自控課件女老師的第四章根軌跡法

根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零，極點(diǎn)4- 例已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，討論—Ks(0.25sR(S—Ks(0.25sG(

s(.25

4s(s4特征方程為1G(s) s24s4K s2221-當(dāng)K從0變化∞，閉環(huán)極點(diǎn)如何變化s1=0s2=-0<Ks1s2s1=-2s2=-1<K<s1s2為共軛復(fù)根，實(shí)部均為-

根據(jù)根軌跡，我們可以分析系統(tǒng)性當(dāng)根軌跡位于sk>0時(shí)穩(wěn)定在s=0處有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn),所以系統(tǒng)是I型系統(tǒng)0∞

7k<1過(guò)阻尼；k=1臨界阻尼；k>1欠阻尼.4- 一、根軌跡的概根軌跡：系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)從零到無(wú)窮變其中根”指的是閉環(huán)特征根閉環(huán)極點(diǎn) -- 開(kāi)環(huán)傳函G(s)H

閉環(huán)傳函:(s)

G(s)1G(s)Ha將G(s)和H(s)寫為零極點(diǎn)的形式aKG(sZi

cKH(sZjcbG(S) i b

H(S)

jd(sPii Z

(sPjjZ P a將G(s)和H(s)寫為零極點(diǎn)的形式aKG(sZi

cKH(sZjcbG(S) i b

H(S)

jd

(sPii K(sZi)(sZj

(sPjj G(S)H(S) j1 (sPi)(sPji j

KKGKH

KG(sZi)(s (s)1G(s)H(s) (si)(sPj)K(sZi)(sZj 繪制根軌跡，實(shí)質(zhì)上就是求閉環(huán)特征方程

首首KK(sz*i 1n(sn

mK*

szni i nissp

★用相角方程確定點(diǎn)s1是否在根軌跡 4 1 4 5 根軌跡上點(diǎn)s1對(duì)應(yīng)的K* 4 2K*

s1則K* s1則K* s13s123s1 K*∞時(shí)對(duì)應(yīng)的根軌跡點(diǎn)稱根軌跡的終點(diǎn)。

K(sZinmG(s)H(s) 1nm(sKsZKsZ i simnK＝ snsm K*∞時(shí)對(duì)應(yīng)的根軌跡點(diǎn)稱根軌跡的終點(diǎn)。

K(sZinmG(s)H(s) 1nm(s 測(cè)試點(diǎn)s1位于[p2，p3] G(s1)H(s1)(s1zi)(s1pi G(s1)H(s1)＝(2l例 G(s)H(s)K(s1)(s4)(ss2(s2)(s交點(diǎn)坐標(biāo)бa和實(shí)軸正方向夾角 a，漸近線即可繪出。a(2knnp mz,a n例 G(s)H(s)

K(0.25s

K*(ss(s1)(0.2s s(s1)(s30、-1、-1零點(diǎn)：-

n-m=3-1= pizi

(0)(1)(5)

n 31 (2i1)180 i

90, n 例 G(s)H(s)

K(ss(s4)(s22sjaja0n n jj0nmj0nm分離點(diǎn):L條根軌跡分支在s平面上相遇后又立即分開(kāi)的點(diǎn),稱

1 i1d i1d dp 例已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，討論—K—Ks(0.25s

R(S

C(SG(

s(.25

4s(s41G(s)s24s4K11 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)K*(s2) K*(s2 列分離點(diǎn)方

s22s (s1j)(s1j d1 d1 d

d24d2解 d13.414,d2顯然d2不在根軌跡上，應(yīng)舍棄

-- - -

- 當(dāng)k*從0到無(wú)窮變化時(shí),閉環(huán)

1- - - - 切線夾角稱為分離角l表示,則 處切線的夾角稱為會(huì)合角，用l表示,

1- - - - --σ0-2jω例 --σ0-2jω1、從開(kāi)環(huán)極0、－2、－3起始，終值于有限零點(diǎn)－1和兩個(gè)無(wú)限零點(diǎn).根軌跡有3條分支，對(duì)稱于實(shí)軸上 (2k1)18090,

pizi n

＝

0(2)(3)(1)k

n 法則5實(shí)軸上有根軌跡分離點(diǎn)(應(yīng)在[-3,-2]區(qū)域內(nèi)

b 例 G(s)H(s) jω j4-0σ--s(sjω j4-0σ--1、2、3根軌跡從開(kāi)環(huán)極點(diǎn)0,-4and2±j4起始，終值于4個(gè)無(wú)限零點(diǎn)實(shí)軸上區(qū)[-4,0是根軌跡法則根軌跡有4條漸近線 (2l (l0,1,2, n pizi

