2023屆海南省高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆海南省高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可得出答案.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得，故選：C2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用集合的基本關(guān)系判斷.【詳解】解：因?yàn)榧?，集合，所以．故選：A3．若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】D【分析】利用數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系求得，后即可得．【詳解】，，所以．故選：D．4．天文學(xué)中常用“星等”來衡量天空中星體的明亮程度，一個(gè)望遠(yuǎn)鏡能看到的最暗的天體星等稱為這個(gè)望遠(yuǎn)鏡的“極限星等”．在一定條件下，望遠(yuǎn)鏡的極限星等M與其口徑D（即物鏡的直徑，單位：mm）近似滿足關(guān)系式，例如：口徑的望遠(yuǎn)鏡的極限星等約為10.3．則口徑的望遠(yuǎn)鏡的極限星等約為（

）A．12.8 B．13.3 C．13.8 D．14.3【答案】B【分析】根據(jù)口徑的望遠(yuǎn)鏡的極限星等求出的估值，即可求出口徑的望遠(yuǎn)鏡的極限星等.【詳解】解：由題意，∴，∴．∴．故選：B.5．使得函數(shù)為奇函數(shù)的實(shí)數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，則，所以，整理可得，于是，．則為，，，，當(dāng)，時(shí)，的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)，時(shí)，，舍．當(dāng)，時(shí)，，符合題意．當(dāng)，時(shí)，，符合題意．故選：B6．已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差為2，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差為（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】分別設(shè)出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)，推出出的平均數(shù)和中位數(shù)的表達(dá)式，即可求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差.【詳解】解：由題意在樣本數(shù)據(jù)中，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差為2設(shè)的平均數(shù)為，中位數(shù)為m，則的平均數(shù)為，中位數(shù)為，∴．故選：C.7．已知，是拋物線上位于不同象限的兩點(diǎn)，分別過，作的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】不妨令第二象限，Q在第一象限，根據(jù)拋物線的定義，可求得坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，從而得直線方程，聯(lián)立可得交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式即可求得的值.【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，如圖所示，根據(jù)拋物線對(duì)稱性，不妨令第二象限，Q在第一象限，根據(jù)拋物線的定義，可知所以的縱坐標(biāo)為1，的縱坐標(biāo)為4，則，．由得，得，所以拋物線在，兩點(diǎn)處的切線斜率分別為和2，得到兩條切線方程并聯(lián)立，解得，則，所以．故選：B8．如圖所示，某制藥廠以前生產(chǎn)的維C藥片的形狀是由一個(gè)圓柱和兩個(gè)直徑為的半球組成的幾何體，總長(zhǎng)度為．現(xiàn)根據(jù)市場(chǎng)需求進(jìn)行產(chǎn)品升級(jí)，要將藥片形狀改為高為的圓柱，且升級(jí)前后藥片的表面積相同，則升級(jí)后的藥片體積相比升級(jí)前（

）A．減少了 B．增加了 C．減少了 D．增加了【答案】D【分析】先算出以前藥片的表面積和體積，設(shè)升級(jí)后的藥片底面半徑為r，利用升級(jí)前后藥片的表面積相同可算出，即可求出答案【詳解】以前的藥片表面積為，體積為，設(shè)升級(jí)后的藥片底面半徑為r，則，得，解得，升級(jí)后藥片的體積為，因?yàn)?，所以升?jí)后體積增加了故選：D二、多選題9．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用二倍角公式和平方和關(guān)系可得到，，即可判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】，因?yàn)?，所以，，所以，，，故選：AC10．在長(zhǎng)方體中，，，則下列線段與垂直的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由線面垂直證明線線垂直得到AB選項(xiàng)正確，由正方形對(duì)角線互相垂直得到D選項(xiàng)正確，由等邊三角形證得C選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以?cè)面是正方形，所以，長(zhǎng)方體中，平面，平面，，平面，，故平面，平面，，A選項(xiàng)正確；同理平面，平面，，B選項(xiàng)正確；，所以四邊形為正方形，所以，D選項(xiàng)正確；易知，交于長(zhǎng)方體的中心O，，在中，可得，故，所以不與垂直，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD11．