第3章-線性控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析

3．1引言第3章線性控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析3．2線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解3．3線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解3．4線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解3．5MATLAB在線性控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用3．1引言

狀態(tài)空間分析法是現(xiàn)代控制理論的主要分析方法，其直接將系統(tǒng)的微分方程或差分方程化為描述系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)關(guān)系的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型——狀態(tài)方程，運(yùn)用矩陣方法求解狀態(tài)方程，直接確定其動(dòng)態(tài)響應(yīng)，研究系統(tǒng)狀態(tài)方程的解法及分析解的性質(zhì)是現(xiàn)代控制理論的主要任務(wù)之一。

本章重點(diǎn):

討論狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法，并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出狀態(tài)方程的求解公式。連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化，即建立連續(xù)系統(tǒng)的離散系統(tǒng)狀態(tài)方程。齊次狀態(tài)方程：，控制輸入為零。(1)若A為標(biāo)量有：初始時(shí)刻t0=0,則3．2線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解(2)若A為方陣，絕對(duì)一致收斂級(jí)數(shù)稱為矩陣指數(shù)矩陣級(jí)數(shù)解：求例3．2．1已知.Ate3．2．2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)及其計(jì)算方法一、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本定義

對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)初始時(shí)刻t0=0時(shí)，滿足如下矩陣微分方程和初始條件：(3-1)解為線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。則有：

二、幾個(gè)特殊矩陣指數(shù)(1)若為對(duì)角矩陣證:由定義知?jiǎng)t有：約當(dāng)矩陣若為（2）則有：具有約當(dāng)塊的矩陣若為（3）其中：為約當(dāng)塊則有：(4)若為3.2.2.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)性質(zhì)一

性質(zhì)二

性質(zhì)三

性質(zhì)四

性質(zhì)五

3.2.2.4狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法(1)定義法：按照定義直接計(jì)算，適合于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。(2)拉氏變換法：有：例3.2.2用Laplace變換法計(jì)算矩陣指數(shù)：解：則有：(3)標(biāo)準(zhǔn)型法：則有個(gè)互異的特征值設(shè)具有滿足其中解:1)特征值例3.2.2已知矩陣試計(jì)算矩陣指數(shù)2)計(jì)算特征向量：

3)構(gòu)造變換陣P：

則有：設(shè)具有個(gè)重特征值則有解:1)計(jì)算特征向量和廣義特征向量。例3.2.3已知矩陣試計(jì)算矩陣指數(shù)得：2)計(jì)算矩陣指數(shù)：(4)化有限項(xiàng)法根據(jù)：1)特征根兩兩互異：2)有個(gè)重特征值兩端對(duì)求1至階導(dǎo)數(shù)得：解方程組可求得例3.2.4已知系統(tǒng)試用化有限的方法求矩陣的矩陣指數(shù)解：矩陣的特征方程為：特征值為對(duì)于有對(duì)于有從而可聯(lián)立求得：因?yàn)?1是重根，故需補(bǔ)充方程：由此可得：3．2．3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解線性定常系統(tǒng)在輸入信號(hào)u作用下的運(yùn)動(dòng)稱為強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)，其可用式（3－52）所示的非齊次狀態(tài)方程描述，即下面求解非齊次狀態(tài)方程式（3－52），以研究控制作用下系統(tǒng)強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。（3－52）一、直接求解法非齊次狀態(tài)方程可改寫為

兩邊左乘由矩陣指數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則得由矩陣指數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

兩邊在t0到t閉區(qū)間進(jìn)行積分，得

即兩邊左乘，由矩陣指數(shù)性質(zhì)可得若特殊情況下，如，對(duì)應(yīng)初始狀態(tài)為則線性定常非齊次狀態(tài)方程的解為二、拉氏變換法事實(shí)上，對(duì)初始時(shí)刻的情況，也可應(yīng)用拉普拉斯變

（3－60）

得

式（3－61）兩邊取拉普拉斯反變換得對(duì)上述狀態(tài)方程的求解式利用卷積分公式，則有換法求解非齊次狀態(tài)方程。對(duì)式（3－53）兩邊取拉普拉斯變換，并移項(xiàng)整理得式（3－60）兩邊左乘（3－61）（3－62）結(jié)果與直接求解法完全相同。三、狀態(tài)方程解的意義系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)由兩部分組成：一部分是由初始狀態(tài)引起的系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)，叫做零輸入響應(yīng)；另一部分是由控制輸入所產(chǎn)生的受控運(yùn)動(dòng)，叫做零狀態(tài)響應(yīng)。3．3線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解

