湖南省長沙市岳麓區(qū)湖南師大附中2023屆高考沖刺數(shù)學模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象關于直線對稱,則函數(shù)在上的值域是()A. B. C. D.2.設函數(shù)的導函數(shù),且滿足,若在中,,則()A. B. C. D.3.已知集合,集合,則()A. B. C. D.4.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.135.已知非零向量,滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解:6.已知等差數(shù)列的公差不為零,且,,構成新的等差數(shù)列,為的前項和,若存在使得,則()A.10 B.11 C.12 D.137.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點,若線段中點的橫坐標為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.8.正方體,是棱的中點,在任意兩個中點的連線中,與平面平行的直線有幾條()A.36 B.21 C.12 D.69.體育教師指導4個學生訓練轉身動作,預備時,4個學生全部面朝正南方向站成一排.訓練時,每次都讓3個學生“向后轉”,若4個學生全部轉到面朝正北方向,則至少需要“向后轉”的次數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.610.函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))的大致圖像為()A. B. C. D.11.函數(shù)的圖象為C,以下結論中正確的是()①圖象C關于直線對稱;②圖象C關于點對稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③12.記為等差數(shù)列的前項和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-13二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從集合中隨機取一個元素,記為,從集合中隨機取一個元素,記為,則的概率為_______.14.平面向量與的夾角為,,,則__________.15.在中,,點是邊的中點,則__________,________.16.在數(shù)列中,,則數(shù)列的通項公式_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在四棱椎中,四邊形為菱形,,,,,,分別為,中點..(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18.(12分)已知橢圓的短軸長為,離心率,其右焦點為.(1)求橢圓的方程;(2)過作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和,求的取值范圍.19.(12分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系;曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線C1和C2的極坐標方程:(Ⅱ)設射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A,B兩點,求|AB|的值.20.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線的極坐標方程;(2)在曲線上取一點,直線繞原點逆時針旋轉,交曲線于點,求的最大值.21.(12分)在平面直角坐標系中,,,且滿足(1)求點的軌跡的方程;(2)過,作直線交軌跡于,兩點,若的面積是面積的2倍,求直線的方程.22.(10分)已知橢圓:的四個頂點圍成的四邊形的面積為,原點到直線的距離為.(1)求橢圓的方程;(2)已知定點,是否存在過的直線,使與橢圓交于,兩點,且以為直徑的圓過橢圓的左頂點?若存在,求出的方程:若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對稱性,余弦函數(shù)的值域,求得結果.【詳解】解:把函數(shù)圖象向右平移個單位長度后,可得的圖象;再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關于直線對稱,,,,函數(shù).在上,,,故,即的值域是,故選:D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對稱性,余弦函數(shù)的值域,屬于中檔題.2、D【解析】

根據(jù)的結構形式,設,求導,則,在上是增函數(shù),再根據(jù)在中,,得到,,利用余弦函數(shù)的單調性,得到,再利用的單調性求解.【詳解】設,所以,因為當時,,即,所以,在上是增函數(shù),在中,因為,所以,,因為,且,所以,即,所以,即故選:D【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調性,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.3、C【解析】

求出集合的等價條件,利用交集的定義進行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎題.4、D【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點睛】本題考查了二項式定理的應用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學運算能力.5、C【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運算,由向量的關系,可得選項.【詳解】,,∴等價于,故選:C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算和命題的充分、必要條件,屬于基礎題.6、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式可得,再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由,,構成等差數(shù)列可得即又解得:又所以時,.故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎題.7、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設拋物線的焦點為F,設點,由拋物線的定義可知,線段AB中點的橫坐標為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.【點睛】本題考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質的應用,利用拋物線的定義是解題的關鍵.8、B【解析】

先找到與平面平行的平面,利用面面平行的定義即可得到.【詳解】考慮與平面平行的平面,平面,平面,共有,故選:B.【點睛】本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義,涉及到了簡單的組合問題,是一中檔題.9、B【解析】

通過列舉法,列舉出同學的朝向,然后即可求出需要向后轉的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示,利用列舉法,可得下表,原始狀態(tài)第1次“向后轉”第2次“向后轉”第3次“向后轉”第4次“向后轉”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選:B.【點睛】本題考查的是求最小推理次數(shù),一般這類題型構造較為巧妙,可通過列舉的方法直觀感受,屬于基礎題.10、D【解析】由題意得,函數(shù)點定義域為且,所以定義域關于原點對稱,且,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關于原點對稱,故選D.11、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識,判斷出正確的結論.【詳解】因為,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個單位長度,得,所以③錯誤.所以①②正確,③錯誤.故選:B【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎題.12、B【解析】

由題得,,解得,,計算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,前項和公式,考查了學生運算求解能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先求出隨機抽取a,b的所有事件數(shù),再求出滿足的事件數(shù),根據(jù)古典概型公式求出結果.【詳解】解:從集合中隨機取一個元素,記為,從集合中隨機取一個元素,記為,則的事件數(shù)為9個,即為,,,其中滿足的有,,,共有8個,故的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的計算,解題的關鍵是準確列舉出所有事件數(shù).14、【解析】