已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．圓C的半徑為5B．圓C的一條直徑在直線上C．圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為4D．圓C上到x軸的距離為1的點(diǎn)有4個(gè)【答案】BCD【分析】求出，圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可判斷A；利用直線經(jīng)過圓心判斷B；求出三角形面積判斷C；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷D.【詳解】因?yàn)閳AC經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即，圓C的方程可化為，所以圓C的半徑為，A錯(cuò)誤；直線經(jīng)過圓心，所以圓C的一條直徑在這條直線上，B正確；在圓C的方程中令，得或，令，得或4，所以圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，，，三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為，C正確；到x軸的距離為1的點(diǎn)的軌跡為兩條直線，已知這兩條直線與圓C均有2個(gè)交點(diǎn)，故圓C上到x軸的距離為1的點(diǎn)有4個(gè)，D正確．故選：BCD.12．已知函數(shù)，，令，，則（

）A．與的單調(diào)區(qū)間相同 B．與的單調(diào)區(qū)間相同C．與有相同的最小值 D．與有相同的最小值【答案】AC【分析】對(duì)于A，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解判斷；對(duì)于B，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解判斷；對(duì)于C，由，利用換元法求得的最小值判斷；對(duì)于D，由且，再利用復(fù)合函數(shù)的最值判斷.【詳解】對(duì)于A，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，，，所以，即在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．而，因?yàn)?，所以，所以與的正負(fù)相同，故與的單調(diào)區(qū)間相同，故B正確．對(duì)于C，由選項(xiàng)B知：，令，則函數(shù)在處取得最小值，所以與有相同的最小值，故C正確．對(duì)于D，易知，因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，從而，故D錯(cuò)誤．故選：AC三、填空題13．已知正方形的邊長(zhǎng)為，邊，的中點(diǎn)分別為，，則________．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】以為原點(diǎn)，，方向分別為軸、軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，∴，∴.故答案為：.14．函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸中，離y軸最近的對(duì)稱軸方程為________．【答案】##【分析】令求解.【詳解】令，得，其中離y軸最近的對(duì)稱軸為．故答案為：15．已知小明每天步行上學(xué)的概率為0.6，騎自行車上學(xué)的概率為0.4，且步行上學(xué)有0.05的概率遲到，騎自行車上學(xué)有0.02的概率遲到．若小明今天上學(xué)遲到了，則他今天騎自行車上學(xué)的概率為________．【答案】##【分析】根據(jù)題目信息利用全概率公式可計(jì)算出小明上學(xué)遲到的概率，再根據(jù)條件概率即可算出結(jié)果.【詳解】用A表示事件“小明步行上學(xué)”，B表示事件“小明騎自行車上學(xué)”，C表示事件“小明遲到”；由已知得，，，；根據(jù)全概率公式可知，利用條件概率可得；即小明今天騎自行車上學(xué)的概率為.故答案為：16．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，M，N為橢圓上兩點(diǎn)，滿足，且，則橢圓C的離心率為________．【答案】【分析】如圖，延長(zhǎng)，與橢圓交于點(diǎn)L，連接，設(shè)可得，在中，用余弦定理可得到，繼而得到，即可求解【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，如圖，延長(zhǎng)，與橢圓交于點(diǎn)L，連接，由，所以根據(jù)對(duì)稱性可知，，設(shè)，則，，從而，故，在中，，所以，在中，，即，所以，所以，所以離心率，故答案為：四、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，再?gòu)南旅姊佗冖廴齻€(gè)條件中選兩個(gè)，求的值．條件:①；②；③的面積為．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見解析【分析】選擇①②，由正弦定理求得，由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式求得后即得；選①③，由余弦定理求得，由三角形面積公式求得，再結(jié)合余弦定理求得，然后利用正弦定理可得；選擇②③，由三角形面積公式求得，由余弦定理求得，再由正弦定理求得．【詳解】選擇①②：由正弦定理，得．因?yàn)锳為鈍角，所以B為銳角，所以．因?yàn)?，所以，所以．選①③：由余弦定理得．因?yàn)?，所以，所以，即．由正弦定理，得，，所以．選擇②③：因?yàn)椋裕捎嘞叶ɡ?，所以．由正弦定理，得，，所以?8．