0(4)＝

n

G(s)H(s)jω

s(s4)(s24s j4-- j4--0σ-b1b2,32角,稱為根軌跡的起始角pl。夾角，稱為終止角zl。j0jj0j0 Ks2(sG(s)H(s)

-

(s5)2閉 5 s(s10)(Ts1)0s210s5010)0 θ θ2,- φ45o135o135o90o(2kθ1θ2+θ3–φ1起始角=(2k+1)π Ks2(sG(s)H(s)

-

(s5)2閉 5 s(s10)(Ts1)0s210s5010)0 θ θ2,- φ45o135o135o90o(2kθ1θ2+θ3–φ1起始角=(2k+1)π角,稱為根軌跡的起始角pl。夾角，稱為終止角zl。 pl2k1)（plzi）（pl zl2k1)（zlpi）（zl -K*(-K*(ss22s

j--j--021ImaginImaginary0

sj1G(s)H(s)01G(j)H(j)Im1G(j)H(j)Re1G(j)H(j)K G(s)H(s)

Ks(s1)(s閉環(huán)特征方程s

s(s1)(s2)Ks33s22sK→代入閉環(huán)特征方程1Gj)H(j(j)33(j)22(j)K(K32)j(23)2實(shí)部:K2虛部 3＝0

KG(s)H(s)

Ks(s1)(s表

s(s1)(s2)Ks33s22sKK3s261363K2K0

s 根之n-m≥2時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)之和=1 1根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)根軌跡的條數(shù)為特征根的個(gè)數(shù),根軌跡對(duì)稱實(shí)實(shí)軸上某段右側(cè)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該段是根軌∣n條漸近線對(duì)稱于實(shí)軸,均起于實(shí)軸上的σa點(diǎn),k=k=0,1,2,k=0,1,2, 1說(shuō)明什么2d的推導(dǎo)3分離k=0,1,2,

(2k

dz

i

d

，LLiL

L為來(lái)會(huì)合的根軌跡條nnmapizj n(2kan 表求出或令s=jω解G(s)

s(s3)(s22s2)K*從0到∞時(shí)系統(tǒng)的根軌跡解:(1)有4個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn),P1=0,P2=-3,P3,4=-1±j.n=4，沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn),m=0分支數(shù)=開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)=特征∴有4個(gè)根軌跡分實(shí)軸上根軌跡為[0,-3]區(qū)間漸近線條數(shù)n-條，個(gè)根軌跡分支沿著漸近線都趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處；漸近線與實(shí)軸正方向的夾角(2k1)45, n 與實(shí)軸的交點(diǎn)

pi nm4n 0則1 n

d3 d1 d1分離 起始

l

(l p3(2k1)(p3zi)(p3 l 其中 p3(2k1)－(p3p1)(p3p2)(p3p4 (取k由根軌跡的對(duì)稱性可根軌跡與虛軸的交

p4系統(tǒng)的特征方程為D(s) 5s38s26sK*令代入實(shí)部和虛部都為0得

8ω2K 3 6ωω ω 舍去

8

G(s)G(s)H(s)Ks(s3)(s22s - -

- - - -

0

K816根軌跡上的任何一點(diǎn)，都是對(duì)應(yīng)于某一K*值的閉環(huán)極特定K*值對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)，可以用模值條件和閉環(huán)特征。G(s) s(s3)(s22sK=4時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)- - - - - -

0

K816 i 1K i 1KsZmsinG(s)H(s)

s(s3)(s22s在分離點(diǎn)d=-2.3處K=4.3因而K=4時(shí)，有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位

在[－3，-2.3與[-2.3,044KsPis(s3)(s22s2)s12,s2 s45s38s26sK0s12s22.51K(s2)(s2.52)(ss3)(ss4)s45s38s26s4(s24.52s5.04)(ss3)(ss4)s45s38s26s4(ss3)(ss4)s20.48ss30.24j0.86s40.24s2s3s4開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和sss K* (s)

(s2)(s2.51)(s0.24j0.86)(s0.24s(ss(ss(ss(s-

解 G(s)H(s)10(1Kts(s(s) s(s 110(1Kts(s閉環(huán)特征方程為:

s22s1010Kt2s1010Ktst整理為:

