解三角形經(jīng)典例題

解三角形經(jīng)典例題解三角形【典型題剖析】【點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形內(nèi)角和定理及正弦定理的變形形式幾幾幾n6322【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應(yīng)用。abc2+6===cos(75°-A)AAabAAab=8+43；∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞cos75°=×4=2+6.∴＞cos75°=×4=2+6.綜合①②可得a+b的取值范圍為(2+6,8+43>用正弦定理判斷三角形形狀【點(diǎn)撥】通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的關(guān)系判斷△ABC的形狀。1/502/50解三角形經(jīng)典例題2.【點(diǎn)撥】通過正弦定理把邊的形式轉(zhuǎn)化為角的形式，利用兩角差的正弦公式來判斷△ABC的形狀。由a2sinA2=sinC23：利用正弦定理證明三角恒等式3/50解三角形經(jīng)典例題a2b2b2c2c2a2A 【解題策略】在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問題時，常運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，然后利用三角知識去解決，要注意體會其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用?！军c(diǎn)撥】本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應(yīng)用.【解題策略】有關(guān)三角形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性質(zhì)。解三角形經(jīng)典例題222222222在△ABC中，a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊，若425,求△ABC的面積S.解：由題意25，得25由正弦定理得7110481104822757【解題策略】在△ABC中，以下三角關(guān)系式在解答三角形問題時經(jīng)常用到，要記準(zhǔn)、記熟，并能靈活應(yīng)用，222幾S【點(diǎn)撥】本題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應(yīng)用。4/505/5011解三角形經(jīng)典例題B222ABCmax44【解題策略】把三角形的面積公式和正弦定理相結(jié)合，通過討論三角函數(shù)值的取值，求得面積的最大值。問題【點(diǎn)撥】本題主要考察解三角形中的正弦定理、和差化積公式等基礎(chǔ)知識，考察運(yùn)算能力、分析能力和轉(zhuǎn)化能力。a+b=acotA+bcotB,且a=b=2RsinAsinB(R為△ABC的外接圓半徑)，幾：A+B=或A=B,幾幾2幾幾幾幾當(dāng)A=B時，由已知得42幾綜上可知，內(nèi)角2.6/50解三角形經(jīng)典例題從而4444即44冗冗冗冗22【解題策略】切化弦、邊化角是三角關(guān)系化簡的常用方法，熟練運(yùn)用三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵。==【點(diǎn)撥】欲求邊，應(yīng)將已知條件中的邊角統(tǒng)一，先求角再求邊。,,又冗冗2〈b4【解題策略】解此類問題應(yīng)注意定理與條件的綜合應(yīng)用。------------------------------------------弦定理解題時，出現(xiàn)漏解或增解【易錯點(diǎn)辨析】本節(jié)知識在理解與運(yùn)用中常出現(xiàn)的錯誤有：(1)已知兩邊和其中一邊的對角，利用正弦定理求另一邊的對角時，出現(xiàn)漏解或增解；(2)在判斷三角形的形狀時，出現(xiàn)漏解的情況。(1)(2)【錯解】7/50解三角形經(jīng)典例題(1)由正弦定理得a23(1)由正弦定理得(2)由正弦定理得a23(2)由正弦定理得sinB=【點(diǎn)撥】(1)漏解，由2(0°＜B＜180°)可得B=60o或120o因?yàn)閎＞a,所以兩解都存在。(2)增解。由【正解】sinB=baa232(經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意)又∵0°＜B＜180°(經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意)sinBb=sinBb=2=.a232(2)由正弦定理得∵b＜a,根據(jù)三角形中大邊對大角可知B＜A，條件致錯【易錯點(diǎn)解析】解題過程中，忽略三角形本身的隱含條件，如內(nèi)角和為180°等造成的錯誤。