嚴(yán)格說來，實(shí)際控制對(duì)象都是時(shí)變系統(tǒng)，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)隨時(shí)間變化。如電機(jī)的溫升導(dǎo)致電阻以及系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型變化；電子器件的老化使其特性也發(fā)生變化；火箭燃料的消耗導(dǎo)致其質(zhì)量以及運(yùn)動(dòng)方程的參數(shù)的變化等。但是，由于時(shí)變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型較復(fù)雜，且不易于系統(tǒng)分析、優(yōu)化和控制，因此只要實(shí)際工程允許，都可將慢時(shí)變系統(tǒng)在一定范圍內(nèi)近似地作為定常系統(tǒng)處理。但對(duì)控制目標(biāo)要求較高的高精度控制系統(tǒng)，需作為時(shí)變系統(tǒng)處理。3．3．1線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解線性時(shí)變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)隨時(shí)間而變化，其一般形式的狀態(tài)方程為時(shí)變非齊次狀態(tài)方程，即（3－63）、分別為n×n、n×r時(shí)變實(shí)值矩陣。若式中，輸入控制u=0，式（3－63）則變?yōu)闀r(shí)變齊次狀態(tài)方程，即（3－64）時(shí)變齊次狀態(tài)方程式（3－64）的解為

為保證該齊次狀態(tài)方程解的存在性和唯一性,在系統(tǒng)的時(shí)間定義域[t0，tf]內(nèi)，A(t)的各元素為時(shí)間t的分段連續(xù)函數(shù)。

（3－65）3．3．2線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣一、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解對(duì)于線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是如下矩陣微分方程和初始條件的解，它是一個(gè)n×n維的關(guān)于時(shí)間變量t和t0的矩陣函數(shù)。為了求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的表達(dá)式，可在時(shí)間域內(nèi)

（3－67）對(duì)該矩陣微分方程積分，即有如果將上式中積分號(hào)內(nèi)的再按上式展開，則有然后按此法繼續(xù)迭代下去，并將各展開式代入式（3－67），可得（3－69）

（3－68）可得一個(gè)由無窮項(xiàng)之和組成的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣即

上式就是線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算公式。在一般情況下，它不能寫成封閉的解析形式。在實(shí)際應(yīng)用此公式時(shí)，可按一定的精度要求，用數(shù)值積分計(jì)算方法去近似計(jì)算時(shí)刻的的值。（3－70）當(dāng)時(shí)變的系統(tǒng)矩陣A(t)滿足如下條件時(shí)，時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的解可以表示為的指數(shù)形式。（3－71）（3－72）二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)如下。1．傳遞性

（3－79）

2．可逆性（3－80）

3．3．3線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解當(dāng)具有外加輸入作用時(shí)，其狀態(tài)方程為如下非齊次狀態(tài)方程：該狀態(tài)方程在初始狀態(tài)下的解，也就是由初始狀態(tài)和輸入作用所引起的系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡。為分段連續(xù)時(shí)，該非齊次狀態(tài)方程的解為（3－83）當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型中輸出方程為

時(shí)。系統(tǒng)的輸出為比較線性定常連續(xù)系統(tǒng)與線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解的表示形式：定常系統(tǒng)

時(shí)變系統(tǒng)

第一項(xiàng)為初始狀態(tài)的影響；第二項(xiàng)為初始時(shí)刻后輸入的影響，為脈沖響應(yīng)函數(shù)與輸入的卷積。

與線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的解比較可知，線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)與線性定常連續(xù)系統(tǒng)的解的結(jié)構(gòu)和形式相同，都為狀態(tài)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的和。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的解可視為線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)相應(yīng)的解的一種特殊形式。在A(t)為時(shí)不變時(shí)，時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣即為定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由此可以看出引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的重要性。只有引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，才能使時(shí)變系統(tǒng)和定常系統(tǒng)的求解公式建立統(tǒng)一的形式。3．4線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解離散系統(tǒng)的工作狀態(tài)可以分為以下兩種情況。整個(gè)系統(tǒng)工作于單一的離散狀態(tài)：對(duì)于這種系統(tǒng)其狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量全部是離散量，如現(xiàn)在的全數(shù)字化設(shè)備、計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)等；

系統(tǒng)工作在連續(xù)和離散兩種狀態(tài)的混合狀態(tài)：對(duì)于這種系統(tǒng)，其狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量既有連續(xù)時(shí)間型的模擬量，又有離散時(shí)間型的離散量，如連續(xù)被控對(duì)象的采樣控制系統(tǒng)就屬于這種情況。3．4．1線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化

