高中數(shù)學(xué)文化講座數(shù)學(xué)社團課程第三講-中國古代數(shù)學(xué)課件

陶淵明詩句泛覽周王傳，留觀山海經(jīng)。俯仰終宇宙，不樂復(fù)何如。王國維讀書三境界“昨夜西風(fēng)凋碧樹。獨上高樓，望盡天涯路”（原文選自晏殊的《蝶戀花》），此乃第一境也。“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”（原文選自柳永的《蝶戀花》）

，此乃第二境也?！氨娎飳にО俣龋嚾换厥?，那人卻在燈火闌珊處”(原文選自辛棄疾的《青玉案元夕》），此乃第三境也。第三講中國古代數(shù)學(xué)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的形成與興盛：公元前1世紀至公元14世紀。分成三個階段：兩漢時期；魏晉南北朝時期；宋元時期。主要數(shù)學(xué)典籍：《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》等古代數(shù)學(xué)家：劉徽、祖沖之等第三講中國古代數(shù)學(xué)1、中算發(fā)展的第一次高峰：數(shù)學(xué)體系的形成1983－1984年間考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的一批西漢初年（即呂后至文帝初年，約為公元前170年前后）的竹簡，共千余支。經(jīng)初步整理，其中有歷譜、日書等多種古代珍貴的文獻，還有一部數(shù)學(xué)著作，據(jù)寫在一支竹簡背面的字跡辨認，這部竹簡算書的書名叫《算數(shù)書》，它是中國現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)專著。

秦始皇陵兵馬俑（中國,1983）秦漢時期形成中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系中國現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)書《算數(shù)書》(西漢,約公元前170年,1983-1984年間湖北江陵張家山出土)《算數(shù)書》《算數(shù)書》研究得知，這“本”竹簡《算數(shù)書》和《九章算術(shù)》（公元1世紀）有許多相同之處，體例也是“問題集”形式，大多數(shù)題都由問、答、術(shù)三部分組成，而且有些概念、術(shù)語也與《九章算術(shù)》的一樣?！吨荀耣ì算經(jīng)》

（髀：量日影的標桿）是我國最早的天文著作，系統(tǒng)地記載了周秦以來適應(yīng)天文需要而逐步積累的科技成果。該書的主要內(nèi)容是周代傳下來的有關(guān)測天量地的理論和方法?！吨荀滤憬?jīng)》也是中國最古的算書，成書確切年代沒有定論，一般認為在公元前2、3世紀。李約瑟認為：“最妥善的辦法是把《周髀算經(jīng)》看作具有周代的骨架加上漢代的皮肉。”

《周髀算經(jīng)》

勾股定理的普遍形式

《周髀算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》(西漢,約公元前100年)

陳子測日法

求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。相似形方法《周髀算經(jīng)》中的勾股定理周公問商高關(guān)于計算的問題，商高答曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。”

榮方與陳子的一段對話中，則包含了勾股定理的一般形式。陳子曰：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股。勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日，…”

《周髀算經(jīng)》中的勾股定理《周髀算經(jīng)》還記載了商高的用矩之法：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方?！?/p>

九章算術(shù)

《九章算術(shù)》成書于公元前后，是我國最重要、影響最深遠的一本數(shù)學(xué)著作。它不是出自一個人之手，是經(jīng)過歷代多人修訂、增補而成，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。中國儒家的重要經(jīng)典著作《周禮》記載西周貴族子弟必學(xué)的六門課程“六藝”（禮、樂、射、御、書、數(shù)）中有一門是“九數(shù)”?！毒耪滤阈g(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來。在秦焚書（公元前213年）之前，至少已有原始的本子?！毒耪滤阈g(shù)》

(東漢,公元100年)《九章算術(shù)》后世不少人，如劉徽、祖沖之、李淳風(fēng)等人均對《九章算術(shù)》作過注。特別是劉徽的注，加進了不少自己的精辟見解，闡述了重要的數(shù)學(xué)理論?！毒耪滤阈g(shù)注》是《九章算術(shù)》得以流芳百世的重要補充和媒介。

九章算術(shù)

