沙學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）開題報(bào)告（2021屆）2021年3月10日-30-說明：開題報(bào)告作為畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）答辯委員會(huì)對(duì)學(xué)生答辯資格審查的依據(jù)材料之一，此報(bào)告應(yīng)在指導(dǎo)師指導(dǎo)下，由學(xué)生填寫，將作為畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）成績(jī)考查的重要依據(jù)，經(jīng)指導(dǎo)師審查后簽署意見生效.長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）中期報(bào)告長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)長(zhǎng)沙學(xué)院200屆畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）指導(dǎo)教師評(píng)閱表系（部）：說明：各項(xiàng)成績(jī)的百分比由各系部自己確定，但應(yīng)控制在給定標(biāo)準(zhǔn)的20％左右。長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)長(zhǎng)沙學(xué)院200屆畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）評(píng)閱教師評(píng)閱表系（部）：說明：各項(xiàng)成績(jī)的百分比由各系部自己確定，但應(yīng)控制在給定標(biāo)準(zhǔn)的20％左右。長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）答辯評(píng)審表長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)長(zhǎng)沙學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）答辯評(píng)審表說明：最終評(píng)定成績(jī)＝A+B+C，三個(gè)成績(jī)的百分比由各系部自己確定，但應(yīng)控制在給定標(biāo)準(zhǔn)的20％左右。矩陣求逆標(biāo)準(zhǔn)算法（VB）源碼2006-11-2913:49類別：默認(rèn)本程序依據(jù)矩陣初等變換的基本原理編寫，算法較為繁瑣，但易于理解適合VB初學(xué)者。本程序適合任何（n*n）的矩陣求逆，對(duì)于不可逆矩陣有提示信息，并結(jié)束程序本程序在XP，VB6.0下調(diào)試通過本程序由本人原創(chuàng)，請(qǐng)慎用。如有疑問，或調(diào)試有誤，請(qǐng)聯(lián)系本人QQ30360126本程序可在VB6.0內(nèi)任何地方用calljzqn(qa(),na()))語(yǔ)句調(diào)用其中qa()是輸入的矩陣數(shù)組，調(diào)用此函數(shù)后na()為返回的逆矩陣數(shù)組注意：調(diào)用本程序前不要聲明na()的維數(shù)，僅用dimna()即可。請(qǐng)不要試圖對(duì)一個(gè)病態(tài)矩陣求逆、否則計(jì)算結(jié)果未必是你想要的病態(tài)矩陣是指行列式計(jì)算結(jié)果極其接近于零的矩陣PublicSubjzqn(qa(),na())Dima()n=UBound(qa,1)ReDimna(n,n)ReDima(n,2*n)Fori=1TonForj=1Tona(i,j)=qa(i,j)NextjNextiFori=1TonForj=n+1To2*nIfj-i=nThena(i,j)=1Elsea(i,j)=0EndIfNextjNextiFori=1TonIfa(i,i)=0ThenForq=iTonIfa(q,i)<>0ThenForw=iTo2*nzj=a(i,w)a(i,w)=a(q,w)a(q,w)=zjNextwExitForEndIfNextqIfq>nThenMsgBox"此矩陣不可逆":ExitSubEndIfFork=2*nToiStep-1a(i,k)=a(i,k)/a(i,i)NextkForj=i+1TonIfa(j,i)<>0ThenFork=2*nToiStep-1a(j,k)=a(j,k)/a(j,i)-a(i,k)NextkEndIfNextjNextiFori=nTo1Step-1Ifa(i,i)=0ThenForq=i-1To1Step-1Ifa(q,i)<>0ThenForw=iTo2*nzj=a(i,w)a(i,w)=a(q,w)a(q,w)=zjNextwExitForEndIfNextqEndIfFork=2*nToiStep-1a(i,k)=a(i,k)/a(i,i)NextkForj=i-1To1Step-1Ifa(j,i)<>0Thenxxx=a(j,i)Fork=2*nTo1Step-1a(j,k)=a(j,k)/xxx-a(i,k)NextkEndIfNextjNextiFori=1TonForj=1Tonna(i,j)=a(i,j+n)NextjNextiEndSub調(diào)用示例：下面代碼隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)10*10的矩陣，并求逆，打印于窗體PrivateSubCommand1_Click()Dima(10,10),b()ClsRandomizeFori=1To10Forj=1To10a(i,j)=Int(Rnd*100)Printa(i,j);NextjPrintNextiPrintCalljzqn(a(),b())Fori=1To10Forj=1To10PrintFormat(b(i,j),"0.000"),NextjPrintNextiEndSub矩陣運(yùn)算是數(shù)值運(yùn)算中經(jīng)常碰到的，“磚頭”拋出多天，尚未“引出玉來”，我自己再來個(gè)補(bǔ)充吧！