2023屆湖南省長(zhǎng)沙市高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期月考（五）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)高三上學(xué)期月考（五）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合,,則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意解出集合,求出兩個(gè)集合的交集即可.【詳解】解:由題知,,.故選:B2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義與共軛復(fù)數(shù)的概念、除法運(yùn)算求解即可【詳解】由題，，故，故選：B3．青花瓷，又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，是中國(guó)瓷器的主流品種之一.如圖，這是景德鎮(zhèn)青花瓷，現(xiàn)往該青花瓷中勻速注水，則水的高度與時(shí)間的函數(shù)圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)瓷器的形狀：中間粗，上下細(xì)來(lái)分析水的增高速度.【詳解】由圖可知該青花瓷上?下細(xì)，中間粗，則在勻速注水的過(guò)程中，水的高度先一直增高，且開(kāi)始時(shí)水的高度增高的速度越來(lái)越慢，到達(dá)瓷瓶最粗處之后，水的高度增高的速度越來(lái)越快，直到注滿水，結(jié)合選項(xiàng)所給圖像，只有先慢后快的趨勢(shì)的C選項(xiàng)符合.故選：C4．若，則=（

）A．244 B．1 C． D．【答案】D【分析】分別令代入已知關(guān)系式，再兩式求和即可求解.【詳解】根據(jù)，令時(shí)，整理得：令x=2時(shí)，整理得:由①+②得，，所以.故選：D.5．若，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】將用替換后，解方程解出即可.【詳解】因?yàn)?，可得，可得，解得，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：C.6．如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，，與相交于O．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先以為基底表示，再利用向量的數(shù)量積把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的長(zhǎng)【詳解】在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，，與相交于O．設(shè)，則由，可得則，解之得，則則又，則，解之得，即的長(zhǎng)為4故選：C7．某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為e，設(shè)地球半徑為R，該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為r，則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）A．r+R B．r+RC．r+R D．r+R【答案】A【解析】畫出題意畫出圖形，結(jié)合題設(shè)條件和橢圓的離心率，求出橢圓的長(zhǎng)半軸和半焦距，進(jìn)而求得衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離.【詳解】由題意，橢圓的離心率，（c為半焦距；a為長(zhǎng)半軸）地球半徑為R，衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為r，可得聯(lián)立方程組，，如圖所示，設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn)的距離為，遠(yuǎn)地點(diǎn)的距離為，所以遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為r+故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)求得橢圓的長(zhǎng)半軸和半焦距是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.8．已知正方體的棱長(zhǎng)為3，為棱上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面與平面和平面所成的角相等時(shí)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出過(guò)且與平面和平面所成角相等的截面，則P位于截面與平面的交線上，進(jìn)而求得答案.【詳解】如圖1，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，由正方體的對(duì)稱性可知平面與平面和平面所成角相等，取棱AB上靠近B的三等分點(diǎn)E，取棱DC上的三等分點(diǎn)N,M，容易證明：，則共面，即平面與平面和平面所成角相等，于是點(diǎn)P在線段FN上.如圖2，過(guò)點(diǎn)作垂直于FN于，容易知道當(dāng)P位于時(shí)，最小.如圖3，由勾股定理可以求得，由等面積法，.故選：A.【點(diǎn)睛】對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，通常做法是先找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，以本題為例就是先作出與平面和平面所成角相等的截面，從而找到截面與的交線，做題時(shí)要充分利用圖形的特征，平常注意總結(jié)截面的做法.二、多選題9．下列說(shuō)法，其中正確的是（

）A．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，的值越大，說(shuō)明兩事件相關(guān)程度越大B．若隨機(jī)變量，，則C．若隨機(jī)變量，則D．在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)，…，而言，若殘差平方和越大，則模型的擬合效果越好【答案】AB【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念可判斷A，根據(jù)正態(tài)分布可判斷B，利用二項(xiàng)分布的方差公式可求C，根據(jù)殘差定義可判斷D.【詳解】由獨(dú)立性檢驗(yàn)得A說(shuō)法是正確的；隨機(jī)變量，，則，故B正確；隨機(jī)變量，則，，故C錯(cuò)誤；按照殘差的意義，在回歸分析中，若殘差平方和越小，則模型的擬合效果越好，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．如圖，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為，正三棱錐的棱長(zhǎng)均為，（