對《九章算術(shù)》的評價日本數(shù)學(xué)家小蒼金之助把《九章算術(shù)》說成是中國的《幾何原本》。吳文俊教授也認為，《九章算術(shù)》和劉徽的《九章算術(shù)注》，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中具有崇高的地位，足可與希臘的《幾何原本》東西輝映，各具特色。1968年德國沃格爾（Vogel）把《九章算術(shù)》譯成德文出版時加的評論認為：“在古代算術(shù)中，包含如此豐富的246個算題，現(xiàn)存的埃及和巴比倫算題與之相比，真望塵莫及。以希臘而論，所保存的古算題為我們所熟知者，也屬于希臘化時代。”

方田《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》

粟米

衰分

少廣

商功

均輸

盈不足

方程

勾股世界數(shù)學(xué)古典名著

以籌算為基礎(chǔ)的中國古代數(shù)學(xué)體系正式形成

第一章“方田”講述有關(guān)平面圖形（土地田畝）面積的計算方法，包括分數(shù)算法，38個問題。如：

[一]今有田廣十五步，從十六步，問為田幾何？答曰：一畝。

[二]又有田廣十二步，從十四步，問為田幾何？答曰：一百六十八步。

方田術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步，以畝法二百四十步除之，即畝數(shù)，百畝為一傾。

九章算術(shù)

九章算術(shù)

[五]今有十八分之十二，問約之得幾何？答曰：三分之二。

[六]又有九十一分之四十九，問約之得幾何？答曰：十三分之七。約分術(shù)曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

九章算術(shù)

第二章“粟米”講述有關(guān)糧食交換中的比例問題。書中的“今有術(shù)”給出比例式中已知三數(shù)求第四數(shù)的方法，歐洲遲至15世紀才出現(xiàn)。第三章“衰分”講述配分比例和等差、等比等問題。

第四章“少廣”講述由田畝面積求邊長，由球體積求經(jīng)長的算法，這是世界上最早的多位數(shù)開平方、開立方法則的記載。

九章算術(shù)之開方術(shù)今有積五萬五千二百二十五步，問為方幾何？答曰：二百三十五步。開方術(shù)曰：置積為實，借一算步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除，除已，倍法為定法。其復(fù)除，折法而下。復(fù)置借算步之如初，以復(fù)議一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副從定法。復(fù)除折下如前。

九章算術(shù)

第五章“商功”講述各種土木工程中的體積計算。我國自遠古以來，對筑城、挖溝、修渠等土建工程積累了豐富的經(jīng)驗，創(chuàng)造了許多有關(guān)土方體積計算和估算的方法，本章即為經(jīng)驗和方法的理論總結(jié)，諸如長方體、臺體、圓柱體、錐體等體積的計算公式都與現(xiàn)在一致，只是圓周率取3，誤差較大。九章算術(shù)

第六章“均輸”講述納稅和運輸方面的計算問題，實際上是比較復(fù)雜的比例計算問題。第七章“盈不足”講述算術(shù)中盈虧問題的解法。盈不足術(shù)實際上是一種線性插值法。該方法通過絲綢之路傳入阿拉伯國家，受到特別重視，被稱為“契丹算法”。后來傳入歐洲，13世紀意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》一書中專門有一章講“契丹算法”。

九章算術(shù)第八章“方程”講述線性方程組的解法，還論及正負數(shù)概念及運算方法。中算的方程，本意是指多元一次方程組（線性方程組）。劉徽在《九章算術(shù)注》中指出：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程?！?/p>

方程術(shù)例題今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗；問上、中、下禾實一秉各幾何？正負術(shù)李文林指出：“對負數(shù)的認識是人類數(shù)系擴充的重大步驟。如果說古希臘無理量是演繹思維的發(fā)現(xiàn)，那么中算負數(shù)則是算法思維的產(chǎn)物。中算家們心安理得地接受并使用了這一概念，并沒有引起震撼和迷惑?！?/p>

國外首先承認負數(shù)的是7世紀印度數(shù)學(xué)家婆羅門及多，歐洲16世紀時韋達等數(shù)學(xué)家的著作還回避使用負數(shù)。

勾股術(shù)第九章“勾股”在《周髀算經(jīng)》中勾股定理的基礎(chǔ)上，形成了應(yīng)用問題的“勾股術(shù)”，從此它成了中算中重要的傳統(tǒng)內(nèi)容之一。

