人教數(shù)學(xué)A版-3《計數(shù)原理》課時作業(yè)

第1章《計數(shù)原理》(考試時間90分鐘，滿分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．一次考試中，要求考生從試卷上的9個題目中選6個進(jìn)行答題，要求至少包含前5個題目中的3個，則考生答題的不同選法的種數(shù)()A．40 B．74C．84 D．200解析：分三類：第一類，前5個題目的3個，后4個題目的3個，第二類，前5個題目的4個，后4個題目的2個，第三類，前5個題目的5個，后4個題目的1個，由分類加法計數(shù)原理得C53C43＋C54C42＋C55C41＝74.答案：B2．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有()A．3項 B．4項C．5項 D．6項解析：Tr＋1＝C24req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))24－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))r＝C24rx12－eq\f(5,6)r，所求x的冪指數(shù)是整數(shù)的項必須滿足eq\f(5,6)r為整數(shù)且0≤r≤24，故r＝0,6,12,18,24，所求項共有5項．答案：C3．某次文藝匯演，要將A、B、C、D、E、F這六個不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如下表：序號123456節(jié)目如果A、B兩個節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號位置，那么節(jié)目單上不同的排序方式有()A．144種 B．192種C．96種 D．72種解析：第一步，將C、D、E、F全排，共有A44種排法，產(chǎn)生5個空，第二步，將A、B捆綁有2種方法，第三步，將A、B插入除2號空位和3號空位之外的空位，有C31種，所以一共有144種方法．答案：A4．若(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為()A．2 B．－1C．0 D．1解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋eq\r(3))4×(－2＋eq\r(3))4＝1.答案：D5．用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A、B、C、D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同涂法有()ABCD種 B．48種C．24種 D．12種解析：涂A共4種涂法，則B有3種涂法，C有2種涂法，D有3種涂法．∴共有4×3×2×3＝72種涂法．答案：A6．有兩排座位，前排11個座位，后排10個座位．現(xiàn)安排2人就坐，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是()A．234 B．276C．350 D．363解析：采用間接法：因為前排中間的3個座位不能坐，所以共有A182＝306種不同的坐法，其中2人左右相鄰的坐法有15×A22＝30種不同的坐法．∴不同排法的種數(shù)是306－30＝276種．答案：B7．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝()A．6 B．7C．8 D．9解析：注意到二項式(1＋3x)n的展開式的通項是Tr＋1＝Cnr1n－r·(3x)r＝Cnr·3r·xr，于是依題意有Cn5·35＝Cn6·36，即eq\f(nn－1n－2n－3n－4,5！)＝3×eq\f(nn－1n－2n－3n－4n－5,6！)(n≥6)，由此解得n＝7.答案：B8．在(1＋x)n的展開式中，奇數(shù)項之和為p，偶數(shù)項之和為q，則(1－x2)n等于()A．0B．pqC．p2－q2D．p2＋q2解析：由于(1＋x)n與(1－x)n展開式中奇數(shù)項相同，偶數(shù)項互為相反數(shù)，因此(1－x)n＝p－q，所以(1－x2)n＝(1－x)n(1＋x)n＝(p＋q)(p－q)＝p2－q2.答案：C9．直線l1∥l2，l1上有4個點(diǎn)，l2上有6個點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)連成線段，他們在l1與l2之間最多的交點(diǎn)個數(shù)是()A．24 B．45C．80 D．90解析：因為在直線l1和l2上分別取2個點(diǎn)構(gòu)成四邊形的個數(shù)為C42C62＝90，又因為每一個四邊形的對角線有1個交點(diǎn)，故交點(diǎn)的個數(shù)最多為90個．答案：D10．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))n展開式中含eq\f(1,x2)項的系數(shù)與含eq\f(1,x4)項的系數(shù)之比為－5，則n等于()A．4 B．6C．8 D．10解析：展開式通項為Tk＋1＝Cnk(2x)n－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝(－1)k2n－kCnk·xn－2k.選項A中若n＝4，k＝4，則Tk＋1＝(－1)k·24－kC4kx4－2k，當(dāng)4－2k＝－2時，k＝3，當(dāng)4－2k＝－4時，k＝4，則T4＝(－1)3·24－3C43x－2＝－8x－2，T5＝(－1)420C44x－4＝x－4，此時系數(shù)比不是－5.選項B中若n＝6，則Tk＋1＝(－1)k26－kC6kx6－2k，當(dāng)6－2k＝－2時，k＝4，當(dāng)6－2k＝－4時，k＝5，則T5＝(－1)4·22C64x－2＝60x－2，T6＝(－1)521C65x－4＝－12x－4，此時系數(shù)比為－5，所以B正確，同理可以驗證C、D選項不正確．答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)11．設(shè)二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))6(a＞0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B，若B＝4A，則a的值是________．