高考數(shù)學模擬題中的創(chuàng)新題解法賞析

高考數(shù)學模擬題中的創(chuàng)新題解法賞析汪亞運深圳市坪山高級中學近些年來高考數(shù)學中創(chuàng)新題精彩紛呈，所謂創(chuàng)新題是指在高中教材中不曾出現(xiàn)過的概念、定義，這類題型雖然表面看上去新穎別致，但是只要把表面那層面紗揭開，就會發(fā)現(xiàn)仍舊是用我們以前所學的知識遷移來解決。創(chuàng)新題因為能夠很好地考查學生的數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力，所以越來越受高考命題人的關(guān)注和重視，下面以2020年部分地區(qū)的模擬題為例來解讀創(chuàng)新題，希望對大家有所啟迪。一、科赫曲線（山東省2020年高考模擬）科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到。任意畫一條線段，然后把它分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把中間一段去掉,這樣，原來的一條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”,用同樣的方法把每條小線段重復上述步驟得到16條更小的線段構(gòu)成的折線稱為“二次構(gòu)造”,…,如此進行“次構(gòu)造”,就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度達到初始線段的1000倍，則至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是()(,)A.16 B.17 C.24 D.25解析：記初始長度為,則一次構(gòu)造后的折線長度是,二次構(gòu)造后的折線長度是,次構(gòu)造后的折線長度是,要使得到的折線長度達到原來的1000倍,應滿足,兩邊同時取對數(shù)得到，整理可得，把,代入得.所以至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是25次.故答案是D.點評：此題的背景是構(gòu)造科赫曲線，同學們要能從復雜的背景中抽象出數(shù)學模型，列出不等式，再通過對數(shù)運算與估算得到答案。主要考查同學們抽象概括能力和數(shù)學運算素養(yǎng)。二、鋸齒形數(shù)列（長沙一中2020年高三月考）如圖2,在楊輝三角中,斜線的上方從按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個“鋸齒形數(shù)列”,,則這個數(shù)列的第項是（）A.B.C.D.解析：方法1：“鋸齒形數(shù)列”,,其奇數(shù)項是,設(shè)奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列,因為,,,,通過累加法可得.“鋸齒形數(shù)列”的第19項為數(shù)列的第10項,.故選A.方法2：楊輝三角的每行數(shù)可以看成是二項式的二項式系數(shù),如第二行的,即為;第三行的,即為.此數(shù)列的第19項是楊輝三角的第12行的倒數(shù)第3個數(shù),.故選A.點評：“鋸齒形數(shù)列”不是我們常見的數(shù)列，同學們不能使用之前所學的求通項的公式，這就需要同學們仔細觀察所給的數(shù)列項之間關(guān)系。方法1中通過觀察所給數(shù)列發(fā)現(xiàn)奇數(shù)項是滿足這一遞推關(guān)系，再由累加法可以求出的通項公式即可解決問題?？疾榱送瑢W們的邏輯推理和數(shù)學運算的能力。方法2利用了楊輝三角與二項式的二項式系數(shù)之間關(guān)系來求解的。高斯函數(shù)（眉山市2020年第二次診斷）高斯是德國著名的數(shù)學家,近代數(shù)學奠基者之一,享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè),用表示不超過的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù).例如：,,已知函數(shù),則函數(shù)的值域為（）B.C.D.解析：已知,,令,,則,函數(shù)的圖象如圖3所示,對稱軸方程為,所以,,所以,即，由高斯函數(shù)定義可得,所以的值域為,故選B.點評：本題借“高斯函數(shù)”的外形，不僅考查了函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識，還考查了換元思想、數(shù)形結(jié)合思想。同時還需要理解的含義，可以這樣理解：若，，則。四、叉乘運算（濟南2020年高三模擬）給定兩個不共線的空間向量a與b,定義叉乘運算:ab.規(guī)定:①ab為同時與a,b垂直的向量;②a,b,ab三個向量構(gòu)成右手系（如圖4）;③|ab||a||b|<a,b>,如圖5,在長方體中,,,則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.長方體的體積解析：A:由題意可知,,根據(jù)題意可得，所以,故A是正確的.B:根據(jù)題意由右手系可知,,所以,故B是錯誤的.C:因為,,則;根據(jù)定義可知,,則,所以.故C是正確的。由題意可知,又長方體的體積,故D正確.綜上,此題答案是ACD.點評：新定義問題的求解，關(guān)鍵是準確理解新定義，此題關(guān)鍵是理解叉乘的定義和運算。在高中的學習中，同學們學習了向量的概念，了解了其性質(zhì)、線性運算、坐標表示、數(shù)量積以及在實際問題中的運用等，在此基礎(chǔ)引入叉乘運算是有充足的知識儲備的，A,B,C,D四個選項由新定義逐一核對即可得