2019-2020學(xué)年天津市西青區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019-2020學(xué)年天津市西青區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則求解即可.【詳解】．故選D．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的商的運算，滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取運算法則法，利用方程思想解題．2．“”是“”的()A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據(jù)與互相推出的結(jié)果判斷出是的何種條件.【詳解】因為時，，所以不一定成立，又因為時，，所以一定成立，所以是的必要非充分條件.故選：B.【點睛】根據(jù)若則的形式，如果，則是的充分條件，反之則是非充分條件；如果，則則是的必要條件，反之則是非必要條件.3．已知空間向量1，，，且，則A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】利用向量垂直的充要條件，利用向量的數(shù)量積公式列出關(guān)于x的方程，即可求解x的值．【詳解】由題意知，空間向量1，，，且，所以，所以，即，解得.故選C．【點睛】本題主要考查了向量垂直的充要條件，以及向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記向量垂直的條件和數(shù)量積的運算公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4．設(shè)等差數(shù)列的前項之和為已知，則（）A．12 B．20 C．40 D．100【答案】B【解析】分析：由等差數(shù)列的通項公式可得，由可得，從而可得結(jié)果.詳解：由等差數(shù)列的前項和的公式得：，即，從而，故選B.點睛：本題主要考查數(shù)列的通項公式與求和公式，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.5．拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】焦點坐標(biāo)是,選B.6．?dāng)?shù)列的前項和為，若，則=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】將數(shù)列的通項公式化簡變形,結(jié)合裂項法即可求得.【詳解】數(shù)列的前項和為,若則所以故選:C【點睛】本題考查了裂項求和法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7．設(shè).若是與的等比中項，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)等比中項定義,可得等量關(guān)系.結(jié)合基本不等式中“1”的代換,即可求得的最小值.【詳解】根據(jù)等比中項定義,可知化簡可得所以因為.則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即故選:A【點睛】本題考查了等比中項定義簡單應(yīng)用,基本不等式求最值,屬于中檔題.8．已知雙曲線，雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線、的離心率相同.若是雙曲線一條漸近線上的點，且（為原點），若，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)雙曲線可求得其離心率,兩個雙曲線的離心率相等可得雙曲線中的關(guān)系;由雙曲線的漸近線方程,結(jié)合點到直線距離公式可求得,表示出,再根據(jù)求得的關(guān)系,結(jié)合雙曲線中解方程組即可求得,進而得雙曲線的方程.【詳解】雙曲線則其離心率為設(shè),雙曲線的一條漸近線方程為,即則由可得,所以又因為雙曲線、的離心率相同則,解方程組可得所以雙曲線的方程為故選:D【點睛】本題考查了雙曲線性質(zhì)的簡單應(yīng)用,雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,屬于中檔題.二、填空題9．命題：.則為_____________．【答案】【解析】根據(jù)全稱量詞的否定,即可得解.【詳解】命題：由全稱量詞的否定可得命題:故答案為:【點睛】本題考查了全稱命題的否定形式,屬于基礎(chǔ)題.10．已知對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線有一條漸近線為2x﹣y=0，則該雙曲線的離心率為．【答案】或【解析】試題分析：當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞0，b＞0），此時漸近線方程是，與已知條件中的漸近線方程比較可得b=2a，最后用平方關(guān)系可得c=a，用公式可得離心率e==；當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時，用類似的方法可得雙曲線的離心率為．由此可得正確答案．解：（1）當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞0，b＞0）∵雙曲線的一條漸近線方程是2x﹣y=0，∴雙曲線漸近線方程是，即y=±2x∴?b=2a∵c2=a2+b2∴==a所以雙曲線的離心率為e==（2）當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞0，b＞0）采用類似（1）的方法，可得?∴==所以雙曲線的離心率為e==綜上所述，該雙曲線的離心率為或故答案為或【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．11．已知等比數(shù)列中，，則_________.【答案】【解析】先將式子通分化簡，結(jié)合等比數(shù)列通項公式化簡，可得關(guān)于的一元二次方程.