2020秋高中數(shù)學(xué)人教版2-1學(xué)案：1.1.2四種命題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020秋高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1學(xué)案：1.1.2四種命題含解析1。1。2四種命題自主預(yù)習·探新知情景引入阿凡提之《金幣與毛驢的故事》中，有一天，財主想要阿凡提的毛驢但又不想給金幣，就對阿凡提說:“你給我毛驢，我就給你金幣”．阿凡提回答到：“你給我金幣，我就給你毛驢”．狡猾的財主說：“你不給我毛驢，我就不給你金幣”，阿凡提想了想說：“你不給我金幣，我就不給你毛驢"．想想故事的結(jié)局如何呢？新知導(dǎo)學(xué)1．互逆命題一般地,對于兩個命題,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的__結(jié)論__和__條件__，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題,其中一個命題叫做__原命題__，另一個命題叫做原命題的__逆命題__.若原命題是“若p，則q”，則其逆命題為“__若q,則p__"．2．互否命題對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的__條件的否定__和__結(jié)論的否定__。我們把這樣的兩個命題叫做互否命題，如果把其中一個命題叫做原命題,那么另一個命題叫做原命題的__否命題__。若原命題為“若p,則q”，則其否命題為“__若?p，則?q__”．3．互為逆否命題對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的__結(jié)論的否定__和__條件的否定__，我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題，如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做原命題的__逆否命題__。若原命題為“若p，則q”，則其逆否命題為“__若?q，則?p__”．預(yù)習自測1．命題“兩條對角線相等的四邊形是矩形"是命題“矩形是兩條對角線相等的四邊形"的(A)A．逆命題 B．否命題C．逆否命題 D．無關(guān)命題2．已知a，b∈R，則命題“若a＋b＝1，則a2＋b2≥eq\f（1,2）”的否命題是（A）A．若a＋b≠1，則a2＋b2<eq\f(1，2）B．若a＋b＝1，則a2＋b2<eq\f（1，2）C．若a2＋b2<eq\f（1，2),則a＋b≠1D．若a2＋b2≥eq\f(1,2),則a＋b＝1［解析］命題“若a＋b＝1,則a2＋b2≥eq\f(1,2)”的逆命題是“若a＋b≠1,則a2＋b2〈eq\f（1，2)”，故選A．3．命題“若α＝eq\f（π，4）,則tanα＝1"的逆否命題是(C）A．若α≠eq\f(π，4），則tanα≠1 B．若α＝eq\f（π,4)，則tanα≠1C．若tanα≠1，則α≠eq\f（π,4） D．若tanα≠1，則α＝eq\f（π，4）［解析］本題主要考查命題的四種形式．寫逆否命題時，將原命題的題設(shè)和結(jié)論分別否定再交換．故選C．4．命題“若a>3，則a>5”的逆命題是__若a>5，則a>3__。[解析]將原命題的條件改為結(jié)論，結(jié)論改為條件，即得原命題的逆命題．5．命題“若x≥0，則x2≥0”的否命題是__若x〈0,則x2<0__.[解析]原命題的否命題既否定條件又否定結(jié)論，故命題“若x≥0，則x2≥0”的否命題是“若x〈0，則x2〈0”．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?四種命題的概念典例1寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題．（1）等底等高的兩個三角形是全等三角形；(2)當x＝2時，x2＋x－6＝0；（3)若a〉b,則ac2〉bc2.[思路分析]本題中第(1）（2)小題不是“若p，則q"的形式，首先應(yīng)化為這種形式，再寫其他命題,第(3)小題具備“若p,則q”的形式,可直接寫其他三種命題．[規(guī)范解答]（1）原命題：若兩個三角形等底等高，則這兩個三角形全等；逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高;否命題：若兩個三角形不等底或不等高,則這兩個三角形不全等；逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高．（2)原命題：若x＝2，則x2＋x－6＝0；逆命題：若x2＋x－6＝0,則x＝2；否命題：若x≠2，則x2＋x－6≠0；逆否命題:若x2＋x－6≠0,則x≠2。(3）原命題：若a〉b,則ac2〉bc2；逆命題:若ac2>bc2，則a>b;否命題：若a≤b，則ac2≤bc2；逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b.『規(guī)律總結(jié)』寫出四種命題的方法(1)交換原命題的條件和結(jié)論,所得的命題是逆命題．(2）同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題．（3）交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題．┃┃跟蹤練習1__■寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題．