c【錯解】========b8/50則則解三角形經(jīng)典例題cc【點(diǎn)撥】在上述解題過程中，得到了均為正角這一條【正解】22c--------------------------『高考真題評析』(2010·廣東高考)已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a=1,b=3,A+C=2B,則B=sinA==,B=sinA==,A=幾握邊角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)邊角互化。(2010·北京高考)如圖1-9所示，在△ABC中，若3【命題立意】本題考查利用正弦定理解決三角形問題，同時要注意利用正弦定理得到的兩解如何取舍。9/50解三角形經(jīng)典例題36【名師點(diǎn)評】CC13BAB3222266A_BC_D.3.3.3.3【命題立意】本題考查正弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是確定角B的范圍。3 【點(diǎn)撥】由正弦定理得sin60。sinB15153∵a＞b，A=60。，∴B為銳角。 (2010·天津高考)在△ABC中，(1)求證B=C；=ABcosC.解三角形經(jīng)典例題【命題立意】本題主要考察正弦定理、兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識，同時考察基本運(yùn)算能力。=證明：(1)在△ABC中，由正弦定理及已知，得sinCcosC。又0＜2B＜"，于是3從而9，【名師點(diǎn)評】(1)證角相等，故由正弦定理化邊為角。(2)在(1)的基礎(chǔ)上找角A與角B的函數(shù)關(guān)系，在求2B的正能提升訓(xùn)練學(xué)以致用1、在△ABC中，下列關(guān)系式中一定成立的是()"A=,a=3,b=13，則c等于()3，則c等于()A.1B.2C.3_1D.3等于()366C.33土B.36土D.3abc==4、在△ABC中，若cosAcosBcosC，則△ABC是()A．直角三角形B.等邊直角三角形10/5011/50解三角形經(jīng)典例題C．鈍角三角形D.等腰直角三角形c5、在銳角△ABC中，若C=2B，則b的范圍是()(0,2)(2,2)AB.C.D.6、在△ABC中，，則，滿足此條件的三角形有()DA．3：4：5B.2:6A．3：4：5B.2:6:C.1:3:2D.2:3:2A．53B.43C.52D.42A(2)求AE的長。解三角形經(jīng)典例題12/50DDEABa2b2=sin(AB)13、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c，求證c2sinC。x2(bcosA)x+acosB=0AB15、已知方程的兩根之積等于兩根之和，且,邊，判斷△ABC的形狀。a,b分別為13/50解三角形經(jīng)典例題33(1)求角C的大??；(2)若△ABC的最大邊長為17，求最小邊的長?！军c(diǎn)撥】解答本題可先由余弦定理列出關(guān)于邊長a的方程，首先求出邊長a，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以1sinA=asinB=62=1,當(dāng)a=6時，由正弦定理得b3A=90,C=60.csin30=33=由b＜c，B=30,b＞22，知本題有兩解。1由正弦定理得b3214/50==解三角形經(jīng)典例題a=b2+c2=【解題策略】比較兩種解法，從中體會各自的優(yōu)點(diǎn)，從而探索出適合自己思維的解題規(guī)律和方法。三角形中已知兩邊和一角，有兩種解法。方法一利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系列出方程，利用解方程的方法求出第三邊的長，這樣可免去判斷取舍的麻煩。方法二直接運(yùn)用正弦定理，先求角再求邊?！军c(diǎn)撥】解答本題可由余弦定理求出角的余弦值，進(jìn)而求得各角的值。c++===c==解法2：1a262=2.15/50解三角形經(jīng)典例題【解題策略】已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時，要根據(jù)小確定角的大小，防止增解或漏解。【點(diǎn)撥】本題主要考察利用正弦定理或余弦定理判斷三角形的形狀，從問題的已知條出發(fā)，找到三角形邊角之間的關(guān)系，然后判斷三角形的形狀。=由=又由余弦定理的推論得2bc。cc2+b2aab又又 ，得，，得，a2+a2+b2c2=ab,216/50又又解三角形經(jīng)典例題【解題策略】已知三角形關(guān)系中的邊角關(guān)系式判斷三角形的形狀，有兩條思考路線：一是化邊為角，求出三個角之間的關(guān)系式；二是化角為邊，求出三條邊之間的關(guān)系式，種轉(zhuǎn)化主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理?！窘忸}策略】應(yīng)用三角形三邊關(guān)系時，應(yīng)注意大邊對大角?？