解得的值，代入中檢驗值是否符合要求，舍去不符合要求的解.【詳解】等比數(shù)列中，，通分可得，即，所以由等比數(shù)列通項公式可知，化簡可得，解得或，當(dāng)時，與矛盾，當(dāng)時，，解得，綜上可知，，故答案為:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用，注意檢驗所求的公比是否符合題意，屬于基礎(chǔ)題.12．以下五個命題中：①若，則的取值范圍是；②不等式，對一切x恒成立，則實數(shù)的取值范圍為；③若橢圓的兩焦點為、，且弦過點，則的周長為16；④若常數(shù)，，，成等差數(shù)列，則，，成等比數(shù)列；⑤數(shù)列的前項和為=+2－1，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.所有正確命題的序號是_____________.【答案】④【解析】對于①由不等式性質(zhì)可判斷;對于②討論當(dāng)和兩種情況,即可判斷;對于③根據(jù)橢圓方程求得,求得的周長,即可作出判斷;對于④由等差中項與等比中項定義和性質(zhì),即可判斷;對于⑤根據(jù)數(shù)列中,結(jié)合首項即可判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列.【詳解】對于①,,則,所以,故①錯誤;對于②,當(dāng)時,不等式變?yōu)?對一切x恒成立,所以成立;當(dāng)時,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,解得.綜上可知,故②錯誤;對于③,橢圓.則.弦過點,則的周長為,故③錯誤;對于④,,,成等差數(shù)列則.常數(shù),則,所以,,成等比數(shù)列,故④正確;對于⑤,數(shù)列的前項和為,當(dāng)時,代入解得.當(dāng)時,由可得,化簡可得.且,所數(shù)列是從第二項開始的等差數(shù)列.故⑤錯誤.綜上可知,正確的為④.故答案為:④【點睛】本題考查了不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用,一元二次不等式恒成立問題,橢圓中焦點三角形的周長求法,等差中項與等比中項的簡單應(yīng)用,根據(jù)求通項公式及等差數(shù)列的判斷,綜合性強,屬于中檔題.13．《張丘建算經(jīng)》卷上第題中“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同.已知第一天織布尺，天共織布尺，則該女子織布每天增加______________尺.【答案】【解析】由題意可知,該女子每天織布的量成等差數(shù)列,由等差數(shù)列的前n項和公式即可求得解.【詳解】由題意可知,該女子每天織布的量成等差數(shù)列,設(shè)該女子每天織布增加尺.由等差數(shù)列的前n項和公式代入可得解得所以該女子織布每天增加尺故答案為:【點睛】本題考查了等差數(shù)列前n項和公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點和,若是、的等比中項,是與的等差中項,則橢圓的離心率是________.【答案】【解析】【詳解】因為橢圓與雙曲線有相同的焦點，所以，①，②，③將代入得，代入得，再代入得，得，故答案為.【方法點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線簡單性質(zhì)及橢圓的離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．本題的解答，是利用方法①直接求出，進而求出離心率的．三、解答題15．已知遞增的等比數(shù)列滿足且是的等差中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若是數(shù)列的前項和，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差中項性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列通項公式,解方程組即可求得公比.由等比數(shù)列為遞增數(shù)列舍去不符合要求的.將符合要求的代入方程可得,進而得數(shù)列的通項公式;（2）根據(jù)對數(shù)運算化簡即可求得數(shù)列的通項公式,結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式即可求得的值.【詳解】（1）等比數(shù)列為遞增數(shù)列,等差中項性質(zhì)可得結(jié)合等比數(shù)列通項公式可得解方程組可得或當(dāng)數(shù)列為遞減數(shù)列,不符合題意所以,代入可得所以即（2）由（1）可得則為數(shù)列的前項和所以由等差數(shù)列前n項和公式可得即【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用,等差中項的應(yīng)用,等差數(shù)列前n項和的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16．解關(guān)于不等式：【答案】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，【解析】試題分析：當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，【考點】解不等式點評：本題中的不等式帶有參數(shù)，在求解時需對參數(shù)做適當(dāng)?shù)姆智闆r討論，題目中主要討論的方向是：不等式為一次不等式或二次不等式，解二次不等式與二次方程的根有關(guān)，進而討論二次方程的根的大小17．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，它與雙曲線：交于點，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點.（1）求拋物線與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為的直線過點且與拋物線只有一個公共點，求直線的方程.