今有池方一丈，葭jiā生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？答曰：水深一丈二尺；葭長一丈三尺。

術(shù)曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，減之。余，倍出水除之，即得水深。加出水數(shù)，得葭長。

劉徽和祖沖之父子2、中算發(fā)展的第二時期：數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展從公元220年東漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國歷史上的動蕩時期，也是思想相對活躍的時期。在長期獨尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辨之風(fēng)再起，在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢。許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實質(zhì)是尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這是中國數(shù)學(xué)史上一個獨特而豐產(chǎn)的時期，是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展的時期。三國演義(中國，1998）魏晉南北朝時期中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展劉徽的數(shù)學(xué)成就

劉徽的《九章算術(shù)注》包含了他本人的許多創(chuàng)造，其中最突出的成就是“割圓術(shù)”和求積理論。若設(shè)圓面積為，內(nèi)接正n邊形邊長為，面積為則OABCD《九章算術(shù)注》公元263年撰《九章算術(shù)注》

闡述了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最具代表性的人物

劉徽(魏晉,公元3世紀)（中國，2002）劉徽的割圓術(shù)公元263年撰《九章算術(shù)注》。割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”計算圓內(nèi)接正3072邊形求出圓周率為3927/1250即3.1416徽率157/50即3.14

《九章算術(shù)注》劉徽的割圓術(shù)

《九章算術(shù)注》割圓術(shù)(24邊形)《九章算術(shù)注》割圓術(shù)(6邊形)割圓術(shù)(48邊形)割圓術(shù)(96邊形)劉徽對π的估算值（密克羅尼西亞，1999）

《九章算術(shù)注》圓周率劉徽用“割圓術(shù)”從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，算到圓內(nèi)接正192=6×25邊形，得到“徽率”3.14。

推測祖沖之可能也是沿用了“割圓術(shù)”，計算到圓內(nèi)接正24576=6×212邊形，即可得祖沖之的結(jié)果。祖沖之(南朝宋、齊,429-500年)劉徽的求積理論劉徽的面積、體積理論建立在一條簡單而又基本的原理之上，這就是“出入相補原理”。劉徽用這條原理成功地證明了《九章算術(shù)》中的許多面積公式。劉徽在推證《九章算術(shù)》中的一些體積公式時，靈活地使用了兩種無限小方法：極限方法與不可分量方法。比如，“陽馬”體積公式便是用極限方法推導(dǎo)出來的，而球體積公式的推導(dǎo)則使用了不可分量方法。

為計算球體積，劉徽提出“牟合方蓋”。祖沖之劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時期被祖沖之推進和發(fā)展。祖沖之（429－500年），范陽遒縣（今河北淶源）人，活躍于南朝的宋、齊兩代，曾做過一些小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之：“遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推?！弊鏇_之(429-500年)（中國，1955）

圓周率計算

球體體積公式《綴術(shù)》《綴術(shù)》祖沖之祖沖之的著作《綴術(shù)》，取得了圓周率的計算和球體體積的推導(dǎo)兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻記載在《隋書》（唐，魏征主編）的《律歷志》中：“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，并以355/113（=3.1415929…）為密率，22/7（=3.1428…）為約率?！毒Y術(shù)》《綴術(shù)》的另一貢獻是祖氏原理：冪勢既同則積不容異，在西方文獻中稱為卡瓦列里原理，或不可分量原理，因為1635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（1598－1647年）獨立提出，對微積分的建立有重要影響。在數(shù)學(xué)成就方面，整個唐代卻沒有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時期相媲美的數(shù)學(xué)大家，主要的數(shù)學(xué)成就在于建立中國數(shù)學(xué)教育制度。為了教學(xué)需要唐初由李淳風(fēng)等人注釋并校訂了《算經(jīng)十書》（約656年）。算經(jīng)十書

出于官方數(shù)學(xué)教育的需要，唐高宗親自下令對以前的數(shù)學(xué)著作進行整理。公元656年由李淳風(fēng)負責(zé)編定了算經(jīng)十書：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》，后因《綴術(shù)》失傳，而以《數(shù)術(shù)記遺》替代。