疾禳c(diǎn)3：利用余弦定理證明三角形中的等式問題 (2)求證222【點(diǎn)撥】本題考察余弦定理及余弦定理與二倍角公式的綜合應(yīng)用。證明：(1)左邊2ac2bc=222a(a2+b2_c2)c(b2a(a2+b2_c2)c(b2+c2_a2)2右邊，故原式成立。解三角形經(jīng)典例題【解題策略】(1)小題利用余弦定理將角化為邊。(2)小題先降冪，然后利用余弦定理將角化為邊。a2b2=sin(AB); (1)求證c2sinC 【點(diǎn)撥】本題考察余弦定理及余弦定理與兩角和差正弦公式的綜合應(yīng)用=csinC,∴c2sinCsinC==sinCsinC==bc.b2+c2a22b2b2c2+a2 (2)左邊2bc2ba2c2+b2 ===asinA【點(diǎn)撥】本題主要考察正、余弦定理的綜合應(yīng)用。17/5018/503==2243==224a= 1 2-32==2-322-3【解題策略】本題邊未知，已知一角，所以考慮使用余弦定理得a，c的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理求sinA.注意特殊角的4(1)求A的大?。?(2)求的值。【點(diǎn)撥】本題考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的綜合應(yīng)用。所以冗19/50解三角形經(jīng)典例題2sinBcosCsin(BC) (2)(1)求邊長a；BCSABCl【點(diǎn)撥】本題考察正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及同腳三角函數(shù)關(guān)系式的綜合應(yīng)用。將兩式相除，有4bsinAsinAbsinBb(2)由2得c=5.cosB=a2+c2b2=3,由2ac5得b=25。 用余弦定理判斷三角形的形狀時出現(xiàn)漏解情況【易錯點(diǎn)辨析】在等式兩邊同時約去一個因式時，需要十分小心，當(dāng)該因式恒正或恒負(fù)時可以約去，一定要避免約去可能為零的因式而導(dǎo)致漏解。20/50解三角形經(jīng)典例題bacb【點(diǎn)撥】利用余弦定理把已知等式中角的形式轉(zhuǎn)化為邊的形式，其思路是正確的，但是在等式變形中約去了可能為零【正解】bacb隱含條件而導(dǎo)致錯誤【易錯點(diǎn)辨析】我們在解題時要善于應(yīng)用題目中的條件，特別是隱含條件，全面、細(xì)致地分析問題，如下列題中的bAAba隱含條件，則B＞A，顯然A=150o是不可能的。nAnAAo21/50BB解三角形經(jīng)典例題『高考真題評析』(2011.山東模擬)在【命題立意】本題主要考察余弦定理與方程組的應(yīng)用。(2) ()①。在ADC中，由余弦定理得 ()①。在ADC中，由余弦定理得xx【名師點(diǎn)評】根據(jù)題意畫出示意圖由CD=2BD,AC=2AB,設(shè)出未知量，在兩個三角形中分別利用余弦定理，然后聯(lián)立方ACCD于()A．30°B.60°C.120°D.150°【命題立意】本題考察正、余弦定理的綜合應(yīng)用，考察分析問題、解決問題的能力。AA余弦定理變形形式求角的余弦值。22/50解三角形經(jīng)典例題 (2010.北京高考)某班設(shè)計了一個八邊形的班徽(如圖1-14所示)，它由腰長為1，頂角為a的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為()【命題立意】本題考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面積公式和圖形的分割求和等知識?！久麕燑c(diǎn)評】此題難度較低，該八邊形由4個等腰三角形和一個正方形組合而成，應(yīng)用余弦定理求正方形的邊長是關(guān)(2010.安徽高考)設(shè)ABC是銳角三角形，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對邊長，且sin2Asin (2)若，求b，c(其中b＜c)【命題立意】本題考察兩角和的正弦公式，同腳三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，余弦定理，向量的數(shù)量解：(1)因?yàn)?4443"3"所以所以2。又A為銳角，所以3. (2)由AB.AC=12,得cbcosA=12.①由(1)知A=3.所以cb=24.②③+②×2，得③+②×2，得解三角形經(jīng)典例題cbttbcc=6，b=4.(2)題考察了構(gòu)造方程求跟的能力?！久}立意】本題主要考察利用正弦定理和余弦定理解三角形，同時考察運(yùn)算求解能力。由余弦定理得2AD.DC21062 AB=AD32ABCBD正弦定理求解即可。ba+=6cosC, (2010.江蘇高考)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若ab23/50解三角形經(jīng)典例題求tanAtanB的值?！久}立意】本題考察三角函數(shù)的化簡及正、余弦定理的綜合應(yīng)用。 