）A．B．正四棱錐的內(nèi)切球半徑為C．，，，四點(diǎn)共面D．平面平面【答案】ACD【分析】結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證，線線垂直通常轉(zhuǎn)化為線面垂直，錐體的內(nèi)切球半徑通常采用分割法求解，四點(diǎn)共面借助余弦定理來(lái)判斷，平面與平面平行通常借助線面平行來(lái)判斷.【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，，則，，又，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以，故A正確.對(duì)于B，設(shè)內(nèi)切球半徑為，易求得四棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積為，所以，解得，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，，，，易知，，，所以，分別是二面角，二面角的平面角，易求得，所以，，又，，所以與互補(bǔ)，所以，，，共面，故C正確因?yàn)?，，，共面，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，故D正確．故選：ACD.11．已知函數(shù)，下列四個(gè)選項(xiàng)正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．是周期函數(shù)C．在，上為減函數(shù)D．的最大值為【答案】ACD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷得解；對(duì)于選項(xiàng)B，分析得到不存在非零實(shí)數(shù)T使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立得解；對(duì)于選項(xiàng)C,求出即得解；對(duì)于選項(xiàng)D,對(duì)分四種情況討論得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，的定義城為R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，先畫出函數(shù)在的圖象，再利用對(duì)稱性得到的圖象.由函數(shù)的圖象可知，不存在非零實(shí)數(shù)T使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)?，，單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)?，，所以，，所以，所以；?dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)?，，所以，所以，綠上所述，當(dāng)時(shí)，的最大值為，由于為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最大值也為，故的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12．已知關(guān)于的方程有且僅有兩解，且，則（