【答案】（1）拋物線方程為;雙曲線的方程為.（2）直線的方程為或【解析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點,可知拋物線開口向右,則設(shè)拋物線方程為,代入即可求得拋物線方程;由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程,進而得雙曲線的,由雙曲線中的關(guān)系及代入,解方程可求得,即可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）討論直線的斜率和兩種情況:當(dāng)時一定成立,由所過定點坐標(biāo)可得直線方程;當(dāng)時,聯(lián)立直線與拋物線方程,由判別式即可求得斜率,再由點斜式可得直線方程.【詳解】（1）因為拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點,設(shè)拋物線方程為由拋物線過,代入可得解得,所以拋物線方程為拋物線的準(zhǔn)線方程為,所以雙曲線的同時將代入雙曲線方程,即解方程組可得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）斜率為的直線過點且與拋物線只有一個公共點當(dāng)時,直線方程為,滿足題意當(dāng)時,直線可設(shè)為則,化簡可得由與直線拋物線只有一個公共點可得解得,所以直線的方程為綜上可得直線的方程為或【點睛】本題考查了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用,直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18．在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面平面.，，且點為的中點．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析;（2）（3）不存在,理由見解析【解析】（1）根據(jù)菱形與矩形性質(zhì),可得,,因而.所以可知四邊形為平行四邊形.由中位線定理可證明,即可由線面平行判斷定理證明平面;（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),并求得和平面的法向量,即可求得與夾角的余弦值,即為與平面所成角的正弦值;（3）假設(shè)線段上存在點,使二面角的大小為.設(shè)出點的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,根據(jù)夾角為及向量數(shù)量積運算,求得的值,再判斷是否符合在線段上,即可說明.【詳解】（1）證明:因為四邊形是菱形,是矩形,所以,所以所以四邊形為平行四邊形設(shè)對角線的交點為,連接由點為的中點,點為的中點根據(jù)中位線定理可得,又因為平面,平面,所以平面.（2）因為是矩形,且平面平面.所以平面.又因為所以則以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因為且點為的中點則則,設(shè)平面的法向量為則,代入可得令,解得所以設(shè)直線與平面所成角為則即直線與平面所成角的正弦值為（3）假設(shè)線段上存在點,使二面角的大小為.設(shè)則設(shè)平面的法向量為則,代入可得令,則又因為平面的法向量為所以由二面角的大小為可得解得因為,所以不合題意所以線段上不存在點,使二面角的大小為【點睛】本題考查了線面平行的判定,空間向量在求線面夾角中的應(yīng)用,根據(jù)面面夾角判斷是否滿足某種條件的點是否存在,屬于中檔題.19．已知數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列中，，滿足.（1）求出，的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使得時，對所有的恒成立的最大正整數(shù)值.【答案】（1）,（2）6【解析】（1）根據(jù),結(jié)合遞推公式作差,即可證明為等比數(shù)列,結(jié)合即可得的通項公式;將變形,結(jié)合累乘法即可求得數(shù)列的通項公式.（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式.由錯位相減法可求得數(shù)列的前項和.根據(jù)的單調(diào)性可求得的最小值,代入解不等式即可求得最大正整數(shù)值.【詳解】（1）由題意則,（）兩式相減可得化簡可得由所以數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列則數(shù)列中,,滿足.即等式左右兩邊分別相乘可得而所以（2）,由（1）可得數(shù)列的前項和為則兩式相減可得所以即因為為遞增數(shù)列,所以故只需變形可得所以即最大正整數(shù)值為【點睛】本題考查了根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項公式,累乘法在求數(shù)列通項公式中的應(yīng)用,錯位相減法求數(shù)列的前n項和,不等式中的恒成立問題,綜合性強,屬于中檔題.20．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個焦點是F(1,0)，且離心率為.(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過點F的直線交橢圓C于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交y軸于點P(0，y0)，求y0的取值范圍．【答案】(1)＋＝1.(2)【解析】【詳解】試題分析：解：(Ⅰ)設(shè)橢圓C的半焦距是c.依題意，得c＝1.因為橢圓C的離心率為，所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.故橢圓C的方程為＋＝1.(Ⅱ)當(dāng)MN⊥x軸時，顯然y0＝0.當(dāng)MN與x軸不垂直時，可設(shè)直線MN的方程為y＝k(x－1)(k≠0)．由消去y并整理得(3＋4k2)x2－8