矩陣求逆上面給出的程序，雖然可以使用，但遠(yuǎn)不完善，更不精煉。下面將其修改一下，例如：使用IIF（）函數(shù)簡(jiǎn)化判斷分支語(yǔ)句，將“約化”過程合并，添加一個(gè)矩陣無逆的判斷，……。但還是屬于小打小鬧的修修補(bǔ)補(bǔ)，希望諸位能挑出程序中的問題、缺陷，諸位版主和大俠們能從賜以高水平的程序代碼，不勝感謝！修改后的矩陣求逆代碼如下：源程序壓縮文件如下：矩陣求逆程序代碼Dima()AsSingleDimi%,j%,k%,am!,tt%,at!,bt!PrivateSubCommand1_Click()n=InputBox("請(qǐng)輸入方陣的階數(shù)N")ReDima(n,2*n)AsSingleFori=1TonForj=1Tona(i,j)=InputBox("請(qǐng)輸入a("&i&"，"&j&")的值")a(i,j+n)=IIf(i=j,1,0)?使用IIf()函數(shù),簡(jiǎn)化此判斷結(jié)構(gòu)Nextj,iPrint"原矩陣的增廣矩陣元素"Fori=1TonForj=1To2*nPrinta(i,j);"";NextjPrintNexti'________________________________________________Fork=1Ton'換列主元運(yùn)算，在主元列找出絕對(duì)值最大的值作主元at=Abs(a(k,k))tt=kForj=k+1Tonbt=Abs(a(j,k))Ifat<btThenat=bttt=jEndIfNextjIftt<>kThenForj=kTo2*nam=a(k,j):a(k,j)=a(tt,j):a(tt,j)=amNextjEndIfIfat<0.0001ThenPrint"此矩陣不可逆"'逆矩陣計(jì)算'------------------------------------------------am=1/a(k,k)Forj=kTo2*na(k,j)=a(k,j)*amNextj'____________________________________Fori=1TonIfk<>iThenam=a(i,k)Forj=1To2*na(i,j)=a(i,j)-a(k,j)*amNextjEndIfNextiNextk'------------------------------------------------Print"所求逆矩陣"Fori=1TonForj=n+1To2*nPrinta(i,j);"";NextjPrintNextiEndSub矩陣運(yùn)算，是數(shù)值計(jì)算中經(jīng)常碰到的。這里獻(xiàn)上的小程序，只能是學(xué)習(xí)參考，對(duì)于矩陣的階數(shù)很大的實(shí)際使用和對(duì)于病態(tài)（條件數(shù)較大）矩陣，如何計(jì)算？特別是如何求逆？顯然這里的程序力不從心，所以敬請(qǐng)版主大俠們獻(xiàn)出愛心！兩矩陣的加、減，很簡(jiǎn)單，就是現(xiàn)應(yīng)元素的加、減。條件是兩矩陣行、列數(shù)都相等。兩矩陣的相乘，分為左乘和右乘；條件是右矩陣的行數(shù)等于左矩陣的列數(shù)；乘法規(guī)則麻煩點(diǎn)，請(qǐng)參看有關(guān)參考材料。矩陣求逆，是矩陣運(yùn)算中比較麻煩的，也是用出較多的。求助未得，只好自己來個(gè)粗糙的，這次給出的程序是包括選主元的，一般滿秩矩陣都可以求出其逆矩陣。但是效率有問題，對(duì)于病態(tài)矩陣求出的逆矩陣精度欠佳，不一定滿足需要。為了大家使用方便，將源程序傳上。[attachmentid=498][attachmentid=499][attachmentid=500][attachmentid=501]在網(wǎng)上收尋了行列式求值的,發(fā)現(xiàn)沒有能用的,版主以前對(duì)最小二乘法多次曲線擬合算法解說里有行列試求值的程序,我調(diào)試下了,沒能成功,不知道到是不是那里出錯(cuò)了?現(xiàn)在獻(xiàn)上一個(gè)比較精確的矩陣求逆算法,希望大家能研究出一種行列式求值的的程序!SubJSJZNZA(WS,DA)DimDNZ()AsDoubleYS=WS*(WS+1)/2ReDimDNZ(YS)Fori=1ToWSDI=(i-1)*(WS-i/2)Forj=iToWSk=DI+jDNZ(k)=DA(i,j)NextjNextiFori=1ToWSDI=(i-1)*(WS-i/2)Forj=iToWSs=DNZ(DI+j)Ifi=1ThenGoTo156'(156)EndIfFork=1Toi-1DK=(k-1)*(WS-k/2)s=s-DNZ(DK+i)*DNZ(DK+j)/DNZ(DK+k)Nextk156:Ifj=iThen'(156)DNZ(DI+j)=1/(s+0.0000001)GoTo160'(160)EndIfDNZ(DI+j)=s*DNZ(DI+i)160:Nextj'(160)NextiFori=1ToWS-1DI=(i-1)*(WS-i/2)Forj=i+1ToWSs=(-1)*DNZ(DI+j)If(i+1)>(j-1)ThenGoTo168'(168)EndIfFork=i+1Toj-1DK=(k-1)*(WS-k/2)s=s-DNZ(DI+k)*DNZ(DK+j)Nextk168:DNZ(DI+j)=s'(168)NextjNextiFori=1ToWS-1DI=(i-1)*(WS-i/2)Forj=iToWSDJ=(j-1)*(WS-j/2)Ifj=iThens=DNZ(DI+j)GoTo174'(174)EndIfs=DNZ(DI+j)*DNZ(DJ+j)174:Ifj=WSThen'(174)GoTo178'(178)EndIfFork=j+1ToWSDK=(k-1)*(WS-k/2)s=s+DNZ(DI+k)*DNZ(DJ+k)*DNZ(DK+k)Nextk178:DNZ(DI+j)=s'(178)NextjNexti'Fori=1ToWSDI=(i-1)*(WS-i/2)Forj=1ToWSDJ=(j-1)*(WS-j/2)LetK1=DI+jLetK2=DJ+iIfj<iThenDA(i,j)=DNZ(K2)ElseIfj>=iThenDA(i,j)=DNZ(K1)EndIfNextjNextiReDimDNZ(1)EndS