數(shù)學(xué)平面向量多選題練習(xí)題及答案

11數(shù)學(xué)平向量多選題習(xí)題及案一、平向量多選題1．對于給定的ABC

，其外心為

O

，重心為

，垂心為H，下列結(jié)論正確的是（）A．

AO

12

AB

B．OAC．點(diǎn)

的直線

l

交

、

于

、

，若AE

，AF

AC，則

1

1

．

與

ABABcosB

cosC

共線【答案】【分析】根據(jù)外心在AB上的射影是的中點(diǎn)，利用向量的數(shù)量積的定義以證明A正確；利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則可以O(shè)OC即

，在一般三角形中易知這是不一定正確的，由此可判定錯；利用三角形中的定義，線性運(yùn)算和平面向量基本定理中的推論可以證明正確；利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和向垂直的條件可以判定ABABcosB

cosC

與垂直，從而說明D正確.【詳解】如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為M,則ABAOcosOAMAMABAOcosABOABAB?2

,故正確；等價于

等價于,即

OA

，對于一般三角形而言，

O

是外心，

OA

不一定與

垂直，比如直角三角形

ABC

中，若B為直角頂點(diǎn)，則為邊AC的點(diǎn)，與BC不直故B錯；

設(shè)BC的點(diǎn)為D,則

AG

111AD33

，∵三共線，

11，即,故C正；3

ABABABBACcoscosACC

cos

cosBCBC

,

ABABcosB

cosC

與垂直,又

AHBC,

ABABcosB

cosC

與共線，故正確.故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量及運(yùn)算，向量垂直和共線的判定，平面向量分解的基本定理，屬綜合小題，難度較大，關(guān)鍵是熟練使用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，理解三點(diǎn)共線的充分必要條件，進(jìn)而逐一作出判.2．在

中，，OD，、

的交點(diǎn)為M，M作直線

l分別交線段、于E、兩，若OE

OA，

，則

的不可能取到的值為（）A．

27

B．

37

C．

337

．

47【答案】【分析】

先證明結(jié)論：當(dāng)O為線EF外點(diǎn)時，E、F、M三點(diǎn)共線OMy

.計(jì)出

1OM7

，設(shè)OMxOE，合

OA

可得出y

1，后將7

1相，展開后利用基本不等式求出7

的最小值，即可得出結(jié)論【詳解】先證明結(jié)論：當(dāng)

O

為直線外點(diǎn)時，、F、M三共線OMR

，

x

.充分性：若E、F、三共線，則存在k，使得EMEF，OMOE，因?yàn)?/p>

OMxOER

，則

xy

，充分性成立；必要性：因?yàn)?/p>

OMxOER

，所以，

OMxOEOFxxFE，所以，E、、三共線本題中，取

的中點(diǎn)

N，連DN，如下圖所示：D

、

N

分別為

OB

、

的中點(diǎn)，則DN且

12

，6OCOA，AC，AC7

，BC//

，即

//DN

，

AMAC67

，OA

，OA

1OBOAOB77

，

x377x3777、F、三點(diǎn)共線，為直線EF外點(diǎn)，則xy.

OMxOEyOFR

且OE，

，則OM，1所以，，得，7

xy

可得

137

，由基本不等式可得

334.當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成.所以，值

47

，選均不滿足

.故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于以下兩點(diǎn)：（）用三點(diǎn)線的結(jié)論：當(dāng)O為線外一點(diǎn)時，E、M三點(diǎn)共線OMR

，

x

.利該結(jié)論推出

17

；（）用基本等式求出值.3．設(shè)點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別為

，，Q分是曲線

y

x和

上的動點(diǎn)，記IAQ,IBP12

，則下列命題不正確的是（）A．若I

，則PQ

B．I

，則

APC．PQ

，則II

．

AP

，則I

【答案】【分析】作出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象結(jié)合平面向量共線知識和平面向量數(shù)量積的幾何意義分析可得答案【詳解】根據(jù)題意，在直線AB上取點(diǎn)

P滿足|

分別作直線的垂線，交曲線

y

x于，P，交曲線ylnx于,，曲線121

上取點(diǎn)，3AP|AP|13

，如圖所示：

IAQcosQAB1，IAB1

，令|cos

，則I|cos2，I2

，令|BP

，則若|AP

|BQ

|

，則AQ

BP

|

，若I

，則AQ

BP

|

即可，此時P可與P重合，與重，滿足題意，12但是

)

不成立，且|||

，所以、不正確；對于選項(xiàng)C，，時與P重，且Q與Q重合，或P與P重，且112

與Q重合，所以滿足II2

，所以C正；對于，當(dāng)與重時，滿足3

AP|AP|13

，但此時在線AB3

上的投影不在P處，因而不滿足|

BP

|

，即II

，所以不確故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用圖象結(jié)合平面向量共線知識和平面向量數(shù)量積的幾何意義求解是解題關(guān)鍵4．已知

ABC

的面積為3，

ABC

所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn)P，，滿足2PAPC，2，的積為S，則下列說正確的是（）A．PBCQC．

B．．

13【答案】【分析】本題先確定B是AQ中點(diǎn)，是

的一個三等分點(diǎn)，判斷選項(xiàng)A錯，選項(xiàng)C正；

再通過向量的線性運(yùn)算判斷選項(xiàng)B正確；最后求出

eq\o\ac(△,S)APQ

，故選項(xiàng)正.【詳解】解：因?yàn)镻A，QB，所以是中點(diǎn)是AC的個三等分點(diǎn)，如圖：故選項(xiàng)A錯，選項(xiàng)C正；因?yàn)?/p>

