高考真題分類解析-橢圓

橢圓080623

一、考題選析：

22

例1、（08上海春）已知橢圓‘一+二一=1,長軸在y軸上.若焦距為4,則機等于

10-mm-2

（）

A、4B、5C、7D、8

例2、（07山東21）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距

離的最大值為3,最小值為1.

（I）求橢圓C的標準方程；

（H）若直線/:>=丘+〃?與橢圓C相交于A,B兩點（A,B不是左、右頂點），且以A8

為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線/過定點，并求出該定點的坐標。

22

解：（I）由題意設橢圓的標準方程為T+2=1（?！地?gt;0）,

ab

由已知得：Q+C=3,a-c=l,

Q=2,C=1,

:.b2=a2-c2=3.

橢圓的標準方程為—+^=1.

43

（II）設A（xpx）,B（X2,%），

y-kx+m,

22

聯(lián)立，xv

—+^-=1.

143

得（3+4k2）x2+Smkx+4（m2-3）=0,

A=64m2^2-16（3+4k2）（m2-3）>0,即3+4"_癡>0,則

Smk

123+4公

4（蘇一3）

3（小—4二）

又）'1>2=（履1+〃?）（區(qū)2+機）=k+"永（％+》2）+〃/

3+4/

因為以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點。（2,0）,

--^=-1,

^AD^BD=-1?即

X1-2々—2

y1y2+X/2—2(玉+/)+4=0,

3(/-4A?)+4(m2-3)+16mk

+4=0,

3+4公3+止3+4/

9m2+16mk+4k2=0.

解得：

八

m、=—2k,,且均滿足3+4公一機2＞。，

一7

當叫=-2攵時，/的方程為y=k（x-2）,直線過定點（2,0）,與已知矛盾;

當?=號時，/的方程為y=（xf，直線過定點（河.

所以，直線/過定點，定點坐標為

例3、（07上海春18）如圖，在直角坐標系xOy中，設橢圓

22

C:j+==1（。＞匕＞0）的左右兩個焦點分別為

ab

片、F2,過右焦點尸2且與X軸垂直的直線/與橢圓C

相交，其中一個交點為例（血，1）.（1）求橢圓C的方

程;

（2）設橢圓C的一個頂點為8（0,-匕），直線交橢圓C于另一點N,求△KBN的面積。

⑴［解法一］Ux軸，B的坐標為（四，0）.

乙1—1（2—4

由題意可知/乒‘得'='

［＞_廬=2,廿=2.

22

所求橢圓方程為'+￡-=1.……6分

42

［解法二］山橢圓定義可知

\MFX\^\MF2\=2a.由題意也尸2]=1，\MF{\=2a-l.2

分

又由RtZkMF］尸2可知(2a-lf=(2五『+1,”>0,

/.a=2,又。2-b2=2,得b?=2.

22

「?橢圓。的方程為±+匕=1.

42

分

［解］⑵直線8入的方程為'=彳一血.

分

y=x-^2,/7

22

由ky得點N的縱坐標為一.10

—+^-=1,3

42

分

/I-、

又|尸向|=2后，S?,=-xV2+—x2V2=-.14

II4ILXAr1FDl'iV233

\7

分

22

例4、(06四川)如圖把橢圓二+上?=1的長軸AB分成8分，

2516

過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于耳，鳥,……P］

七個點，尸是橢圓的一個焦點，則

M+M+……+舊曰=-

例5、(05全國HI)設橢圓的兩個焦點分別為耳、居，過々作

則橢圓的離心率為()

橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若AFIPF2為等腰直角三角形,

也

A、C、2-V2D、V2-1

22

例6、(05上海19)如圖，點A、8分別是橢圓工+匕=1長

3620

軸的左、右端點，點尸是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且

位于x軸上方，PA1PF.(1)求點尸的坐標；(2)設M是

橢圓長軸A8上的一點，M到直線AP的距離等于求

橢圓上的點到點用的距離4的最小值.

［解］(1)由已知可得點A(-6,0),F(4,0)

設點P的坐標是(x,y),則AP={x+6,y},FP={x—4,田，由已知得

。匯=13

<3620貝lj2x?+9x—18=0,x=—或x=—6.