線性連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，就是在一定的采樣方式和保持方式下，由系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)空間模型來導(dǎo)出等價(jià)的離散狀態(tài)空間模型，并建立起兩者的各系數(shù)矩陣之間的關(guān)系式。

為使連續(xù)系統(tǒng)的離散化過程是一個(gè)等價(jià)變換過程，必須滿足如下條件和假設(shè)：在離散化之后，系統(tǒng)在各采樣時(shí)刻的狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量的值保持不變。保持器為零階的，即加到系統(tǒng)輸入端的輸入信號(hào)u(t)在采樣周期內(nèi)不變，且等于前一采樣時(shí)刻的瞬時(shí)值，故有采樣周期T的選擇滿足申農(nóng)(Shannon)采樣定理，即采樣頻率大于2倍的連續(xù)信號(hào)的上限頻率。滿足上述條件和假設(shè)，即可推導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)的離散化的狀態(tài)空間模型。

一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化

利用狀態(tài)方程的求解公式以保證狀態(tài)在采樣時(shí)刻連續(xù)狀態(tài)方程和離散化狀態(tài)方程有相同的解來進(jìn)行離散化連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的求解公式如下：取，

假定在采樣周期內(nèi)保持不變

令則上式可記為對(duì)任意的和成立的條件為

2．近似離散化方法

在采樣周期較小，且對(duì)離散化的精度要求不高的情況下，用狀態(tài)變量的差商代替微商來求得近似的差分方程。近似離散化的計(jì)算公式：一般說來，采樣周期T越小，則離散化精度越高。

二、線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的離散化線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的離散化，就是利用時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡求解公式來進(jìn)行離散化。

線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)離散化模型各矩陣如下

【例3－15】

試寫出下列線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的離散化系統(tǒng)的狀態(tài)方程。解：由例3-9，該系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣函數(shù)為因此，由上述離散化計(jì)算公式，可分別計(jì)算將上述計(jì)算所得的代入，則求得離散化狀態(tài)方程如下

3．4．2線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解一、線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解

1．遞推法考慮離散時(shí)間系統(tǒng)：則有：即可求得當(dāng)給定初始條件和輸入信號(hào)序列定常情形：上式稱為線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

和都是常值矩陣，于是可得：轉(zhuǎn)移矩陣。其中，稱為線性離散時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)：離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：或：2.Z變換法考慮離散時(shí)間系統(tǒng)：取Z變換得：取Z反變換得：由解的唯一性可得：例3.4.1考慮離散時(shí)間系統(tǒng)：其中：試求時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)解。解法1（遞推法）由此遞推下去，可得到狀態(tài)的離散時(shí)間的解。...解法2：（Z變換法）用Z變換法，先計(jì)算則有：

則有：因所以Z反變換得：3.5MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用3.5.1應(yīng)用MATLAB計(jì)算線性定常系統(tǒng)的矩陣指數(shù)(狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣)3.5.2應(yīng)用MATLAB求定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)3.5.3應(yīng)用MATLAB變連續(xù)狀態(tài)空間模型為離散狀態(tài)空間模型

3.5.1應(yīng)用MATLAB計(jì)算矩陣指數(shù)

1.應(yīng)用MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱求矩陣指數(shù)閉合解析式

基于矩陣指數(shù)的拉普拉斯變換求解法，可調(diào)用MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱（SymbolicMathToolbox）中的符號(hào)運(yùn)算函數(shù)先算出“預(yù)解矩陣”，再對(duì)“預(yù)解矩陣”進(jìn)行拉普拉斯反變換即求得。

另外，MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱中有專用于計(jì)算矩陣指數(shù)的指令expm（）可調(diào)用?！纠?】已知,應(yīng)用MATLAB求

%MATLABProgram2_1a

symsst%定義基本符號(hào)變量s和tA=[4,0,0;0,3,1;0,1,3];FS=inv(s*eye(3)-A);%求預(yù)解矩陣

eAt=ilaplace(FS,s,t);

%求

eAt=simplify(eAt)%化簡的表達(dá)式

解

MATLABProgram2_1a給出了基于拉普拉斯變換求的MATLAB程序。

2.應(yīng)用數(shù)值矩陣的指數(shù)運(yùn)算函數(shù)expm（）求對(duì)應(yīng)于（為某一常數(shù)）的值

MATLABProgram2_2給出了調(diào)用expm（）求例中矩陣A的矩陣指數(shù)對(duì)應(yīng)于的值的MATLAB程序。

%MATLABProgram2_2

A=[4,0,0;0,3,1;0,1,3];