BAAPBA

BC

，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?/p>

eq\o\ac(△,)APQeq\o\ac(△,)

1h212

23

，所以，

eq\o\ac(△,S)APQ

，故選項(xiàng)正.故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積、三角形的面積公式，是基礎(chǔ)5．如圖所示，設(shè)Ox，Oy是面內(nèi)相交成

2

角的兩條數(shù)軸，e，e分是1

，軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系

為

反射坐標(biāo)系中，若OMye12

，則把有序數(shù)對

OM的反射坐標(biāo)，記為

O

.在

23

的反射坐標(biāo)系中，

，b

.則列結(jié)論中，正確的是（）A．

B．

22nnn22nnnC．【答案】AD【分析】

．a(chǎn)在上投影為

3714，則12

，故正；，錯誤；

a

32

，故錯誤；由于在b上投影為

ab

37

3714

，故D正.【詳解】1212

，故A正；a

1

24cos33

，故B錯誤；a1212

32

，故C錯；由于

2

，在的投影為

ab

37

3714

，故D正。故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模的計(jì)算，考查向量的投影的計(jì)算，考查向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水.6．已知數(shù)列{a}，

a，a12

，在平面四邊形ABCD中，對角線與BD交于點(diǎn)E，且AEEC，≥2時恒有BD

a

BA

，（）A．?dāng)?shù){}為差數(shù)列

B．

BE

1BABC3C．{}為比數(shù)列

．

a

n

n

n【答案】【分析】證明

BE

1BABC3

，所以選項(xiàng)正；設(shè)BD（

t

），易得

n

，顯然

an

不是同一常數(shù)，所以選項(xiàng)A錯；數(shù)列

an

}是以為項(xiàng)，為比的等比數(shù)列，所以

a

n

n

n

，所以選項(xiàng)D正，易得a213

，選項(xiàng)C不正確【詳解】

n因?yàn)锳E，以

AE

23

，所以

ABBE

23

(ABBC)

,所以

BE

1BABC3

，所以選項(xiàng)正；設(shè)BDtBE

t

），則當(dāng)n≥2時，由

tBEn

n

an

，所以BE

11aaBAaaBCt

，所以

111a，att

，所以

a

an

易得

n

，顯然

an

不是同一常數(shù)，所以選項(xiàng)錯；因?yàn)?/p>

-

a=4，

anan

，所以數(shù)列

an

}是4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以

a

n

n

n

，所以選項(xiàng)正確，易得

a213

，顯然選項(xiàng)C不正確故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查等比數(shù)列等差數(shù)列的判定，考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水.7．下列各式結(jié)果為零向量的有（）A．

AC

B．ACCDC．ODAD

．MP

22【答案】CD【分析】對于選項(xiàng)A，

BCAC

,所該選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)BACBD2AD，以該選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)，OAOD0

,所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)DQPMNMP【詳解】

，所以該選項(xiàng)正確.對于選項(xiàng)A，

BCACAC

,所該選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)B，ACAB))ADADAD，所以該選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)CODADAD0,所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D，NQQPMNMPNPPN

，所以該選項(xiàng)正.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的加法和減法法則，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水.8．ABC

是邊長為2的等邊三角形，已知向量滿、AC，下列結(jié)論正確的是（）A．

B．

b

C．a(chǎn)

．a(chǎn))BC【答案】AD【分析】本題首先可以根據(jù)向量的減法得出BC然后根據(jù)

ABC

是邊長為2的等邊三角形得出正確以及B錯誤，再然后根向量、之的夾角為120計(jì)算出錯誤，最后通過計(jì)算得出()

，正確【詳解】因?yàn)椋珹C，所以BCACABa，因?yàn)?/p>

是邊長為2的邊角形，所以

，正，因?yàn)?，所以向量、b之的夾角為，錯，所以

2

，錯誤，因?yàn)閍)a)所以a)BC，正確，故選：【點(diǎn)睛】

本題考查向量的減法運(yùn)算以及向量的數(shù)量積，若向量、b之的角為，則

，若a，b，查推理能力與計(jì)算能力，是中檔.9．已知ABC

的面積為3，ABC

所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn)P，，滿足，QA2QB，

的面積為S，下列說法正確的（）A．PB//

B．

BP

12BC33C．PA

．S【答案】【分析】利用向量的共線定義可判斷；利用向量法的三角形法則以及向量減法的幾何意義即可判斷；用向量數(shù)量積的義可判斷；利用三角形的面積公式即可判斷【詳解】由，2QB，可知點(diǎn)P為

的三等分點(diǎn)，點(diǎn)QAB

延長線的點(diǎn)，且中點(diǎn)，如圖所示：對于A點(diǎn)P為的等分點(diǎn)點(diǎn)為AQ中點(diǎn)，所以PB與

不平行，故A錯；對于，

BPBA

21BA333

,故正；對于，

PAPC

PAPC

，故錯；對于，設(shè)ABC的為，

ABC

1ABh2

，即

，則APQ的積

APQ

112AQhABh2

，故D正；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的共線定理、共線向量、向量的