cosCsinAsinB=根據(jù)正、余弦定理得2abc2c22知能提升訓(xùn)練學(xué)以致用幾A=a=7,b=1,1、(2011.山東模擬)ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，3,則c等于()2、如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么他的頂角的余弦值為()53337ABCaab+c2，則A的取值范圍是()A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形24/5025/50B=B= (2)若角6,BC邊上的中線AM的長為7，求ABC解三角形經(jīng)典例題C．正三角形D．等腰直角三角形①若a2＞b2+c2，則ABC為鈍角三角形a=b2+c2+bc，則A=60°③若a2+b2＞c2，則ABC為銳角三角形其中正確的個數(shù)是()A．1B.2C.3D.4a=3,b=3,C=,6、(2011.廣東模擬)在ABC中，分別是角A，B，C所對的邊，已知6則角A等于____________8、在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a,b,c，已知3。(1)求22的值(2)若a=2,SABC=2，求b的值9、(2011.山東模擬)設(shè)9、(2011.山東模擬)設(shè)(1)求角A的大??；26/50解三角形經(jīng)典例題cosB=b10、在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a,b,c且cosC2a+c.(1)求角B的大??；(2)若b=13,a+c=4,求ABC的面積。內(nèi)角為60°，面積為27/50解三角形經(jīng)典例題14、(2011.濟(jì)寧模擬)在14、(2011.濟(jì)寧模擬)在3411+ AtanC3 (2)設(shè)2,求a+c的值『典型題剖析』28/50解三角形經(jīng)典例題CDBD=：BD==202.sin135。44故所求的塔高為3米。【解題策略】(1)依據(jù)提議畫圖是解決三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵。本例中，既有方位角(它是在水平面上所成的角)，又有)由本例可知，方位角是相對于某地而言，因此在確定方位角時，必須先弄清是哪一點(diǎn)的方位角，從這個意義上來說，方位角是一個動態(tài)角，在理解題意時要把它看活，否則可能產(chǎn)生偏差。(1)求連桿AC和曲軸BL間的夾角β的正弦(2)當(dāng)α取什么值時，β最大？(3)已知BD=a，求滑塊C的位移x29/50解三角形經(jīng)典例題sinbsinalsinbsinal(2)根據(jù)題意知β為銳角，：sinb最大時，β最大。幾aBCl= (3)根據(jù)正弦定理sinAsina,得sinasina.lllsina【解題策略】在理解曲柄連桿的工作原理之后，解此題應(yīng)該不是很困難，在解(3)題時，應(yīng)注意β不是已知量，應(yīng)用r,l及α來表示，否則很容易寫成sina要引起重視。AOBPOhmhAO==3h解三角形經(jīng)典例題44-3【解題策略】在解三角形問題時，一定要選擇合適的三角形，這樣可以簡化計算過程。PQPARtAPQAP出。==asinasin(y-b) sin(y-30/5031/50解三角形經(jīng)典例題算出AB或AC的長得= sin(a一b)BCAC=答：此船應(yīng)該沿北偏東32/50解三角形經(jīng)典例題【點(diǎn)撥】根據(jù)圖意明確已知條件與幾何量之間的對應(yīng)關(guān)系。ABC4或32(舍去)33/50解三角形經(jīng)典例題3由正弦定理，得AC2114272＜272＜14=又幾幾的方向，用4小時能盡快追上乙船?！窘忸}策略】(1)首先明確題中所給出的各個角的含義，然后分析題意，分析已知、所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最主要的一步。(2)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，靈活運(yùn)用正、余弦定理解決【點(diǎn)撥】扇形內(nèi)的內(nèi)接矩形有且僅有兩種類型:一種是矩形的一邊與扇形的一條半徑重合，如圖1-30(1)所示；另一種是以扇形的對稱軸為對稱軸的矩形，如圖1-30(2)所示，我門分別求出這兩種類型的矩形的最大面積，再取兩者中Rxoo時，o時，當(dāng)3S=R2max6.34/50解三角形經(jīng)典例題ONPNOP==332【解題策略】這是一道傳統(tǒng)題，理解扇形的內(nèi)接矩形有且僅有上訴兩種情況是解決本題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)。ABDCDB22235/50解三角形經(jīng)典例題2在△ABD中，由余弦定理，得2【解題策略】解斜三角形應(yīng)用題的步驟：(1)讀懂題意，理解問題的實(shí)際背景，明確已知所求，理清量與量之間的關(guān)系。