T=0.1;eAT=expm(A*T)

3.應(yīng)用MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱求離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解析式

【例2】已知離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為

應(yīng)用MATLAB求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的解析式

解上例中已采用四種方法求出了系統(tǒng)的

，

MATLABProgram2_3給出了基于Z變換求的MATLAB程序。

%MATLABProgram2_3

symszk%定義基本符號(hào)變量z和k

G=[0,1;-0.2,-0.9];

Fz=(inv(z*eye(2)-G))*z;%求

Fk=iztrans(Fz,z,k)%調(diào)用Z反變換指令求

Fk=simple(Fk)%將符號(hào)運(yùn)算結(jié)果表達(dá)式轉(zhuǎn)換為最簡形式

與例前例求解結(jié)果一致，MATLABProgram2_3程序運(yùn)行結(jié)果如下：

Fk=[5*(-2/5)^k-4*(-1/2)^k,10*(-2/5)^k-10*(-1/2)^k][-2*(-2/5)^k+2*(-1/2)^k,-4*(-2/5)^k+5*(-1/2)^k]

3.5.2應(yīng)用MATLAB求定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)

1.狀態(tài)方程的數(shù)值解

常微分方程數(shù)值解一般使用逐步積分的方法實(shí)現(xiàn)，Runge–Kutta法是應(yīng)用最多的一種微分方程數(shù)值解法。MATLAB提供的ode23（）、ode45（）是分別采用2/3階、4/5階Runge–Kutta法的常微分方程數(shù)值求解的函數(shù)，一般ode45（）較ode23（）運(yùn)算速度快，兩者調(diào)用格式相同，即

其中,xfun為由m函數(shù)定義的一階微分方程組的m函數(shù)名，該m函數(shù)必須以狀態(tài)向量x的一階導(dǎo)數(shù)為輸出。若原方程為高階微分方程，應(yīng)通過第1章的“實(shí)現(xiàn)”方法將其轉(zhuǎn)換為一階微分方程組，即狀態(tài)空間表達(dá)式；

t0和tf分別為積分的起始和終止時(shí)間，單位為秒；x0為狀態(tài)向量的初始值；t和x均為返回值，其中t為離散時(shí)間列向量；x為解向量構(gòu)成的矩陣，其第j列為第j個(gè)狀態(tài)變量與t相對(duì)應(yīng)的解向量，j=1,2,…n。【例3】已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

設(shè)x(0)=0，試求u(t)=1(t)為單位階躍函數(shù)時(shí)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的數(shù)值解。

解

MATLABProgram2_4a建立了描述系統(tǒng)狀態(tài)方程的m函數(shù)ode_example.m。

%MATLABProgram2_4a

%ode_example.m

functionsx=ode_example(t,x)%sx為狀態(tài)列向量x的導(dǎo)數(shù)

sx(1,1)=-10*x(1)-35*x(2)-50*x(3)-24*x(4)+1;%sx應(yīng)按狀態(tài)方程編寫

sx(2,1)=x(1);%

sx是與x同維的列向量

sx(3,1)=x(2);

sx(4,1)=x(3);

將MATLABProgram2_4a保存為名為ode_example.m的m文件，且將保存ode_example.m的路徑設(shè)置成當(dāng)前路徑。

MATLABProgram2_4b為調(diào)用求解函數(shù)求狀態(tài)方程和輸出響應(yīng)數(shù)值解的程序，圖2-4所示為狀態(tài)方程和輸出響應(yīng)數(shù)值解曲線。

%MATLABProgram2_4bx0=[0;0;0;0];%設(shè)置初值條件t0=0;tf=6;tspan=[t0,tf]%設(shè)置積分起始和終止時(shí)間[t,x]=ode45('ode_example',tspan,x0);%調(diào)用求解函數(shù)求狀態(tài)方程數(shù)值解y=24*x(:,4);%據(jù)輸出方程求輸出響應(yīng)的數(shù)值解subplot(1,2,1)

plot(t,x(:,1),'k',t,x(:,2),'-.r',t,x(:,3),':b',t,x(:,4),'-k')

%繪狀態(tài)方程數(shù)值解曲線gtext('x1')gtext('x2')

gtext('x3')gtext(‘x4’)subplot(1,2,2)plot(t,y,‘k’)%繪輸出響應(yīng)數(shù)值解曲線gtext('y')