,2

(x+6)(%-4)+y=0

由于y>0,只能x=』,于是y=*6,.??點尸的坐標是(3,*Ji).

-2-222

(2)直線AP的方程是x-J5y+6=0.

設點M的坐標是(m,0),則M到直線AP的距離是也自，

2

于是“'+61=|機_61,又-64用46,解得m=2,

2

橢圓上的點(x,y)到點M的距離d有

549

d-=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20--x2=-(x--)2+15,

992

g,—

由于一64x46,「.當x='時,d取得最小值而.

2

22

例7、(05湖南19)已知橢圓C：三+二=1(a>b>0)的左.右焦點為片，F(xiàn)2,離

ab~

心率為e.直線/:y=ex+。與九軸.y軸分別交于點A,B,例是直線/與橢圓C的一個

2

公共點，尸是點"關于直線/的對稱點，設布=/1(I)證明：2=l-e;(II)

確定力的值，使得APKF2是等腰三角形。

(I)證法一：因為A、B分別是直線/：y=ex+a與x軸I、y軸的交點，所以A、B的坐

y=ex+〃，X=-c,______

標分別是(—@,0),(0,〃)由x2y2[得"2這里C="率7.

e~+V2=^y=—

[abc

所以點M的坐標是(—c,—).由AM=44步導(―cH—,—)=A(—,〃).

aeae

a.a

----c=A—

即匕°解得;1=1-i

b2,

—=Aa

、a

證法二：因為A、B分別是直線/：y=ex+a與r軸、y軸的交點，所以A、B的坐標

分別是(--,0),(0,?).設M的坐標是

.3aa

(%,%),由AM=4A3得(%+—,y)=2(—,a),

e0e

所以《°J)因為點M在橢圓上，所以—+-^-y=1,

■,ab~

[-U-D]2⑶)2

(If22?

即與所以

F—+UL9

e

e4-2(1-A)e2+(l-A)2=0,解得e?=l—之即；1=1—e?.

(H)解法-：因為PF|JJ,所以/PFF2=90°+/BAR為鈍角，要使△PFF2為等腰三

角形，必有IPFglFFzl，即glPFJ=c.

、nL-kt.1,__..I€(—C)+0+〃IICl—CCI

設點Fl到l的距離為d,由不2IPF|=d=----7,177——=]=c,

1-e217

得吃工所以e2=一，于是％=l-e2=—

J1+/33

2

即當/I=—時,△PFF為等腰三角形.

312

解法二：因為PPL/,所以NPFF2=90°+NBAR為鈍角，要使△PRF?為等腰三角形,

必有IPFglFRI,

設點p的坐標是（xo，y。），

為一。一1e2-3

xo=~^7c,

x+cee+1

則40解得

2

%+0xQ-c2(l-e)a

----=e-----+a.3FT

22

2

由IPFRFiF,得+e2+[2（1二加了=4c,

e+1e+1

兩邊同時除以4A化簡得（/「）一=/.從而e2=L

e2+l3

77

于是41=1—e?=—.即當;1=一忖，△PFF2為等腰三角形。

33

二、考題精練：

（-）選擇題：

尤2

1、（06全國H）已知△ABC的頂點在橢圓一+丁=1上，頂點A是橢圓的一個焦

3

點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是（）

A、2小B、6C、4小D、12

2222

2、（06遼寧）曲線一一+—匚=1（m<6）與曲線三一+上一=1（5<〃<9）的

10-m6-m5-n9-n

A、焦距相等B、離心率相等C、焦點相同D、準線相同

22

YV1

、（05廣東）彳苦1隹/卡占h在ILAY-燦fill_LF.n聃'JT糊nJ劇|2A|-十-4-2―—一1n的J陜兩;*『Lt、'本T-Z為V—,則帆=（

2m2

3八82

A、百B、一C、一D、一

233

（二）填空題:

4、（07福建）已知正方形ABC7）,則以48為焦點，且過C,。兩點的橢圓的離心率為

5、（07江蘇）在平面直角坐標系，中，已知的頂點A（-4,0）和C（4,0）,頂點B

x2y2,,?.sinA+sinC

在橢圓——+==1上，則------------

259sinB

6、（06上海）已知橢圓中心在原點，一個焦點為尸（-26，0）,且長軸長是短軸長的2倍,

則該橢圓的標準方程是o

（三）解答題：

7、（07陜西21）已知橢圓C:[+，=im>8>0）的離心率為彳，短軸一個端點到右焦點

的距離為百.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設直線/與橢圓C交于A,8兩點，坐標原點。到直線/的距離為更，求AAOB面

2

積的最大值。

解：（I）設橢圓的半焦距為C,依題意=W

a=A/3,

2

.?7=1,.?.所求橢圓方程為土+/=i.