）A．函數(shù)與的圖象有唯一公共點(diǎn)B．C．，D．存在唯一滿足題意，且【答案】ACD【分析】由函數(shù)圖像可判斷A正確，由，所以，即，所以可判斷B，由零點(diǎn)存在性定理可判斷C，由，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知.【詳解】對(duì)于A，若關(guān)于的方程有且僅有兩解，則和的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，作出和的草圖如下圖所示：易知，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與的圖象相切于唯一公共點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，，，可知，所以，所以，即，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，由圖可知：與相切于點(diǎn)，所以有，即，即，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，，，所以，使得，即，即，又，所以，C正確；對(duì)于D，，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，因?yàn)?，，所以，且唯一，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．三、填空題13．有2個(gè)人在一座7層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每一個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則這2個(gè)人在不同層離開(kāi)的概率為_(kāi)_________．【答案】【分析】由題意2人總的下法功36種結(jié)果，2人在同一層下共6種，故先求該事件的概率，再由對(duì)立事件的概率可得．【詳解】解：由題意總的基本事件為：兩個(gè)人各有6種不同的下法，故共有種結(jié)果，而兩人在同一層下，共有6種結(jié)果，兩個(gè)人在同一層離開(kāi)電梯的概率是，所以2個(gè)人在不同層離開(kāi)的概率為.故答案為：14．已知，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】##4.5【分析】討論的單調(diào)性和最值，即可確定，，進(jìn)而可求的最小值.【詳解】因?yàn)椋梢阎?，所以，，設(shè)，則，，，所以，，所以，所以，故，所以，，，所以，所以B－A的最小值為，故答案為：.15．如圖，雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作以為圓心、為半徑的圓的切線，切點(diǎn)為T.延長(zhǎng)交E的左支于P點(diǎn)，若M為線段的中點(diǎn)，且，則E的離心率為_(kāi)_____.【答案】【分析】用和來(lái)表示,用和雙曲線的定義列式子求解即可.【詳解】由題意，得，，，，，解得.故答案為：16．已知定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，對(duì)于任意的，都有，且恒成立，則______.【答案】3882【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合賦值法進(jìn)行求解即可.【詳解】令，則有，若，則有，顯然矛盾；若，則有，顯然與已知矛盾，當(dāng)為大于3的整數(shù)時(shí)，與已知函數(shù)單調(diào)遞增相矛盾，故，所以有；令時(shí)，；令時(shí)，，根據(jù)函數(shù)遞增且可得：，；令時(shí)，；令時(shí)，；根據(jù)函數(shù)遞增且可得：，，…，；同理，，，，，，，，根據(jù)函數(shù)遞增且可得：，，…，；所以，所以.故答案為：3882【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合賦值法是解題的關(guān)鍵.四、解答題17．記ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求；(2)若，AB邊上的中線，求ABC的面積.【答案】(1)2；(2).【分析】（1）利用三角恒等變換的公式和正弦定理化簡(jiǎn)已知即得解；（2）利用向量知識(shí)得到，，再求出的值即得解.【詳解】（1）解：由得，故，所以，所以，由正弦定理得.（2）解：因?yàn)镃D為AB邊上的中線，所以,所以，所以，所以，即，因?yàn)椋獾?，，又，所以，所以ABC的面積.18．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知得，①，②兩式相減即得解；（2），再利用裂項(xiàng)相消法求和證明.【詳解】（1）解：由已知得，①，②②－①得，即，特別地，①中令得，即，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.所以.（2）證明：，所以.19．如圖，在底面是菱形的四棱錐中，平面ABCD，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，PD的中點(diǎn)，設(shè)直線PC與平面AEF交于點(diǎn)Q.(1)已知平面平面，求證：.(2)求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）先證明平面，然后由線面平行性質(zhì)定理得線線平行；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)．由共面，即由向量共面定理求得，再求得平面的一個(gè)法向量，由向量法求得線面角的正弦值．【詳解】（1）由已知，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面＝，所以；（2）由已知是正三角形，是中點(diǎn)，則，而，所以，又平面，故以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，則，，，，，則，．，，．設(shè)，則，又共面，所以存在實(shí)數(shù)，值得，即，解得，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，令，則，即，設(shè)直線AQ與平面PCD所成角為，則．20．已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，以F為圓心，2p為半徑的圓F與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線C和圓F的方程；(2)若點(diǎn)P為圓F優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，請(qǐng)問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)拋物線C的方程為，圓F的方程為(2)是，16【分析】（1）根據(jù)題意可得圓F的方程為，聯(lián)立方程求得A，B的坐標(biāo)，即可求得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線PM，PN，即可得直線MN的方程，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理運(yùn)算整理.【詳解】（1）由題意可得：拋物線C：的焦點(diǎn)為，則圓F的方程為，聯(lián)立方程，消去x得，解得或（舍去），將代入得A，B的坐標(biāo)分別為，.故，所以，所以拋物線C的方程為，圓F的方程為.（2）是，理由如下：設(shè)，則，因?yàn)閽佄锞€的方程為，則，所以切線PM的方程為，即，①同理切線PN的方程為，②則由①②過(guò)，則，所以直線MN的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，則，，所以，又在圓F上，則，即，故為定值16.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟：(1)由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；(3)得出結(jié)論．21．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)的答題競(jìng)賽包括三項(xiàng)活動(dòng)，分別為“四人賽”“雙人對(duì)戰(zhàn)”和“挑戰(zhàn)答題”.在一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，每局第一名積3分，第二、三名各積2分，第四名積1分，每局比賽相互獨(dú)立.在一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，每局比賽有積分，獲勝者得2分，失敗者得1分，每局比賽相互獨(dú)立.已知甲參加“四人賽”活動(dòng)，每局比賽獲得第一名、第二名的概率均為，獲得第四名的概率為；甲參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，每局比賽獲勝的概率為.(1)記甲在一天中參加“四人賽”和“雙人對(duì)戰(zhàn)”兩項(xiàng)活動(dòng)（兩項(xiàng)活動(dòng)均只參加一局）的總得分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)“挑戰(zhàn)答題”比賽規(guī)則如下：每位參賽者每次連續(xù)回答5道題，在答對(duì)的情況下可以持續(xù)答題，若第一次答錯(cuò)時(shí)，答題結(jié)束，積分為0分，只有全部答對(duì)5道題可以獲得5個(gè)積分.某市某部門為了吸引更多職工參與答題，設(shè)置了一個(gè)“得積分進(jìn)階”活動(dòng)，從1階到階，規(guī)定每輪答題獲得5個(gè)積分進(jìn)2階，沒(méi)有獲得積分進(jìn)1階，按照獲得的階級(jí)給予相應(yīng)的獎(jiǎng)品，記乙每次獲得5個(gè)積分的概率互不影響，均為，記乙進(jìn)到階的概率為，求.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【分析】(1)根據(jù)題意列出X所有可能取值，針對(duì)每一取值做具體分析，寫出分布列；(2)根據(jù)題意找出，，之間的關(guān)系，求數(shù)列通項(xiàng)即可.【詳解】（1）甲參加“四人賽”時(shí)，每局比賽獲得第三名的概率為，依題意，所有可能的取值為

，

所以的分布列如表所示所以；（2）依題意