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))6展開式的通項為Tr＋1＝C6rx6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,\r(x))))r＝(－a)rC6rx6－eq\f(3r,2)當(dāng)r＝2時，x3的系數(shù)A＝(－a)2C62＝15a2，當(dāng)r＝4時，常數(shù)項B＝(－a)4C64＝15a4，∵B＝4A，得15a4＝4×15a2，∵a＞0，得a＝2.答案：212．在由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有________個．解析：所有由0,1,2,3,4,5組成的4位數(shù)，共有A51·A53＝300個，末尾為0的有A53＝60個，末尾為5的有A41·A42＝48(個)．故滿足題意的數(shù)共有300－60－48＝192(個)．答案：19213．如圖是由12個小正方形組成的3×4矩形網(wǎng)格，一質(zhì)點(diǎn)沿網(wǎng)格線從點(diǎn)A到點(diǎn)B的不同路徑之中，最短路徑有________條．解析：把質(zhì)點(diǎn)沿網(wǎng)格線從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑分為七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的區(qū)別在于哪三步向下，因此，本題的結(jié)論是：C73＝35.答案：3514．(x＋1)3＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8則a6＝________.解析：∵(x＋1)3＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]3＋[(x－1)－1]8∴a6(x－1)6＝C82(x－1)6(－1)2＝28(x－1)6∴a6＝28.答案：28三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)某班有男生28名、女生20名，從該班選出學(xué)生代表參加校學(xué)代會．(1)若學(xué)校分配給該班1名代表，則有多少種不同的選法？(2)若學(xué)校分配給該班2名代表，且男、女生代表各1名，則有多少種不同的選法？解析：(1)選出1名代表，可以選男生，也可以選女生，因此完成“選1名代表”這件事分2類：第1類，從男生中選出1名代表，有28種不同方法；第2類，從女生中選出1名代表，有20種不同方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有28＋20＝48種不同的選法．(2)完成“選出男、女生代表各1名”這件事，可以分2步完成：第1步，選1名男生代表，有28種不同方法；第2步，選1名女生代表，有20種不同方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有28×20＝560種不同的選法．16．(本小題滿分12分)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,3x2)))n的第5項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比是14∶3，求展開式中的常數(shù)項．解析：由題意有Cn4∶Cn2＝14∶3，解得n＝10(n＝－5舍去)Tr＋1＝C10r(eq\r(x))10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3x2)))r＝C10rxeq\f(10－r,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))rx－2r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))rC10rxeq\f(10－r,2)－2r，令eq\f(10－r,2)－2r＝0，∴r＝2.∴常數(shù)項為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2C102＝5.17．(本小題滿分12分)有6本不同的書，分給甲、乙、丙三個人．(1)如果每人得兩本，有多少種不同的分法？(2)如果一個人得1本，一個人得2本，一個人得3本，有多少種不同的分法？(3)如果把這6本書分成三堆，每堆兩本有多少種不同分法？解析：(1)假設(shè)甲先拿，則甲從6本不同的書中選取2本有C62＝15種方法，不論甲取走的是哪兩本書，乙再去取書時只能有C42＝6種，此時剩下的兩本書自然給丙，就只有C22＝1種方法，由分步乘法計數(shù)原理得一共有C62·C42·C22＝90種不同分法．(2)先假設(shè)甲得1本，乙得2本，丙得3本，則有C61C52C33種方法，一共有C61C52C33A33＝6×10×6＝360種不同分法．(3)把6本書分成三堆，每堆2本，與次序無關(guān)．所以一共有eq\f(C62C42C22,A33)＝15種不同分法．18．(本小題滿分14分)若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a2；(2)求a1＋a2＋…＋a10；(3)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.解析：(1)方法一：(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，(x－1)5展開式的通項公式為C5r·(－1)r·x5－r(0≤r≤5)；(x－2)5展開式的通項公式為C5s·(－2)s·x5－s(0≤s≤5)，所以(x2－3x＋2)5展開式的通項公式為C5r·C5s·(－1)r＋s·2s·x10－r－s，令r＋s＝8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3,s＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝4,s＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝5,s＝3)).所以展開式中x2的系數(shù)為C53C5525＋C54C5424＋C55C5323＝800，即a2＝800.方法二：(x2－3x＋2)5的本質(zhì)是5個x2－3x＋2相乘，由多項式的乘法法則，產(chǎn)生含x2的項有兩種可能：①5個x2－3x＋2中有一個取含x2的項，其他的取常數(shù)項，得到的系數(shù)是C51·24＝80；②5個x2－3x＋2中有