10Kt s22s10K10K K令1(S) s22s (s1j3)(s1

（Kt

10Kt

G(s)H(s)10(1Kts(s

2s1010Kts

1

10Kt 2s G1(S)

10Kt2sG1(S)

10Kt2s根軌跡為-

10kts22s

10Kt

(s)

2s2s1010Kts2(s)

s22s10Kt

10Kts22s1010K1

2s10例：已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞G(s)

試?yán)L制τ從零變到無(wú)窮時(shí)的根軌跡.解:系統(tǒng)的特征方程1+G(s)=0 s2(s1)s(s1)2整理

1s2(s s(s1) G(s)

s2(s s

sG(s)G(s)2(s1s2s解方

s2s20得

1727而三個(gè)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為Z1=Z2=0,Z3=-1m=3,n=2,m>n則分支數(shù)不是n,而是m=3。法則7:由1+G1(jw)=0解得根軌跡與虛軸的交 (jw)2(jw

22 1 0 jw(jw1)

3 解得 1, 由c(s)

G(s) G(s)HK*(sz)(szG(s)H(s) (sp1)(sp2)(spn)mGmG(s)H(s)sK*szs1m*(szi1sps2np(spjGG(s)H(s)(szi)(spj)mnij 法則 法則

nm 法則 起始角/終止m起始角pl2k

zi）（plnn 終止角zl2k（zlpi）（zl 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，K*=0→∞,變化,試分別繪制0°、180°根軌跡。 G(s)

K(s K(s

KkKs22s (s1j)(s1

v①實(shí)軸軌跡：[-,-②起始角 90[90]

0o根軌[-1,∞90[90]③分離點(diǎn)

2(d+ d+1+ d+1- d2+2d+ d+d22dd(d2)

d1d1jd1

d

d2d2d1jd1d2

ddK1 dd

d 參數(shù)根軌零度根軌 ⑵依題意確定閉環(huán)極點(diǎn)位置； k*同取值段的各種說(shuō)

k*10k*0.1時(shí)3k*9.93

sjk*

d111

k*0.1時(shí)k*11k*1時(shí)1k*9.9時(shí)0欠阻 有超 運(yùn)動(dòng)模態(tài) sinbt,衰減振k*9.9時(shí)k*(sk*(sG(s)s(s9.9k*時(shí)運(yùn)動(dòng)模態(tài)eatebt例已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，K*0→∞，⑴使系統(tǒng)穩(wěn)定且為欠阻尼狀態(tài)時(shí)開(kāi)環(huán)增益K的取值范；⑵復(fù)極點(diǎn)對(duì)時(shí)的K值及閉環(huán)極點(diǎn)位時(shí)，，？*=時(shí)并估算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)(,ts)。解.繪制系統(tǒng)根

G(s) K

KK*s(s2)(s①實(shí)軸上的根軌跡：[-∞,-4],[-②漸近線 a(24)3

va60,③

1 d d 3d212d8

d1 d2ddK*dd2d d④D(ss(s2)(s4)K*ImD(j)38ReD(j)62K*

6s28sK* 8K*K⑴使 K*3.08K*48K

0

3.08 K K ⑵復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)的K值及閉環(huán)極點(diǎn)設(shè) 1,2n 1設(shè)n

C02462n36 6D(s)s(s2)(s4)K*s36s28sK(s1)(s2)(s3)s36s26s2(6

2s2)(s6

K 8

6n

n4

0.6672(6

)K

6 時(shí)，，？

sD(s)s36s28sK(s5)(s2s

s

s36s28sKs3

s2K*

s23sKKK*8158

K*

3s0*=時(shí)并估算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)(,ts)令K*令3

3

43試根3

8s2*s2*

s

0.808s21.617s

⑷當(dāng)*=時(shí)并估算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)(,ts)1,20.808視為主導(dǎo)極 K

z

s(s K1

K*(ss(s2)(s4)KK*

s(s2)(sK*(s(s4.383)[s0.8084(s

4(s4.383)[s21.617s

s21.617s 0.9127

1

0.689 1.617(20.955)

3.5n3.50.808j0j0j0j0jj0j0j0j0j0j0j0j0j0jj0j0j0j00j0j0j0j0j0j0根0j0j0j0j0j0j0j0jj0j0j0超前校正（Leadcompensation）滯后校