圖3-4狀態(tài)方程和輸出響應(yīng)數(shù)值解曲線

2．狀態(tài)方程的解析解

MATLABSymbolicMathToolbox提供的dsolve（）為求常微分方程解析解的指令，其調(diào)用格式為

S=dsolve（‘eqn1’，‘eqn2’，…）

其中，‘eqn1’,‘eqn2’,…為輸入?yún)?shù)，其為描述常微分方程、初始條件及獨(dú)立變量的字符表達(dá)式。微分方程是必不可少的輸入?yún)?shù)，多個(gè)方程或初始條件可在一個(gè)輸入?yún)?shù)內(nèi)聯(lián)立輸入，且以逗號(hào)分隔；若獨(dú)立變量默認(rèn),則小寫字母t為獨(dú)立變量；若要定義其它獨(dú)立變量，則由全部輸入?yún)?shù)‘eqn1’,‘eqn2’,…中的最后一個(gè)參數(shù)定義。

在輸入?yún)?shù)中，描述常微分方程規(guī)定用字符D代表對(duì)獨(dú)立變量的導(dǎo)數(shù)（因此，用戶所定義的字符變量不應(yīng)含有字符D），例如若t為獨(dú)立變量，y為t的函數(shù)，則Dy代表dy/dt，D2y代表

，D3y代表,…；初始條件可采用形如‘y(a)=b’或’Dy(a)=b’的字符（串）表達(dá)式給出。S為返回的存放符號(hào)微分方程解的構(gòu)架數(shù)組。3.基于狀態(tài)空間模型的時(shí)域響應(yīng)分析

MATLABControlSystemToolbox提供了連續(xù)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)計(jì)算函數(shù)step()、單位脈沖響應(yīng)計(jì)算函數(shù)impulse()、零輸入響應(yīng)計(jì)算函數(shù)initial()、任意輸入（包括系統(tǒng)初始狀態(tài)）響應(yīng)計(jì)算函數(shù)lsim()，與此對(duì)應(yīng)，dstep()、dimpulse()、dinitial()、dlsim()分別為計(jì)算離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)、單位脈沖響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、任意輸入（包括系統(tǒng)初始狀態(tài)）響應(yīng)的函數(shù)。

例如，若給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)分別如式（3-83）、式（3-84）所示，則

執(zhí)行step(A，B，C，D)指令，可得一組單位階躍響應(yīng)曲線，每條曲線對(duì)應(yīng)于式（3-83）所示連續(xù)系統(tǒng)的輸入/輸出組合即在某一輸入端單獨(dú)施加單位階躍信號(hào)作用下的某一輸出響應(yīng)，時(shí)間向量t的范圍自動(dòng)設(shè)定；

執(zhí)行step(A，B，C，D，t)指令與執(zhí)行step(A，B，C，D)指令一樣，可得一組單位階躍響應(yīng)曲線，但時(shí)間向量t是由用戶設(shè)定的；

執(zhí)行step(A，B，C，D，iu)指令，可得式（3-83）所示連續(xù)系統(tǒng)從第iu個(gè)輸入到所有輸出的單位階躍響應(yīng)曲線；

執(zhí)行[y,x,t]=step(A，B，C，D，iu)指令，可得式（3-83）所示連續(xù)系統(tǒng)從第iu個(gè)輸入到所有輸出y及狀態(tài)x的單位階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)，且返回函數(shù)自動(dòng)設(shè)定的時(shí)間向量t，但不繪制響應(yīng)曲線；

執(zhí)行dinitial(G，H，C，D，x0)指令可得式（3-84）所示離散系統(tǒng)每一個(gè)輸出的零輸入響應(yīng)曲線，取樣點(diǎn)數(shù)由函數(shù)自動(dòng)設(shè)定；

執(zhí)行l(wèi)sim（A，B，C，D，u，t，x0）指令可針對(duì)系統(tǒng)初始狀態(tài)x0和輸入u繪制系統(tǒng)所有輸出（全）響應(yīng)曲線，其中t為用戶設(shè)定的線性等間距的時(shí)間向量；對(duì)多輸入系統(tǒng),u為數(shù)值矩陣，其列數(shù)等于輸入信號(hào)數(shù)，第j個(gè)輸入信號(hào)對(duì)應(yīng)于t的離散序列構(gòu)成u的第j列，行數(shù)等于時(shí)間向量t的維數(shù)。

……

【例4】設(shè)雙輸入雙輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

且設(shè)、，系統(tǒng)初