人教A對數及對數函熱點考題分析

對數及對數函熱點考題分析山東省利津縣第一中學胡彬257400例1化簡下列各式：(1)；(2)．思路分析：這類問題，可以將整個式子運用對數性質統一為一個單一的對數式(可以作的話)進行運算，這樣作運算往往比較復雜，也就容易出錯．如果分別使用性質，對每一部分先化簡或合并同類“項”，可以化簡運算并提高運算的準確性．解：(2)＝－1．(4)＝0．例2利用對數恒等式，求的值：思路分析：應用對數恒等式的關鍵是冪的底數與對數的底數必須相同，當兩個底數不一致時，應運用所學的知識，先將其化為“同底”，再用公式計算．解：∵，，∴＝7．例3化簡：；思路分析：當式子中的對數式的底數不同時，難以建立相互間的聯系，也就無法進行化簡，所以一般先使用“換底公式”，化為同一底的對數，或者經過分析，化為互有關聯的數為底的對數．在選擇需換的底時，應將式子中現有的數均分解為質因數的連乘積，將基本的、相互關聯的數選作新的底數．解：．例4已知，，用a、b的代數式表示．思路分析：因為需要表示的目標是對數式，所以已知條件也都化為對數式，“已知與所求均逐步在內容和形式上求同”，是一般解數學題時常用的操作方法．本題涉及3和5兩個質因數，可以化為以其中一個為底的對數，可以建立相互間的聯系．解：∵∴∴∵∴∵，105＝3×5×7∴＝1＋a＋ab∴．點評思維方向正確，問題總可解出，但不同方法有繁有簡，應該分析、實驗、探索，盡量使用簡捷的解法．例5求函數的定義域：思路分析：復雜函數的自變量允許取值可能受幾種限制，自變量必須同時滿足這些限制要求時，所涉及的每個概念才都有意義，整個的統一的函數才有意義．因此，必須取所有每個概念限制范圍的交集合，才同時滿足全部要求，也就是函數的定義域．一般一種限制給出一個不等關系式，所以求復雜函數的定義域，解多個不等式構成的不等式組即可．解：(1)∴或1<x≤5∴函數的定義域是{x|或1<x≤5}．點評考慮各種限制要求要一個個來，不能遺漏；對概念的要求把握要準確，如是否有等號等，因為只要一個值不對，整個定義域就是錯的！例6(1)已知，將a、b、c、d四數從小到大排列為_____________________．思路分析：比較兩個量大小的具體操作是：①判斷量的符號比大?。虎谕缓瘮档暮瘮抵涤煤瘮祮握{進行比較；③同號的兩數可與1或－1比較；④上述方法無效時，作差比較．幾個量比較時，需兩個量兩個量逐次比較．解：(1)∵，∴∵是減函數，是增函數∴，∴b>a>0∵是增函數，是減函數∴，∴c<0，d<0∵，則∴,∴c<－1<d<0,∴c<d<a<b．點評題目要求從小到大排列，別寫成從大到小排列！另外有些值可直接計算，如，直接就有．例7若a>0且a≠1，且，則實數a的取值范圍是()A．0<a<1B．C．D．或a>1思路分析：既然都是同底對數值的大小比較問題()，可以直接應用對數函數的單調性質進行比較，由于對數函數的單調性與底數的取值范圍有關，所以當底數范圍不定時，必須區(qū)別底在不同范圍，分別討論求解．解：(1)∵當a>1時，是增函數．∴，聯立解得a>1當0<a<1時，是減函數．∴，聯立解得∴或a>1時，成立∴選D．點評注意對討論的條件a>1(或0<a<1)要充分重視，沒有這個條件，也就沒有(或)這個結論，所以最后總結論必須由兩者聯立求得結果！例8已知函數．(1)分別求兩個函數的定義域；(2)求使的x值；(3)求使的x值的集合．思路分析：函數的定義域是非常重要的概念，只能在定義域的范圍內研究有關函數的問題，所以涉及到函數的問題，得到結論后都必須檢驗，只能保留符合定義域范圍的結論；涉及到兩個或兩個以上的函數的問題，只能保留符合它們定義域的交集合(使對所涉及的函數均有意義)的結論．解：(1)∴函數的定義域是(－2，＋∞)∴函數的定義域是(－∞，)．(2)若即∵函數是單調遞增函數∴函數值相等時，自變量值也相等∴2x＋4＝5－3x∵∴使的x的值為．(3)若即∵函數是增函數∴2x＋4>5－3x∵∴∴使的x值的集合是．例9已知函數,(1)求函數的定義域；(2)求證f(x)是奇函數.思路分析：此題所求解的三個問題，都可以依據所涉及的函數的有關概念的定義入手，但在具體實施操作時，都會遇到一定的困難，這時必須靈活運用已掌握的知識巧妙處理，使這三個問題的解法各具特色，源于常規(guī)方法又不拘泥于常規(guī)方法，為我們提供了處理中學數學的某些問題的方法和技巧．解：(1)∵對x取任何實數時都成立，而∴對x取任何實數時都成立∴對x取一切實數均成立∴函數的定義域是R．點評我們運用了實數的絕對值的簡明性質，繞過了目前不會解的不等式而求出定義域，這也說明數學中的概念和性質也是化簡數學運算的有效手段．(2)解法一：定義域R關于原點對稱，∵∴∴＝－f(x)∴是奇函數．解法二：f(x)＋f(－x)＝lg1＝0∴f(－x)＝－f(x)∴是奇函數．點評奇函數的定義要求：f(－x)＝－f(x)，但在具體應用時，由f(－x)經一系列恒等變換得到－f(x)有時比較