江蘇省2012屆高三高考信息卷數(shù)學(三)(解析版)

2012高考數(shù)學信息卷三一、填空題1.已知sin(45)2(090)，則cos=4.105提示：依題意得45(45,45)，又cos(45)1sin2(45)72，10則coscos[45(45)]272224.21021052.已知函數(shù)f(x)x22ax,x2，若f(f1)(3a2，則a的取值范圍是（-1,3）.2x1,x2提示：由題知，f(1)213,f(f(1))f(3)326a，若f(f(1))3a2，則9+6a3a2，即a22a30，解得1a3.3.如下圖，點P是函數(shù)y2sin(x)(xR,0)圖象的最高點，M、N是圖象與x軸的交點，若PMPN0，則=.4提示：依題意得PMPN,PMPN，所以PMN是等腰直角三角形，又斜邊MN上的高為2，所以有MN=4,即該函數(shù)的最小正周期的一半為4，所以28，4.4.已知{an}是等比數(shù)列，a22,a51，則Sna1a2an(nN)的取值范圍是[4,8).4提示：由于{an}是等比數(shù)列，所以可設ana1qn1.由于a22,a51，所以4na1q2a144[11]n21，解得1.所以Sna1a2an881a1q41.q24212n由于011，所以4Sn8.225.在ABC中，D為BC中點，BA4D5,31.CABD2,則AD=2提示：在ABC和ACD中分別使用正弦定理即可.

ACDB在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，若點P是棱上一點，則知足PAPC12的點P的個數(shù)為6.提示：點P在以AC1為焦點的橢圓上，P分別在AB、AD、AA1、C1B1、C1D1、C1C上.或許，若P在AB上，設APx,有PAPC1x(1x)2(2)22,x1.2故AB上有一點P（AB的中點）知足條件.同理在AD、AA1、C1B1、C1D1、C1C上各有一點知足條件.又若點P在BB1上上，則PAPC11BP21B1P22.故BB1上不存在知足條件的點P，同理DD1上不存在知足條件的點P.7.已知A、B是橢圓x2y21(ab0)和雙曲線x2y21(a0,b0)的公共a2b2a2b2極點。P是雙曲線上的動點,M是橢圓上的動點（P、M都異于A、B），且滿足APBP(AMBM)，此中R，設直線AP、BP、AM、BM的斜率分別記為k1、k2、k3、k4,k1k25,則k3k4-5.提示：設P(m,n)、M(s,t)，m2n21，m2a2a2n2a2b2b2，MAB2222s2t21，s2a2a2t，由APBP(AMBM).abb得OPOM，即nt.k1k2nn2mn2mnb25，msmamam2a2n2a2n2b2，k3k4tt2st2stb22b2s2b25a25.m5a2sasas2a2a2t2a2.a2.2t2b二、解答題1.已知對于x的不等式x22(10.xa)xa當a2時，求此不等式的解集；(2)當a2時，求此不等式的解集.解：(1)當a2時，不等式可化為x20，所以不等式的解集為(x1)(x2)x|2x1或x2.(2)當a2時,不等式可化為x20，(x1)(xa)當2a1時，解集為x|2xa或x1;當a1時，解集為x|x2且x1;當a1時，解集為x|2x1或xa.2.已知菱形ABCD中，AB4，BAD60，將菱形ABCD沿對角線BD翻折，使點C翻折到點C1的地點，點E、F、M分別是AB、DC1、BC1的中點.C1(1)證明：BD//平面EMF.DC(2)證明：AC1BD.(3)當EFAB時，求線段AC1的長。AB解：（1）證明：FM//BD，BD//平面EMF.(2)證明：取BD中點H，連AH,1CH，在菱形ABCD中AHB,D1CH,B所D以BD平面AC1H，所以AC1BD.(3)DEAB,EFAB,AB平面DEF，ABC1E，AC1BC14.在一個六角形體育館的一角MAN內(nèi)，用長為a的圍欄設置一個運動器械儲存地區(qū)（如下圖），已知A120，B是墻角線AM上的一點，C是墻角線AN上的一點．若BC=a=20,求儲藏地區(qū)面積的最大值；(2)若AB=AC=10,在折線MBCN內(nèi)選一點D，使BDDC20，求四邊形儲藏地區(qū)DBAC的最大面積.解：(1)設ABx,ACy,x0,y0.由202x2y22xycos1202xy2xycos120，得xy202202.22cos1204sin260S1xysin12012022sin60cos60202cos602021003.224sin2604sin604tan603即四邊形DBAC面積的最大值為1003，當且僅當x=y時取到．3(2)由DBDC20，知點D在以B，C為焦點的橢圓上，1103∵SABC10253，∴要使四邊形DBAC面積最大，只要DBC22的面積最大，此時點D到BC的距離最大,即D必為橢圓短軸極點．由BC103，得短半軸長b5,SBCD面積的最大值為11035253.2所以，四邊形ACDB面積的最大值為503．已知{an}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，Sn為它的前n項和.當S1,S3,S4成等差數(shù)列時，求q的值；當Sm,Sn,Sl成等差數(shù)列時，求證：對隨意自然數(shù)k,amk,ank,alk也成等差數(shù)列.解：(1)若公比q1，則S1a,S33a,S44a.2S36aS1S45a,不知足S1,S3,S4成等差數(shù)列，q1.Sna(1qn).1qS1,S3,S4成等差數(shù)列,2S3S1S4,即2a(1q3)aa(1q4)，1q1q即2a(1q3)a(1q)a(1q4).a0,2(1q)(1qq2)(1q)(1q)(1q)(1q2).又1q0，2(1qq2)1(1q)(1q2).即q2q10，q15.2(2)若公比q1，則amkankalka，amk,ank,alk成等差數(shù)列;若公比q1，由Sm,Sn,Sl成等差數(shù)列，得2SnSmSl，即a(1qm)a(1ql)2a(1qn)，2nqml1q1q1qqq.又2ank2aqnk1，amkalkqk1(qkaqk12qn2aqnk1