由平面向量模的計算公式,直接計算即可.【詳解】因為平面向量與的夾角為,所以,所以;故答案為【點睛】本題主要考查平面向量模的計算,只需先求出向量的數(shù)量積,進而即可求出結果,屬于基礎題型.15、2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出,利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中,,,可得因為點是邊的中點,所以故答案為:;.【點睛】本題主要考查了三角形的解法,向量的數(shù)量積的應用,考查計算能力,屬于中檔題.16、【解析】

由題意可得,又,數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1,公差為2的等差數(shù)列,對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,分別求出,從而得到數(shù)列的通項公式.【詳解】解:∵,∴①,②,①﹣②得:,又∵,∴數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1,公差為2的等差數(shù)列,∴當為奇數(shù)時,,當為偶數(shù)時,則為奇數(shù),∴,∴數(shù)列的通項公式,故答案為:.【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式,解題關鍵是由已知遞推關系得出,從而確定數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列,求出通項公式后再由已知求出偶數(shù)項,要注意結果是分段函數(shù)形式.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)證明,得到平面,得到證明.(2)以點為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,計算夾角得到答案.【詳解】(1)因為四邊形是菱形,且,所以是等邊三角形,又因為是的中點,所以,又因為,,所以,又,,,所以,又,,所以平面,所以,又因為是菱形,,所以,又,所以平面,所以.(2)由題意結合菱形的性質易知,,,以點為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,,設平面的一個法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個法向量為,設平面的一個法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個法向量為,,平面與平面所成銳二面角的余弦值.【點睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.18、(1);(2).【解析】

(1)由已知短軸長求出,離心率求出關系,結合,即可求解;(2)當直線的斜率都存在時,不妨設直線的方程為,直線與橢圓方程聯(lián)立,利用相交弦長公式求出,斜率為,求出,得到關于的表達式,根據(jù)表達式的特點用“”判別式法求出范圍,當有一斜率不存在時,另一條斜率為,根據(jù)弦長公式,求出,即可求出結論.【詳解】(1)由得,又由得,則,故橢圓的方程為.(2)由(1)知,①當直線的斜率都存在時,由對稱性不妨設直線的方程為,由,,設,則,則,由橢圓對稱性可設直線的斜率為,則,.令,則,當時,,當時,由得,所以,即,且.②當直線的斜率其中一條不存在時,根據(jù)對稱性不妨設設直線的方程為,斜率不存在,則,,此時.若設的方程為,斜率不存在,則,綜上可知的取值范圍是.【點睛】本題考查橢圓標準方程、直線與橢圓的位置關系,注意根與系數(shù)關系、弦長公式、函數(shù)最值、橢圓性質的合理應用,意在考查邏輯推理、計算求解能力,屬于難題.19、(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù),可得曲線C1的極坐標方程,然后先計算曲線C2的普通方程,最后根據(jù)極坐標與直角坐標的轉化公式,可得結果.(Ⅱ)將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標方程聯(lián)立,可得A,B的極坐標,然后簡單計算,可得結果.【詳解】(Ⅰ)由所以曲線的極坐標方程為,曲線的普通方程為則曲線的極坐標方程為(Ⅱ)令,則,,則,即,所以,,故.【點睛】本題考查極坐標方程和參數(shù)方程與直角坐標方程的轉化,以及極坐標方程中的幾何意義,屬基礎題.20、(1)(2)最大值為【解析】

(1)利用消去參數(shù),求得曲線的普通方程,再轉化為極坐標方程.(2)設出兩點的坐標,求得的表達式,并利用三角恒等變換進行化簡,再結合三角函數(shù)最值的求法,求得的最大值.【詳解】(1)由消去得曲線的普通方程為.所以的極坐標方程為,即.(2)不妨設,,,,,則當時,取得最大值,最大值為.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,普通方程化為極坐標方程,考查極坐標系下線段長度的乘積的最值的求法,考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)最值的求法,屬于中檔題.21、(1).(2)的方程為.【解析】

(1)令,則,由此能求出點C的軌跡方程.(2)令,令直線,聯(lián)立,得,由此利用根的判別式,韋達定理,三角形面積公式,結合已知條件能求出直線的方程?!驹斀狻拷猓海?)因為,即直線的斜率分別為且,設點,則,整理得.(2)令,易知直線不與軸重合,令直線,與聯(lián)立得,所以有,由,故,即,從而,解得,即。所以直線的方程為?!军c睛】本題考查橢圓方程、直線方程的求法,考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關系,考查運算求解能力,考查化歸與轉化思想,是中檔題。22、(1);(2)存在,且方程為或.【解析】

(1)依題意列出關于a,b,c的方程組,求得a,b,進而可得到橢圓方程;(2)聯(lián)立直線和橢圓得到,要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點,則,結合韋達定理可得到參數(shù)值.【詳解】(1)直線的一般方程為.依題意,解得,故橢圓的方程式為.(2)假若存在這樣的直線,當斜率不存在時,以為直徑的圓顯然不經過

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