已知等差數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為中滿足的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，寫出，的值，并求數(shù)列的前m項(xiàng)和．【答案】(1)(2)，，【分析】（1）設(shè)出公差，表達(dá)出和，根據(jù)和的關(guān)系求出公差，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)的通項(xiàng)公式求出前幾項(xiàng)，即可求出，的值，根據(jù)和的不等關(guān)系，求出的表達(dá)式，即可求出數(shù)列的前m項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意，在等差數(shù)列中，，設(shè)的公差為d，∴，，由，得，解得：，∴∴（2）由題意及（1）得，在等差數(shù)列中，，，，∴，，在數(shù)列中，為中滿足的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)只有符合題意，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有符合題意，故，∵∴∵為正偶數(shù)，∴為正整數(shù)，∴．∴即19．如圖，在四棱雉中，點(diǎn)都在以為直徑的圓上，平面，M為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若是正三角形，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析.(2).【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平?所以,因?yàn)辄c(diǎn)B在以為直徑的圓上，所以,又因?yàn)槠矫?，所以平面．?）由于是正三角形，為圓的直徑，則,以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸、z軸，以過C且平行于的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，?故，，，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得．所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，由（1）知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，，則．20．王先生準(zhǔn)備利用家中閑置的10萬元進(jìn)行投資，投資公司向其推薦了A，B兩種理財(cái)產(chǎn)品，其中產(chǎn)品A一年后固定獲利，產(chǎn)品B的一年后盈虧情況的分布列如下（表中）：盈虧情況獲利不賠不賺虧損概率p(1)如果王先生只投資產(chǎn)品B，求他一年后投資收益的期望值．(2)該投資公司為提高客戶積極性，對(duì)投資產(chǎn)品B的客戶贈(zèng)送鼓勵(lì)金，每年的鼓勵(lì)金為產(chǎn)品B的投資額的但不超過1200元．王先生應(yīng)該如何分配兩個(gè)產(chǎn)品的投資額，才能使一年后投資收益（含鼓勵(lì)金）的期望值最大，最大為多少？【答案】(1)（萬元）．(2)用6萬元投資產(chǎn)品B，4萬元投資產(chǎn)品A，一年后投資收益的期望值最大為（萬元）【分析】（1）根據(jù)概率和為1求出，然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求解盈虧情況.(2)根據(jù)，，能分析到先投資產(chǎn)品B，使鼓勵(lì)金達(dá)到1200元，其余資金再投資產(chǎn)品A．【詳解】（1）由已知得，所以，如果王先生只投資產(chǎn)品B，他一年后投資收益的期望值為（萬元）．（2）產(chǎn)品B的平均收益率為．因?yàn)椋?，即產(chǎn)品B的平均收益率比產(chǎn)品A的收益率小，但加上鼓勵(lì)金后平均收益率比產(chǎn)品A的收益率大，故要使投資收益的期望值最大，應(yīng)優(yōu)先投資產(chǎn)品B，使鼓勵(lì)金達(dá)到1200元，其余資金再投資產(chǎn)品A．因?yàn)椋ㄔ詰?yīng)該用6萬元投資產(chǎn)品B，4萬元投資產(chǎn)品A．一年后投資收益的期望值最大為（萬元）．21．已知雙曲線的離心率為，設(shè)E的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，虛軸下端點(diǎn)為B，且．(1)求E的方程；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與E交于P，Q兩點(diǎn)，與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M都在第一象限，若的面積是面積的2倍，求l的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）由雙曲線性質(zhì)求得，得方程；（2）設(shè)，點(diǎn)，，，由面積關(guān)系得出線段長(zhǎng)的關(guān)系，從而得出坐標(biāo)關(guān)系，即．解方程組求得，代入上述關(guān)系可求得并檢驗(yàn)即得．【詳解】（1）設(shè)E的焦距為，由已知得，又由，可得．再由，可得，，所以E的方程為．（2）設(shè)，點(diǎn)，，，由題意可知，，由的面積是面積的2倍，可得，從而，即．易知直線AB的方程為，由方程組，消去y，可得．由方程組，消去y，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，l與直線AB平行，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，符合題意．所以l的斜率為．22．已知函數(shù)．(1)證明；(2)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】