《算經(jīng)十書》

公元656《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《夏候陽算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《綴術(shù)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》《算經(jīng)十書》漢唐千余年間中國數(shù)學(xué)發(fā)展的水平孫子算經(jīng)

[雞兔同籠]今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉、兔各幾何？答曰：雉二十三，兔一十二。術(shù)曰：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。

[物不知數(shù)]今有物，不知其數(shù)。三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之，剩二。問物幾何？答曰：二十三。

孫子歌

明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中所載的“孫子歌”以詩歌形式介紹了物不知數(shù)問題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓整半月，除百零五便得知?！?/p>

這一問題的解法后經(jīng)秦九韶推廣到一般情形，被稱為“孫子定理”，又稱為“中國剩余定理”。

宋元數(shù)學(xué)中國古典數(shù)學(xué)

的全盛時期3、中數(shù)發(fā)展的第三階段：宋元數(shù)學(xué)宋元時期（960-1368）的杰出數(shù)學(xué)家秦九韶、楊輝、李冶、朱世杰被稱為“宋元四大家”。

宋元時期的數(shù)學(xué)代表著作有《數(shù)書九章》（秦九韶）、《詳解九章算法》（楊輝）、《益古演段》（李冶）和《四元玉鑒》（朱世杰）等

宋元數(shù)學(xué)社會背景：公元960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國（907－960年）割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟高漲的情況下得到了廣泛應(yīng)用。雕版印書的發(fā)達，特別是北宋中期，在宋仁宗慶歷年間（約1041—1048年），畢升活字印刷術(shù)的發(fā)明，完成了印刷史上一項重大的革命。畢升發(fā)明活字印刷術(shù)

(約1041—1048年)

促進了數(shù)學(xué)著作的保存與流傳

社會背景印刷術(shù)印刷術(shù)給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來了福音。事實上，整個宋元時期（960—1368年），重新統(tǒng)一了的中國封建社會發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變化，以籌算為主要內(nèi)容的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)達到了鼎盛時期。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以宋元數(shù)學(xué)為最高境界。這一時期涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家和先進的數(shù)學(xué)計算技術(shù)，其印刷出版、記載著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最高成就的宋元算書，是世界文化的重要遺產(chǎn)。算法豐富。賈憲：《黃帝九章算術(shù)細草》(1050)

增乘開方法

賈憲三角

開方作法本源圖

帕斯卡《論算術(shù)三角形，以及另外一些類似的小問題》(1654)帕斯卡(法,1623-1662年)

古法七乘方圖算術(shù)三角形(利比里亞，（1999)

帕斯卡(法,1623－1662)

(法國,1962)賈憲三角賈憲三角賈憲（約公元11世紀）是北宋人，在朝中任左班殿值，約1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細草》的著作，原書丟失，但其主要內(nèi)容被楊輝的《詳解九章算法》摘錄，因能傳世。賈憲發(fā)明了“增乘開方法”，是中算史上第一個完整、可推廣到任意次方的開方程序，一種非常有效和高度機械化的算法。賈憲三角在此基礎(chǔ)上，賈憲創(chuàng)造了“開方作法本源圖”（即“古法七乘方圖”或賈憲三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算術(shù)三角形”，因為法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623－1662年）于1654年發(fā)表論文《論算術(shù)三角形，以及另外一些類似的小問題》。

隙積術(shù)沈括（1030－1094年），北宋錢塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科學(xué)家，1080年任延州（今陜西延安市）知州，因1082年的“永樂城（今寧夏銀川附近）之戰(zhàn)”敗于西夏（1032－1227年）而結(jié)束政治生涯，經(jīng)過6年的軟禁之苦后，開始賦閑幽居生活。隙積術(shù)沈括(北宋,1030-1094年)《夢溪筆談》(1093)

李約瑟：中國科學(xué)史的里程碑

會圓術(shù)隙積術(shù)