(1）若x2＋y2＝0，則x、y全為0；(2）若a＋b是偶數(shù)，則a、b都是偶數(shù)．[解析］(1)逆命題:若x、y全為0,則x2＋y2＝0；否命題：若x2＋y2≠0，則x、y不全為0；逆否命題:若x、y不全為0，則x2＋y2≠0.(2）逆命題:若a、b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù);否命題：若a＋b不是偶數(shù),則a、b不都是偶數(shù)；逆否命題：若a、b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)．命題方向?四種命題真假的判斷典例2判斷下列命題的真假，寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假．(1)若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；（2）若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac〈0,則該函數(shù)圖象與x軸有交點［規(guī)范解答](1)該命題為真．逆命題：若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角互補，為真．否命題：若四邊形的對角不互補，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，為真．逆否命題：若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角不互補，為真．(2)該命題為假．逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有公共點，則b2－4ac<0，為假否命題:若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函數(shù)圖象與x軸無公共點，為假逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸無公共點，則b2－4ac≥0，為假『規(guī)律總結(jié)』判斷四種命題真假的方法(1）要正確理解四種命題間的相互關(guān)系．（2)正確利用相關(guān)知識進行判斷推理．（3)若由“p經(jīng)邏輯推理得出q"，則命題“若p，則q”為真；確定“若p，則q"為假時，則只需舉一個反例說明．┃┃跟蹤練習2__■寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題,并判斷命題的真假．（1)若m·n<0，則方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根；(2)相等的兩個角的正弦值相等．［解析](1）逆命題:若方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根，則m·n<0，假命題．否命題：若m·n≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根，假命題．逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根，則m·n≥0，真命題．（2)逆命題：若兩個角的正弦值相等，則這兩個角相等,假命題．否命題：若兩個角不相等，則這兩個角的正弦值也不相等,假命題．逆否命題:若兩個角的正弦值不相等，則這兩個角不相等,真命題．學(xué)科核心素養(yǎng)由命題的真假求參數(shù)范圍典例3給出下列兩個命題：命題甲：關(guān)于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集為?；命題乙：函數(shù)y＝(2a2－a)x為增函數(shù)(1）甲、乙至少有一個是真命題；（2）甲、乙有且只有一個是真命題．分別求出符合(1)(2）的實數(shù)a的取值范圍．[思路分析］第（1）問可以利用集合的觀點取甲、乙成立的并集，也可以求出問題的反面后，再寫出其補集;第（2）問需要對甲、乙中哪一個為真進行分類討論．[規(guī)范解答］甲為真時，Δ＝（a－1）2－4a2即A＝｛a|a〉eq\f（1,3）或a<－1}；乙為真時,2a2－a〉1,即B＝｛a|a>1或a〈－eq\f(1，2）}．（1）甲、乙至少有一個是真命題時，解集為A，B的并集，這時實數(shù)a的取值范圍是｛a｜a〉eq\f（1，3)或a〈－eq\f(1，2）}．(2)甲、乙有且只有一個是真命題時，有兩種情況:當甲真乙假時，eq\f(1,3）<a≤1；當甲假乙真時,－1≤a<－eq\f（1,2)。所以甲、乙中有且只有一個是真命題時，實數(shù)a的取值范圍為{a｜eq\f（1,3)<a≤1或－1≤a<－eq\f(1，2)｝．┃┃跟蹤練習3__■已知命題“若m－1<x〈m＋1，則1〈x〈2"的逆命題為真命題,則m的取值范圍為__[1，2]__。［解析］逆命題為“若1〈x〈2，則m－1<x<m＋1”．∵逆命題為真命題,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m－1≤1，，m＋1≥2,)）∴1≤m≤2?！鄊的取值范圍為［1,2］．易混易錯警示典例4寫出命題“已知a、b、c、d是實數(shù)，如果a＝b,c＝d,則a＋c＝b＋d"的逆命題、否命題,并判斷它們的真假．[錯解]逆命題：如果a＋c＝b＋d，則a、b、c、d是實數(shù),且a＝b，c＝d。假命題．否命題：如果a、b、c、d不是實數(shù),a≠b，c≠d，則a＋c≠b＋d.假命題．［辨析］上述解法沒有弄清命題的條件,