2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)導(dǎo)航20合情推理與演繹推理

合情推理與演繹推理【考綱要求】1、了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2、了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理.3、了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.【基礎(chǔ)知識】1.推理一般包括合情推理和演繹推理.2..合情推理：根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.歸納、類比是合情推理常用的思維方法.3..歸納推理：根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理.4..歸納推理的一般步驟：⑴通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；⑵從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.5.類比推理：根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質(zhì)的推理.6.類比推理的一般步驟：⑴找出兩類事物之間的相似性或一致性；⑵從一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）.7.演繹推理：根據(jù)一般性的真命題導(dǎo)出特殊性命題為真的推理.【例題精講】例已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，首項(xiàng)a1＝5.(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律．解：(1)Sn＝5n＋eq\f(n(n－1),2)×2＝n(n＋4)．(2)Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]，∴Tn＝4n2＋n.∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S1＝T1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＜Tn.歸納猜想：當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，Sn＜Tn.合情推理與演繹推理強(qiáng)化訓(xùn)練【基礎(chǔ)精練】1．下列表述正確的是()①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤2．下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”3．由eq\f(7,10)＞eq\f(5,8)，eq\f(9,11)＞eq\f(8,10)，eq\f(13,25)＞eq\f(9,21)，…若a＞b＞0且m＞0，則eq\f(b＋m,a＋m)與eq\f(b,a)之間大小關(guān)系為()A．相等B．前者大C．后者大D．不確定4．如圖，圓周上按順時(shí)針方向標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)點(diǎn)．一只青蛙按順時(shí)針方向繞圓從一個(gè)點(diǎn)跳到另一點(diǎn)．若它停在奇數(shù)點(diǎn)上，則下一次只能跳一個(gè)點(diǎn)；若停在偶數(shù)點(diǎn)上，則下一次跳兩個(gè)點(diǎn)．該青蛙從5這點(diǎn)跳起，經(jīng)2022次跳后它將停在的點(diǎn)是()A．1B．2C．35．下列推理是歸納推理的是()A．A，B為定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得PB．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πabD．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇6．定義集合A，B的運(yùn)算：A?B＝{x|x∈A或x∈B且x?A∩B}，則A?B?A＝____________.7．在平面內(nèi)有n(n∈N*，n≥3)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，若這n條直線把平面分成f(n)個(gè)平面區(qū)域，則f(5)的值是________．f(n)的表達(dá)式是________．8．有如下真命題：“若數(shù)列{an}是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列{an＋an＋1＋an＋2}是公差為3d的等差數(shù)列．”把上述命題類比到等比數(shù)列中，可得真命題是“________________.”(注：填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情形即可)9．方程f(x)＝x的根稱為f(x)的不動點(diǎn)，若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,a(x＋2))有唯一不動點(diǎn)，且x1＝1000，xn＋1＝eq\f(1,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn))))(n∈N*)，則x2022＝________.10．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2).通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并給出證明．【拓展提高】已知函數(shù)f(x)＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))(a＞0且a≠1)，(1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))對稱；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．【基礎(chǔ)精練參考答案】解析：an表示青蛙第n次跳后所在的點(diǎn)數(shù)，則a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，…，顯然{an}是一個(gè)周期為3的數(shù)列，故a2022＝a1＝1.解析：從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理．解析：如圖，A?B表示的是陰影部分，設(shè)A?B＝C，運(yùn)用類比的方法可知，C?A＝B，所以A?B?A＝B.7.16eq\f(n2＋n＋2,2)解析：本題是一道推理問題．通過動手作圖，可知f(3)＝7，f(4)＝11，f(5)＝16，從中可歸納推理，得出f(n)＝f(n－1)＋n，則f(n)－f(n－1)＝n，f(n－1)－f(n－2)＝n－1，f(n－2)－f(n－3)＝n－2，f(5)－f(4)＝5，f(4)－f(3)＝4，將以上各式累加得：f(n)－f(3)＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋5＋4＝eq\f((4＋n)(n－3),2)，則有f(n)＝eq\f((4＋n)(n－3),2)＋f(3)＝eq\f((4＋n)(n－3),2)＋7＝eq\f(n2＋n＋2,2)8.答案：若數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列，則數(shù)列{bn·bn＋1·bn＋2}是公比為q3的等比數(shù)列；或填為：若數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列，則數(shù)列{bn＋bn＋1＋bn＋2}是公比為q的等比數(shù)列．9.2022解析：由eq\f(x,a(x＋2))＝x得ax2＋(2a－1)x＝0.因?yàn)閒(x)有唯一不動點(diǎn)，所以2a－1＝0，即a＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(2x,x＋2).所以xn＋1＝eq\f(1,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn))))＝eq\f(2xn＋1,2)＝xn＋eq\f(1,2).所以x2022＝x1＋eq\f(1,2)×2022＝1000＋eq\f(2022,2)＝2022.10.解：一般性的命題為sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(3,2).證明如下：左邊＝eq\f(1－cos(2α－120°),2)＋eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos(2α＋120°),2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)]＝eq\f(3,2)＝右邊．∴結(jié)論正確．【拓展提高參考答案】解：(1)證明：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1－x，－1－y)．由已知得y＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))，則－1－y＝－1＋eq\f(\r(a),ax＋\r(a))＝－eq\f(ax,ax＋\r