(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形的模型。(3)選擇正弦定理和余弦定理求解。(4)將三角形的解還原成實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的單位、近似計算的要求。36/50在△ABC在△ABC中，由余弦定理得即x=5,x=.解得123AC=：AC=172x=7(dm)或3(dm)(舍去)AB=42,AC=172x,BC=x,因此，可以利用余弦定理列出方程求解xa的等邊三角形ABC形狀的三角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相(2)如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本希望它最短，DE的位置應(yīng)該在哪里？如果DE是參觀路線，則希望它最長，DE的位置又該在哪里?請予以證明y=f(x)的最值，需借助于的單調(diào)性求解。37/50解三角形經(jīng)典例題124x在△ADE中，由余弦定理得x2x2(2)令x2=t，則a2共t共4a2,則ttatta：f(a2)=3a2,f(2a2)=2a2,f(4a2)=3a2.又易錯點(diǎn)實(shí)際應(yīng)用錯誤【易錯點(diǎn)解析】由于實(shí)際應(yīng)用問題的條件多，文字繁瑣，故對題意理解不夠、把握不準(zhǔn)，致使常常出錯。38/50解三角形經(jīng)典例題【錯解】MNMMMNAMM與它在河面的倒影關(guān)于河面對稱，故MN」A'M'，且MM'=M'N。：x=a：MB=xtan9=atan9∴塔高(米)nQ∴塔高(米)【點(diǎn)撥】上述錯解中，其解題思路其實(shí)是正確的，錯誤在于BM與BN的關(guān)系上，由于39/50解三角形經(jīng)典例題∴塔高(米)易錯點(diǎn)應(yīng)用正、余弦定理解決實(shí)際問題時出現(xiàn)增解或漏解∴塔高(米)易錯點(diǎn)應(yīng)用正、余弦定理解決實(shí)際問題時出現(xiàn)增解或漏解【易錯點(diǎn)解析】在應(yīng)用正弦定理和余弦定理解三角形時因?yàn)槿切慰赡軙霈F(xiàn)兩解、一解或無解的情況，所以在求解時一定要注意驗(yàn)證解的情況，避免出現(xiàn)增解或漏解。D==所以31在△ABC中，sin使CAB40/50解三角形經(jīng)典例題【點(diǎn)撥】余弦定理中，線段的長度都帶有平方，故求線段的長度是可能會有兩個值，出現(xiàn)錯誤的原因是未檢驗(yàn)解是否【正解】設(shè)∠ACD=α，∠CDB=β，==一==一所以7而722714km才能到達(dá)城A。(2011.湖北模擬)為了測量兩山頂M，N的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一個鉛AB方案，包括：(1)指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；(2)用文字和公式寫出計算M，N,間的距離的步驟。abaaba(如圖1-37所示)41/50解三角形經(jīng)典例題(2)第一步：計算AM，由正弦定理得，12(2)第一步：計算AM，由正弦定理得，12AN=sin(2AN=sin(2);MN=AM+AN2AM.ANcos(a).第三步:計算MN，由余弦定理得：11【名師點(diǎn)評】本題構(gòu)思新穎，是課本中測量兩個不能到達(dá)的地方之間的距離的引申拓展。(2010.陜西高考)如圖1-38所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋3)海里的兩個觀測點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東42/50解三角形經(jīng)典例題【命題立意】本題主要考察運(yùn)用正、余弦定理理解三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成解三角形的問題，同時考察運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力和運(yùn)算求解能力。DBA∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.DBAB在△DAB中，由正弦定理得sin∠DAB＝sin∠ADB，ABsin53＋3·sin45°533＋1＝103(海里)，＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝＝103(海里)，2BC＝203海里，1300＋1200－2×103×203×2＝900，43/50解三角形經(jīng)典例題沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇。 (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？航行速度的大小)，使得小艇能以