aqmk1aqlk1ql)amkalk2ank，amk,ank,alk也成等差數(shù)列.25.已知雙曲線x2y1.3若一橢圓與該雙曲線共焦點，且有一交點P(2,3)，求橢圓方程.設(1)中橢圓的左、右極點分別為A、B，右焦點為F，直線l為橢圓的右準線，N為l上的一動點，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點M.若AMMN,求AMB的余弦值；設過A、F、N三點的圓與y軸交于P、Q兩點,當線段PQ的中點為(0,9)時，求這個圓的方程.解：(1)雙曲線焦點為(2,0)，設橢圓方程為x2y21.a2b2a2b24,a216,b212.則491.a2b2故橢圓方程為x2y21.1612(2)由已知，A(4,0),B(4,0),F(2,0),直線l的方程為x8.設N(8,t)(t0).AMMN,M(4,t).2由點M在橢圓上，得t6.故所求的點M的坐標為M(4,3).所以MA(6,3),MB(2,3),MAMB1293.cosAMBMAMB34965.MAMB36965(3)設圓的方程為x2y2DxEyF0,將A、F、N三點坐標代入，得164DF0,D2,7242DF0,得Et,64t28DEtF0,F8.t圓的方程為x2y22x(t72)y80,令x0,得y2(t72)y80.ttt72(t72)232設P(0,y1),Q(0,y2)，則y1,2tt.2由線段PQ的中點為(0,9)，得y1y272.18,t18t此時，所求圓的方程為x2y22x18y80.6．定義在D上的函數(shù)f(x)，假如知足：對隨意xD，存在常數(shù)M0，都有f(x)M建立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，此中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)1xax2.(1)當a1時，求函數(shù)f(x)在-，0上的值域，判斷函數(shù)f(x)在-，0上是否為有界函數(shù)，并說明原因；若函數(shù)f(x)在x1,4上是以3為上界的有界函數(shù)，務實數(shù)a的取值范圍.解：(1)a1時，f(x)1xx2(x1)25,24f(x)在x(,0)上單一遞加，f(x)(01)251,24故函數(shù)f(x)在-，0上的值域為(,1).又f(x)1,f(x)[0,),不存在常數(shù)M0，使f(x)M都建立.故函數(shù)f(x)在-，0上不是有界函數(shù).若函數(shù)f(x)在1,4上是以3為上界的有界函數(shù),則f(x)3在1,4上恒建立.即3f(x)3,31xax23,4xa2x.x2x2即41a21在x1,4上恒建立.x2xx2x(41)maxa(21)min.x2xx2x令1t,則t1,1，x4(4t2t)maxa(2t2t)min,t1,1.4令gt)t2t，則g(t)4(t1)211(48165,.2令ht)t2t，則h(t)2(t1211.848實數(shù)a的取值范圍為1,1.28三、理科附帶題1.如圖，A,B兩點間有5條線，它們在單位時間內(nèi)能經(jīng)過的信息量挨次為2,3,4,3,2.現(xiàn)從中任取3條線且記在單位時間內(nèi)經(jīng)過的信息總量為.寫出信息總量的散布列.求信息總量的數(shù)學希望.解：(1)由題意得,的可能取值為7,8,9,10.(C21C221(8)C21C22C22C1137)C53,C53,510(C21C21C112(C22C111,9)C53,10)105C53的散布列為：789101321510510(2)71839210142.51051052.已知拋物線L的方程為x22py(p0)，直線yx截拋物線L所得弦AB42.求p的值；拋物線L上能否存在異于點和拋物線L在點C處有同樣的切線明原因.

A、B的點C，使得經(jīng)過A、B、C三點的圓.若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說yxA(0,0),B(2p,2p),解：(1)由2解得x2py所以42AB4p24p222p，所以p2.(2)由(1)得x24y，A(0,0),B(4,4),假定拋物線L上存在異于點A、B的點C(t,t2)(t0,t4)，使得經(jīng)過A、B、4C三點的圓和拋物線L在