2019-2020學年北師大版數(shù)學必修二教師用書第1章44.14.2第2課時空間圖形的公理4及等角定理Word版含答案

第2課時空間圖形的公理4及等角定理學習目標核心素養(yǎng)1.掌握公理4和“等角定理”．(重點)2．理解異面直線所成的角及直線與直線垂直的定義．(重點、易錯點)3．會求異面直線所成的角．(難點)1.通過學習公理4和等角定理，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．通過學習異面直線所成角的定義及求異面直線所成的角提升直觀想象能力.1．公理4(1)條件：兩條直線平行于同一條直線．(2)結(jié)論：這兩條直線平行．(3)符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(?a∥c)).2．等角定理(1)條件：空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行．(2)結(jié)論：這兩個角相等或互補．思考1：當一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行時，試問這兩個角在什么情況下相等，在什么情況下互補？提示：當兩個角的兩邊分別平行且方向相同或相反時，這兩個角相等；當兩個角的一組邊的方向相同，而另一組邊的方向相反時，這兩個角互補．3．空間兩條直線的位置關(guān)系共面直線異面直線：不共面的兩條直線且沒有公共點．4．異面直線所成的定義過空間任意一點P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角取值范圍異面直線所成的角θ的取值范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))特例當θ＝eq\f(π,2)時，a與b互相垂直，記作a⊥b思考2：分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？提示：不一定．可能是相交，平行或異面．1．如果兩條直線a和b沒有公共點，那么a與b的位置關(guān)系是()A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面[答案]D2．已知a，b是平行直線，直線c∥直線a，則c與b()A．不平行B．相交C．平行D．垂直C[∵a∥b，c∥a，∴c∥b.]3．空間中一個角A的兩邊分別與另一個角B的兩邊對應平行，若A＝70°，則B＝______.70°或110°[若A的兩邊與B的兩邊方向均相同或均相反，則B＝70°；若兩個角的一組邊方向相同，另一組方向相反，則B＝110°.]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AA1與BC1所成的角的大小為________45°[∵BB1∥AA1，∴∠B1BC1為直線AA1與BC1所成的角，其大小為45°.]公理4的應用【例1】如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD.[解](1)如題圖，在△ABD中，∵EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD，EH＝eq\f(1,2)BD.又FG是△CBD的中位線，∴FG∥BD，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BD，∴FG∥EH，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面，又FG＝EH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四邊形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.空間中證明兩直線平行的方法：1借助平面幾何知識證明，如三角形中位線性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、用成比例線段證平行等.2利用公理4證明，即證明兩直線都與第三條直線平行.1.已知在棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點．求證：四邊形MNA′C′是梯形．[解]連接AC(圖略)．∵M，N為CD，AD的中點，∴MN綊eq\f(1,2)AC.由正方體性質(zhì)可知AC綊A′C′，∴MN綊eq\f(1,2)A′C′，∴四邊形MNA′C′是梯形．等角定理的應用【例2】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點．(1)求證：四邊形BB1M(2)求證：∠BMC＝∠B1M1[解](1)∵ABCD-A1B1C1D1為正方體∴AD綊A1D1，又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點，∴AM綊A1M1∴四邊形AMM1A1為平行四邊形∴MM1綊AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1綊BB1，∴四邊形BB1M1(2)法一：由(1)知四邊形BB1M1∴B1M1∥BM同理可得四邊形CC1M1∴C1M1∥CM由平面幾何知識可知，∠BMC和∠B1M1C∴∠BMC＝∠B1M1法二：由(1)知四邊形BB1M1∴B1M1＝BM同理可得四邊形CC1M1∴C1M1＝CM又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C∴∠BMC＝∠B1M11．空間等角定理實質(zhì)上是由以下兩個結(jié)論組成的：(1)若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行且方向都相同或相反，那么這兩個角相等；(2)若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，有一組對邊方向相同，另一組對邊方向相反，那么這兩個角互補．2．