隙積術(shù)沈括沈括一生論著極多，其中以《夢溪筆談》（1093年）影響最大，內(nèi)容包括數(shù)學(xué)、天文、歷法、地理、物理、化學(xué)等領(lǐng)域，被英國著名科學(xué)史家李約瑟譽為“中國科學(xué)史的里程碑”。他對數(shù)學(xué)的主要成就有兩項，會圓術(shù)（解決由弦求孤的問題）和隙積術(shù)（開創(chuàng)研究高階等差級數(shù)之先河）。天元術(shù)李冶（金、元，1192－1279年），金代真定欒城（今河北欒城）人，出生的時候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居于封龍山治學(xué)，潛心學(xué)問。1248年撰成代數(shù)名著《測圓海鏡》，該書是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”（一元高次方程）的著作。天元術(shù)李冶(金、元,1192-1279年)

天元術(shù)

（一元高次方程）

列方程法

“立天元一為某某”天元術(shù)《測圓海鏡》(1248)“設(shè)x為某某”

李冶的天元術(shù)

天元術(shù)天元術(shù)“天元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，稱未知數(shù)為天元，“立天元一為某某”，相當于“設(shè)x為某某”，可以說是符號代數(shù)的嘗試，在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。劉徽注釋《九章算術(shù)》“正負術(shù)”中云：“正算赤，負算黑”，李冶感到用筆記錄時換色的不便，便在《測圓海鏡》中用斜畫一杠表示負數(shù)。李冶的天元術(shù)列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0。大衍術(shù)秦九韶（約1202－1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和縣）守，1244年，因母喪離任，回湖州（今浙江吳興）守孝三年。此間，秦九韶專心致志于研究數(shù)學(xué)，于1247年完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》，內(nèi)容分為九類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍旅類、市易類，其中有兩項貢獻使得宋代算書在中世紀世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。大衍總數(shù)術(shù)

問題：求滿足

的最小自然數(shù)N?！粼O(shè)，求乘率使

則總數(shù)中國剩余定理秦九韶的算法非常嚴密，但他并沒有對這一算法給出證明。到18、19世紀歐拉（1743）和高斯（1801）分別對一次同余式組進行了詳細研究，重新獨立地獲得了與秦九韶“大衍術(shù)”相同的定理，并對模數(shù)兩兩互素的情形給出了嚴格證明。高斯的成果是最完整的，他還解決了模不是兩兩互素時的情形。1876年德國人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯的算法是一致的，因此關(guān)于這一算法被稱作“中國剩余定理”。

大衍術(shù)秦九韶(南宋,約1202-1261年)

大衍類大衍術(shù)《數(shù)書九章》(1247)

天時類

田域類

測望類

賦役類

錢谷類

營建類

軍旅類

市易類

垛積術(shù)楊輝（公元13世紀），南宋錢塘（今浙江杭州）人，曾做過地方官，足跡遍及錢塘、臺州、蘇州等地，是東南一帶有名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝的主要數(shù)學(xué)著作之一《詳解九章算法》（1261年）是為了普及《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)知識而作，它從《九章算術(shù)》的246道題中選擇了80道有代表性的題目，進行詳解，其中主要的數(shù)學(xué)貢獻是“垛積術(shù)”。垛積術(shù)楊輝(南宋,公元13世紀)《詳解九章算法》(1261)

垛積術(shù)垛積術(shù)

楊輝三角垛積術(shù)垛積術(shù)是在沈括“隙積術(shù)”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，由多面體體積公式導(dǎo)出相應(yīng)的垛積術(shù)公式。另一貢獻是所謂的“楊輝三角”，其實是記載了賈憲的工作。四元術(shù)朱世杰（約1260－1320年），寓居燕山（今北京附近），當時的北方，正處于天元術(shù)逐漸發(fā)展成為二元術(shù)、三元術(shù)的重要時期，朱世杰在經(jīng)過長期游學(xué)、講學(xué)之后，終于在1299年和1303年在揚州刊刻了他的兩部代表作《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。四元術(shù)中國數(shù)學(xué)自晚唐以來不斷發(fā)展的簡化籌算的趨勢有了進一步的加強，日用數(shù)學(xué)和商用數(shù)學(xué)更加普及，南宋時期楊輝可以作為這一傾向的代表，而朱世杰則是這一傾向的繼承?！端銓W(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著