3

（II）設A?，X），B（》2，y2）.

（1）當軸時，=

（2）當AB與x軸不垂直時,

設直線A6的方程為y=Ax+加.

\tn3

由已知I-?"*~,得機2=-(fe2+l).

ViTF24

把y=攵無+小代入橢圓方程，整理得(3%2+l)x2+6kmx+3m2-3=0,

-6km3(療-1)

..?…=素寸砧=亞了

36k2tn212(〃/—1)

=(1+左2)(々_為)2=(1+/)

(3F+173必+1

12(公+1)(3Y+1-M2)_3(%2+1)(9抬+1)

(3/+1)2―—(3/+1)2

=3-1；----z—=3H------------(女70)W3d--------=4.

9G+6/+1,2^J2x3+6

0yK1z,rAO

k2

I反

當且僅當9公=不，即k=±4時等號成立.當人=0時，kM=百,

k3

綜上所述|45|=2.

IImax

.?.當|AB|最大時，△AOB面積取最大值S=’x|AB|X@=@

II2*11max22

22

8、(06江西21)如圖，橢圓。：2+二=1(。>6>0)的右焦點

ab~

F(c,0),過點尸的一動直線〃2繞點E轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A,B兩點,

P是線段48的中點

(1)求點P的軌跡”的方程;

(2)在。的方程中，令i?=i+cos(9+sin(9,

/=sin6(0<e<^),確定夕的值，使原點距橢圓的右準

2

線/最遠，此時，設/與x軸交點為。，當直線機繞點產(chǎn)轉(zhuǎn)動

到什么位置時，三角形ABD的面積最大？

X2y2

解：如圖，(1)設橢圓Q：—+^=1(a>b>0)

a~b-

上的點A(xPyi)>B(x2,y2)，又設P點坐標為P(x,y),則

Jb2x^+a2y2=a2b2........(1)

[b2Xj+a2y2=a2b2........(2)

1。當AB不垂直x軸時,Xi%,

由(1)-(2)得

b2(X|—X2)2x+a2(yj—y2)2y—0

.%—丫2_4y

-2

Xj-x2ayx-c

/.b2x2+a2y2—b2cx=0.......(3)

2。當AB垂直于x軸時，點P即為點F,滿足方程(3)

故所求點P的軌跡方程為：b2x2+a2y2-b2cx=O

(2)因為，橢圓Q右準線/方程是乂=一,原點距/

c

a2

的距離為一，由于c?=a2—b?,a2=l+cos0+sin0,—

c

b2=sin0(0<0<—)

2

,a2l+cosO+sin。、冗、

貝n|」一=——/—=2sin(-+—)

cJl+cos824

當。=一時,上式達到最大值。此時a?=2,b2=l,c=l,D(2,0),IDFI=1

2

2

設橢圓Q：、+y2=l上的點A(xPyi)、B(X2，y2)>三角形ABD的面積

S=；lyil+gly2l=gIyi-y2l

y

設直線m的方程為*=1<丫+1,代入萬+y2=l中，得(2+k?)y2+2ky-l=0

2k1

由韋達定理得yi+y2=-5*'y^=—5壽

心2,、2/,、2,8(k2+l)

4S-=(yi-y2)=(yi+y2)-4yiy2=^pq^y-

OfQQ

令t=k2+121,得4s2=,=—:—<-=2,當t=l,k=0時取等號。

(t+1)2t+i+24

t

因此，當直線m繞點F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大。

9、(04全國HI21)設橢圓——+丁=1的兩個焦點是工(—。,0),K(c,0)(c>0),且橢圓

機+1

上存在點P,使得直線P