證明角相等，一般采用以下途徑：(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等．2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，M，N分別為AD，AB，C1D1，B1C1的中點，求證：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN[解]取A1B1的中點K，連接BK，KM.易知四邊形MKBC為平行四邊形，∴CM∥BK.又∵A1K∥BQ且A1K＝BQ，∴四邊形A1KBQ為平行四邊形，∴A1Q∥BK，由公理4有A1Q∥CM，同理可證A1P∥CN，由于∠PA1Q與∠MCN對應邊分別平行，且方向相反，∴∠PA1Q＝∠MCN.求異面直線所成的角[探究問題]1．已知直線a，b是兩條異面直線，如何作出這兩條異面直線所成的角？提示：如圖，在空間中任取一點O，作直線a′∥a，b′∥b，則兩條相交直線a′，b′所成的銳角或直角θ即兩條異面直線a，b所成的角．2．a(chǎn)′與b′所成角的大小與什么有關(guān)，與點O的位置有關(guān)嗎？通常點O取在什么位置？提示：a′與b′所成角的大小只由a，b的相互位置確定，與點O的選擇無關(guān)，一般情況下為了簡便，點O選取在兩條直線中的一條直線上．【例3】如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，若EF＝eq\r(3)，求異面直線AD，BC所成角的大小．[思路探究]根據(jù)求異面直線所成角的方法，將異面直線AD，BC平移到同一平面內(nèi)解決．[解]如圖，取BD的中點M，連接EM，F(xiàn)M.因為E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，所以EM綊eq\f(1,2)AD，F(xiàn)M綊eq\f(1,2)BC，則∠EMF或其補角就是異面直線AD，BC所成的角．因為AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，過點M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，則sin∠EMH＝eq\f(\r(3),2)，于是∠EMH＝60°，則∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以異面直線AD，BC所成的角為∠EMF的補角，即異面直線AD，BC所成的角為60°.1．若將例題中“AD＝BC＝2”，改為“AD＝BC且AD⊥BC”，求EF與AD所成的角[解]如例3圖中，EM綊eq\f(1,2)AD，MF綊eq\f(1,2)BC，又AD＝BC.∴EM＝MF，∴∠MEF就是EF與AD所成的角或其補角，∵AD⊥BC，∴EM⊥MF，∴∠EMF＝90°∴△EMF為等腰直角三角形，∴∠MEF＝45°，即EF與AD所成的角為45°.2．若將例題中“AD＝BC＝2，E、F分別是AB、CD的中點，若EF＝eq\r(3)”改為：“AB＝CD，且AB與CD所成的角為30°，E、F分別為BC、AD中點”，求EF與AB所成角的大?。甗解]取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EG綊eq\f(1,2)AB，GF綊eq\f(1,2)CD.故直線GE，EF所成的銳角即為AB與EF所成的角，直線GE，GF所成的銳角即為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.由AB＝CD，知EG＝FG，∴△EFG為等腰三角形．當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.求兩條異面直線所成的角的一般步驟：1構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法常用三角形中位線、平行四邊形性質(zhì)等作出異面直線所成的角.2證明：證明作出的角就是要求的角.3計算：求角度，常放在三角形內(nèi)求解.4結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角.1．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．2．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，這是我們學習立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強調(diào)的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，解題時經(jīng)常結(jié)合這一點去求異面直線所成角的大?。?．思考辨析(1)已知a，b，c，d是四條直線，若a∥b，b∥c，c∥d，則a∥d. ()(2)兩條直線a，b沒有公共點，那么a與b是異面直線． ()(3)若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且aα，bβ，則a，b是異面直線． ()[解析](2)×，也可能平行．(3)×，可能平行、相交、異面．[答案](1)√(2)×(3)×2．下列結(jié)論中正確的是()①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③ B．②④C．③④ D．②③B[①錯，可以異面．②正確，公理4.③錯誤，和另一條可以異面．④正確，由平行直線的傳遞性可知．]3．已知直線a，b，c，下列三個命題：①若a∥b，a⊥c，則b⊥c；②若a∥b，a和c相交，則b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，則b∥c.其中，命題正確的是________．(填序號)①[①項正確；②項不正確，有可能相交也有可能異面；③項不正確，可能平行，可能相交也可能異面．]4．如圖，已知長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因為BC