二重積分定義和性質(zhì)

關(guān)于二重積分定義和性質(zhì)第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日回憶定積分.設(shè)一元函數(shù)y=f(x)在[a,b]可積.則有如圖0xyabxixi+1iy=f(x)f(i)其中xi=xi+1

xi,表示小區(qū)間[xi,xi+1]的長,f(i)xi表示小矩形的面積.第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日有一空間幾何體.其底面是xoy

面上的區(qū)域D,其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面,其頂是曲面z=f(x,y),我們稱為曲頂柱體.我們知道，頂是平面的平頂柱體的體積V=底面積×高，那么曲頂柱體的體積V怎么計算呢？0yzxz=f(x,y)D一、引例第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日(1)用曲線將D分成n個小區(qū)域D1,D2,…,Dn,每個小區(qū)域Di都對應(yīng)著一個小曲頂柱體.如圖z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi計算步驟第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日(2)由于Di很小,小曲頂柱體可近似看作小平頂柱體.(i,i)Di.小平頂柱體的高=f(i,i).若記

i=Di的面積.則小平頂柱體的體積=f(i,i)

i

小曲頂柱體體積

f(i,i)

(i,i)Diz=f(x,y)第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日(3)因此,大曲頂柱體的體積分割得越細(xì),則右端的近似值越接近于精確值V,若分割得"無限細(xì)",則右端近似值會無限接近于精確值V.也就是第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日

1.定義設(shè)z=f(x,y)是定義在有界閉區(qū)域DR2上的有界函數(shù).將D任意分割成n個無公共內(nèi)點的小區(qū)域Di(I=1,2,…,n),其面積記為i.(i,i)Di,作積f(i,i)i,二、二重積分的概念與性質(zhì)第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日若對任意的分法和任意的取法,當(dāng)0時,和式的極限存在且極限值都為I,則稱f(x,y)在D上可積,記為f(x,y)R(D),并稱此極限值I為f(x,y)在D上的二重積分.記作即其中“”稱為二重積分符號,D稱為積分區(qū)域,f(x,y)稱為被積函數(shù),d稱為面積元素,x,y稱為積分變量.和式第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日注1.

定積分二重積分區(qū)別在將小區(qū)間的長度xi換成小區(qū)域的面積i,將一元函數(shù)f(x)在數(shù)軸上點i

處的函數(shù)值f(i)換成二元函數(shù)f(x,y)在平面上點(i,i)處的函數(shù)值f(i,i).可見,二重積分是定積分的推廣.第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日注2.

若將D用兩族平行于x軸和y軸的直線分割.(如圖)則除邊界上區(qū)域外,Di都是矩形，它的面積為：故也將二重積分寫成此時面積元素記為：d=dxdyi=xiyi第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日2.二重積分的幾何意義：設(shè)x,y在D上可積,則(1)當(dāng)z=f(x,y)0時,(2)當(dāng)z=f(x,y)<0時,(3)=(D1上曲頂柱體體積)(D2上曲頂柱體體積)第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日3.二重積分的性質(zhì).設(shè)D為有界閉區(qū)域,以下涉及的積分均存在.性質(zhì)1.性質(zhì)2.性質(zhì)3.性質(zhì)4.第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日直角坐標(biāo)系下二重積分的計算.由二重積分的幾何意義知,當(dāng)f(x,y)0時,如圖若點x處截面面積為A(x),則體積三、二重積分的計算xy0axA(x)b第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日如果積分區(qū)域D表示為：利用直角坐標(biāo)系計算二重積分我們稱為［X－型］（特殊情況）第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日積分區(qū)域D為：［X－型］一般地，---先對y積分，后對x積分的二次積分第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日如果積分區(qū)域D為：［Y－型］---先對x積分，后對y積分的二次積分第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日若區(qū)域如圖，比不是X型也不是Y型，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式得：則必須分割.第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日例1將化為二次積分。其中

D

由直線圍成。解1：先畫出積分區(qū)域D

，可知D

是Y－型。將D

向y

軸投影。于是，第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日解2：D

也是X－型。將D

向x

軸投影。于是，第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日例2計算其中

D

由直線圍成。解先畫出積分區(qū)域D

，D

是X－型。將D

向x

軸投影。于是，第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日于是，第二十二頁，共二十五頁，